雙曲線習題練習及答案解析

1、已知雙曲線C：W-==l（a〉O,6〉0）的一條漸近線方程為y=@x,且與

ab2

22

橢圓上+匕=1有公共焦點.則c的方程為（）

123

2222

A.土-匕=1B.土-上=1

81045

Cf9一1n爐Li

5443

【答案】B因為雙曲線的一條漸近線方程為則2=@.①

2a2

22

又因為橢圓土+匕=1與雙曲線有公共焦點，雙曲線的焦距2c=6,即c=3,則

123

_22

。2+〃=/=9.②.由①②解得。=2,b=卡,則雙曲線c的方程為土—2L=1.

45

故選：B.

22

2已知雙曲線5-當=1（八6均為正數）的兩條漸近線與直線x=-l圍成的三

ab

角形的面積為6,則雙曲線的離心率為（）

A.76B.73C.2月D.2

【答案】D

bh

解：雙曲線的漸近線為y=±-x,令x=-l,可得丁=一，

aa

不妨令所以|明=竺，所以SA0B=；|陰kbe,

ycijycija/

:.\AB\=2y/3,

即生=2相，所以2=所以e=￡=匹□=71^=2;故選：D

aaa\a2\\a）

3已知雙曲線C的中心為坐標原點，一條漸近線方程為》=缶，點P（20,-血）

在C上，則C的方程為

2222

A,土-匕=1B.土-乙=1

24714

2222

C,土-匕=1D.匕-二=1

42147

【答案】B

由于C選項的中雙曲線的漸近線方程為y=±孝％,不符合題意，排除C選項.

將點尸（20,-0）代入A,B,D三個選項，只有B選項符合，故本題選B.

2

4已知雙曲線C：必一女=i的左、右焦點分別為耳、F2,。為坐標原點，點P

在C的一條漸近線上，若|0"=|P閭，則可月的面積為（）

A.342B.6^C.972D.180

【答案】C

2

雙曲線C：%2_匕=1中，耳（—3,0）,8（3,0）,漸近線方程：y=±2s/2x,

8

因|沖=歸用，則點P在線段。工的中垂線：x=e上，則P點縱坐標加有I%l=3&,

所以鳥面積5?尸心=g|耳心|?|為1=9血.故選：C

22

5已知雙曲線C：———=則C的離心率的取值范圍為（）

mm+2

A.（1,?B.（1,2）C.（"+勾D.（2,^o）

【答案】C

雙曲線二―二L=1（機〉0）的離心率為e=巫瑁亙=也亙=鼠2,

mm+2y/mNmvm

因為m>0,所以e=，2+,〉0,即。的離心率的取值范圍為（行,+8）.故選:

C.

6若雙曲線62—8爐=8的焦距為6,則該雙曲線的離心率為（）

A.述B.-C.3]

42

22

匕上T

因為62_8/=8為雙曲線，所以女工0,化為標準方程為：9一丁一.

1

由焦距為6可得：C、跖=3,解得：Q1.所以雙曲線為其一反=1.

U81

所以雙曲線的離心率為0=￡=^=還.故選：A

ax/84

2

7已知耳，B分別是雙曲線必-匕=1的左，右焦點，若P是雙曲線左支上的點，

24

且歸國忖閭=48.則月的面積為（）

A.8B.16C.24D.8g

【答案】C因為尸是雙曲線左支上的點，所以閶-|3|=2。=2,

|耳聞2=402=I。。.

在△￡「巴中，

|耳閶2=附「+「閭2_2附歸園cos4/"=（附|—|相|）2+2附歸閭—2閥歸用cos/4小

gp100=4+96-96cosZ/^PF所以cosNGPF=0smZF{PF2=1故△耳「月

-|P^|-|P7s|=24

的面積為2i/.故選：C.

