第1頁（共1頁）一．選擇題（共21小題）1．（2006?寧波校級自主招生）