VV2

8已知雙曲線。：=-白=1（。>0）的一條漸近線方程為2x-y=。，耳，F,分別

a16

是雙曲線C的左、右焦點，P為雙曲線。上一點，若忸媼=5，則忸閭=

A.lB.9C.1或9D.3或9

3.B由題意知-=2,所以a=2,所以。=，4+16=2君,所以

a

|尸￡|=5＜2+2^=Q+C,所以點尸在雙曲線C的左支上，所以|尸引尸國=4,

所以|尸月|=9.故選B

22

9如圖，Fi,且分別是雙曲線當-當=1伍＞0,人＞0）的兩個焦點，以坐標原點。

ab

為圓心，IOBI為半徑的圓與該雙曲線左支交于A,5兩點，若AR2AB是等邊三角

形，則雙曲線的離心率為（）

A.aB.2

C.73-1D.73+1

【答案】D連接4月，依題意知：

|A^|=73|A^|,2c=|耳閶=2.周，所以2a=|A閶-|明|=（依-1）|明|

a（V3-1）|A^|

22

10已知雙曲線5=1伍＞0）的左右焦點分別為《、F2,過點居的直線交雙

曲線右支于A、3兩點，若AA3￡是等腰三角形，且NA=120。.則AA§E的周長

為（）

A.^1+8B.4（V2-1）C.手+8D.2（百-2）

【答案】A

雙曲線的焦點在x軸上，則a=2,2。=4；

設|A￡|=m,由雙曲線的定義可知：|A￡|=|AFJ+2a=4+根，

由題意可得：I91=1AB|=|AF2\+\BF2\=m+\BF2\,

據此可得：|8月|=4,又，.FB4|=2a+|3EJ=8,

鈣片由正弦定理有：理京=上喝,即|明

sin120sin30I=6IMI

所以8=若(4+相)，解得：加=巫衛，所以AAB耳的周長為：

3

|4耳|+|3耳|+|451=2(4+根)+8=16+2義當牛衛^=8+竺/故選：A

2

11已知雙曲線C：必一匕=1的左、右焦點分別為耳、F,。為坐標原點，點P

82

在C的一條漸近線上，若10H=戶閭，則鳥的面積為()

A.B.65/2C.9\/2D.\Syf2

【答案】C

2

雙曲線C：%2_\=1中，6(_3,0),工(3,0),漸近線方程：y=±2j2x,

因|OP|=|尸閭，則點P在線段。巴的中垂線：x=5上，則P點縱坐標Vo有|為|=30,

所以△理工面積SpF?=gl用■T為l=98.故選：C

2222

12雙曲線=-多=1與三-與=-1的離心率分別為6勺，貝IJ必有()

ab"ab

11,11,

+=

A.G=62B.%?e,=1C.一+—=1D.~~^

e}e2e~e；

【答案】D

13多選以已知雙曲線的虛軸為實軸、實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共輾

雙曲線，則以下說法，正確的有（）

A.雙曲線與它的共輾雙曲線有相同的準線

B.雙曲線與它的共輾雙曲線的焦距相等

C.雙曲線與它的共輾雙曲線的離心率相等

D.雙曲線與它的共輾雙曲線有相同的漸近線

【答案】BD

22

由雙曲線對稱性不妨令雙曲線C的方程為：?-與=1（。>0/>0）,則其共輾雙曲

ab

22

線C的方程為2-5=1,

b2a2

對于A,雙曲線C的準線垂直于x軸，雙曲線C的準線垂直于y軸，A不正確;

對于B,雙曲線C和雙曲線C的半焦距均為：c=GM，所以焦距相同，B正

確；

對于C,由B選項知，雙曲線C的離心率為耳=二,而雙曲線C的離心率為

ab

h

而a,6不一定等,C不正確;對于D,雙曲線C和雙曲線C的漸近線均為y=±-x,

a

D正確.

故選：BD

2

尤27

13多選已知雙曲線C：?一v%=10〉0）的離心率為Q,耳，B分別為。的左

右焦點，點P在C上，且|P用=6,則（）

A.b=7B.|P周=10C.\OP\=^19D.=—

【答案】BCD

由題意有業主￡=工,可得人=3百，可知選項A不正確，而c=7?萬=7,

22

因為。=7〉|「鳥|=6,所以點尸在。的右支上，由雙曲線的定義有:

|因|—|。8|=|「片|一6=2"=4,解得|P￡|=10,故選項B正確,

。「2+7?-史+。”>￡

在月中,有cosNPO耳+cosZPOF==0，解

22x0尸x72x(9Px7

得im=M,

10+614-

cosAFPF=-^~=A,所以/耳尸工=二，故選項C,D正確.

X22x10x623

故選：BCD.

22

多選若方程上所表示的曲線為c,則下面四個命題中正確的是

A.若則C為橢圖

B.若t<l.則C為雙曲線

C.若C為雙曲線，則焦距為4

D.若C為焦點在y軸上的橢圓，則3Vt<5

【答案】BD

14多選已知雙曲線G：，-谷=1（。>0力>0）的實軸長是2,右焦點與拋物線C2：

ab

V=8x的焦點R重合，雙曲線G與拋物線C2交于A、3兩點，則下列結論正確

的是（▲）

A.雙曲線G的離心率為2小B.拋物線。2的準線方程是x=-2

C.雙曲線G的漸近線方程為丁=±7§》D.\AF\+\BF\=y

【答案】BC

22

【解析】由題意可知對于G：，一斗■二l（〃>0,匕>0）,實軸長為2〃=2,即

2

而C2：產=8%的焦點尸為（2,0）,所以。=2,則雙曲線G的方程為——t=1,

則對于選項A,雙曲線Ci的離心率為￡=2=2,所以選項A錯誤；對于選項B,

a1

拋物線。2的準線方程是x=—2,所以選項B正確；對于選項C,雙曲線C1的

漸近線方程為尸±3=土Bx,所以選項C正確；對于選項D,由丁;口與

a

2_

%2一、=1聯立可得A（3,2V6）,B（3,-2新），所以由拋物線的定義可得\AF\

十|3網=/+4+2=3+3+4=10,所以選項D錯誤，綜上答案選BC.

2

14多選用月分別是雙曲線/-%=13〉0）的左右焦點，過B作X軸的垂線與雙

曲線交于A3兩點，若43耳為正三角形，則（）

A.b=42B.雙曲線的離心率百

C.雙曲線的焦距為2岔D.ABK的面積為4石

【答案】ABD

在正三角形鈣片中，由雙曲線的對稱性知，F}F2LAB,\AFt\=2\AF2\,

由雙曲線定義有：IA耳I-1A81=2,因此，\AF,|=4,|盟|=2,

|片/|=14耳12TA鳥|2=26，

即半焦距c=JL則6=后二？=0，A正確；

雙曲線的離心率e=：=G,B正確；雙曲線的焦距怩1|=26，C不正確；

AB片的面積為岑|44『=4百，D正確.故選：ABD

15多選已知雙曲線C的左、右焦點分別為耳、工，過心的直線與雙曲線的右支

交于43兩點，若|四|=|桃|=2|相則（）

A.ZAF.B^ZF.ABB.雙曲線的離心率6=叵

3

C.直線的A5斜率為±4&D.原點。在以B為圓心，人工為半徑的圓上

【答案】ABC

如圖：

設|A￡|=|BF2\=2\AF21=2m(m>0),則|AB|=|伍|+1%|=3m,

由雙曲線的定義知，\AFl\-\AF2\=2m-m=2a,即機=2a；IgI-13gl=2a,

即|8/|-2%=2a,：.\BFl\=3m=\AB\,即有=故選項A正確；

『+|8百|2—|4例24m2+9m2-9m21

由余弦定理知，在ABF,中，cosZA耳8=

2\AFl\\BF1\2-2m-3m3

cos4AB=一L一叱=4-+〃/一4/

在8中,=cosZAF,B=-

13

21AF1||AF212-2m-m

化簡整理得,12c2=llm2=446Z2,二?禺心率e=—=故選項B正確;

a

4c2+m2-4m2

在△A"耳中,cosZAFF=

212?2c?m

sinZAFF

tanNA8月=2l=4A/2,

cosZAF2Fr

???根據雙曲線的對稱性可知，直線AB的斜率為±40，故選項C正確;

若原點。在以B為圓心，畦為半徑的圓上，則―與不符‘故

選項D錯誤.故選：ABC.

22

16多選已知雙曲線C:點-3=l（a>0力>0）的右焦點為口，一條漸近線過點

（2A/3,V6）,則下列結論正確的是（）

_22

A.雙曲線。的離心率為gB.雙曲線C與雙曲線3=1有相同的漸近線

22

C.若p到漸近線的距離為2,則雙曲線c的方程為土—匕=1

84

2

D.若直線/:x=上與漸近線圍成的三角形面積為40,則焦距為60

C

【答案】BCD漸近線的方程為丁=土:X,因為一條漸近線過點倒6,而)，

故夕2鳳布即回，故離心率為，+\：=$71=當，故A錯誤.

又漸近線的方程為y=±1x,而雙曲線片-不=1的漸近線的方程為

224

,A/2

y=±x,

2

故B正確.

若歹到漸近線的距離為2,則〃=2,故a=2嫄，所以雙曲線。的方程為

22

土—匕=1,故C正確.

84

2(2(2r>

直線/：兀=幺與漸近線的兩個交點的坐標分別為：—及—,

CccJccJ

故40=工乂幺乂2義茲即40c2,而〃=后6,故b=^~c,a=^-c,所

2cc33

以4缶2=包|，*且0,所以0=30，故焦距為6后，故D正確.故選：BCD.

273

22

16多選已知點P在雙曲線J-j=l上,耳，工分別是左、右焦點，若月月的

169

面積為20,則下列判斷正確的有()

20附|+附|=,

A.點P到x軸的距離為至B.

71

C.為鈍角三角形D.=

【答案】BC

由雙曲線方程得a=4,b=3,則c=5,由回「耳耳的面積為20,

得92cxi力|=gxl0|yp|=20,得|%|=4,即點尸到了軸的距離為4,故A錯誤，

7090

將以1=4代入雙曲線方程得|琴|=三，根據對稱性不妨設尸（三，4）,貝IJ

|呷=欄一5）2+42=5,

1337

由雙曲線的定義知I尸耳1-1尸居1=20=8,則|「耳|=8+可=可，

1337503713

則|喈|+|「用|=5+可=§,故3正確，在回「耳月中，|/）不=可>2。=1。>|/^|=可，

k,"—_4__-_0_—1211八

則“桃—205―5，乙?乙片為鈍角，則回「耳工為鈍角三角形，故C正確，

---□

3

1337

cos/FPF」尸耳1+1尸KIT耳鳥I二（I刊"T尸工1）+21年;II尸耳1—100=“1UU+ZX3x3

CS12

0"2|尸耳||尸鳥|"2|尸耳||尸鳥|"2X13X37?

33

—1|_____3_6___—l1—__1_8_x_9_I'）I

-2x13x37-113x372,則/片尸工=.錯誤，故正確的是BC,故選

93

2

16雙曲線C:y2—土=i的漸近線方程為_________,設雙曲線￡：

4

22

宗-%=13>0*>0）經過點（4,1）,且與雙曲線c具有相同漸近線，則雙曲線q的

標準方程為.

【答案】J=5-?=1

【解析】⑴雙曲線C：y2—土=1的焦點在y軸上，且。=13=2,漸近線方程為

4

y=±尸，

b

故漸近線方程為丁=土;X；⑵由雙曲線4與雙曲線C具有相同漸近線，可設

CL?=彳，代入（4,1）有/一卜占人―3,故6:：/_亍=_3,化簡得

17已知。為坐標原點，拋物線C：丁2=2.武2>0）的焦點為尸，P為C上一點,

PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且若|FQ|=6,則歸典=_

【答案】3

拋物線C：y2=2px（P>0）的焦點?”為C上一點，PE與％軸垂直，

所以P的橫坐標為1,代入拋物線方程求得P的縱坐標為土，，不妨設P（gp）,

因為Q為x軸上一點，且PQLOP,所以Q在F的右側，

nULIU

又I產。1=6,。（6+§0）,PQ=（6「p）,因為PQLOP,所以

uurnUUQ?

PQ，OP=-^x6-p2=0,

Qp>0,.”=3,所以|尸耳=3故答案為回3.

若雙曲線4：V_3f=的右焦點與拋物線I2：產二標的焦點重合，則

實數2=（）

A.±3B.—逝C.3D.-3

【答案】D

雙曲線G的右焦點與拋物線的焦點（2，。）重合，所以雙曲線G方程化：

,22

22

再轉化為：勺―所以/=_4，

-33

所以=q2+/72=_§_/=一§2,所以c=,

所以-l^=2平方得X=—3.故選：D-

2

17設雙曲線C：爐-2=13〉0）的右焦點為p，點。（0力），已知點尸在雙曲線

。的左支上，若△PQB的周長的最小值是8,則雙曲線C的標準方程是

,止匕時，點尸的坐標為.

【答案】x*2-*4^=l1-f/

【解析】如下圖，設。為雙曲線。的左焦點，連接P。，QD,則。同，

\PF\=\PD\+2,故△PQY的周長Z=|PQ|+|P尸|+|Q同=|PQ|+|PD|+|QD|+2,

因為|PQ|+|PD|之|。。|=后壽，所以△P07的周長出2萬方+2，

因為APQF的周長的最小值是8,2y]c2+b2+2=8,c2+Z?2=9，

2

22

C=Z?+a^=^+1,所以b=2,c=F雙曲線。的方程為/一乙=1,

4

當△PQb的周長取最小值時，點尸在直線上，因為Q（0,2）,D（-A/5,0）,所

20“

y=-----x+2

以直線。。的方程為y=2叵x+2聯立？Y—_______

,解得2,或

-5

,=1

%=7?

（舍去）,

y=4-

（R\2

故P的坐標為一.」?故答案為：為一土1

.2,2,22

18已知雙曲線6：之一2=1（%>0,優>0）與。2：當一5=1（4>0也>0）有相同

b］v?2

的漸近線，若G的離心率為2,則。2的離心率為

【答案】友

3

22Jy

雙曲線。1：二一巳=1（4>0,4>0）的漸近線方程為丁=土」x,

可仿ai

Q：［-§=13>0也>。）的漸近線方程為y=土子X,由題意可得2=

a?b?"2"1"2

由Cl的離心率為2得：1=2。=1+（羽2,則（詈）2=3,

所以設。2的離心率為,則622=1+（卜）2=1+?=，故62=半，故答案為:

2石

亍

22

19知雙曲線5-2=1（。>0力>。），焦點耳（一。，0），乙（c,0）（c>0）,左頂點4（一。,0）,

ab

若過左頂點A的直線和圓口-■|j+y2=9相切，與雙曲線在第一象限交于點P,

且尸鳥_Lx軸，則直線的斜率是,雙曲線的離心率是.

A/24+0

【答案】

T-4~

如圖，設圓H+y2=g的圓心為2,則圓心坐標8（*0）,半徑為j則照專,

、乙）J乙乙乙

設過左頂點A的直線和圓相切于點C,連接3C,貝1］網《，所

__________af—

以|ACk屈可了=缶，得tanNBAC=W4=/-=^，所以直線的斜率是坐;

\AC\缶44

尸月八軸，由雙曲線的通徑可得，|尸用=必，又|北卜4+0,所以

a

片

tanZBAC=|^=-工=也，化簡得4e?-缶-（4+女）=0,求解得e=

'|A7^|a+c4

故答案為：正；生克

44

2

已知雙曲線C：--y2=l.

4

（I）求以C的焦點為頂點、以C的頂點為焦點的橢圓的標準方程；

（II）求與C有公共的焦點，且過點（2,-V3）的雙曲線的標準方程，并且求

出這條雙曲線的實軸長、焦距、離心率以及漸近線方程.

2

解：（I）雙曲線C：幺-必二工的焦點為（土巡，o）,頂點為（±2,0）,

4

_23=.______

設橢圓的標準方程為匚+4=1（a>b>0）,可得c=2,。=巡，b=j2_2=

2u2vac

ab

222

1,則橢圓的方程為工+y2=l；（II）設所求雙曲線的方程為幺-4=1（m.n

5m2n2

>0）,

由題意可得m2+〃2=5,-A--A=i,

mn

解得m=?4，n=、底即所求雙曲線的方程為/-xl=i,

23

則這條雙曲線的實軸長為2y、焦距為2泥、離心率為華以及漸近線方程為y

2222

20已知雙曲線C：J=l(a>0,b>0)與雙曲線2--3-=1有相同的漸

a2b242

近線,且經過點/W(F，-五).

(I)求雙曲線C的方程；

(II)求雙曲線C的實軸長，離心率，焦點到漸近線的距離.

22

：(I),雙曲線c與雙曲線2--有相同的漸近線,

42

???設雙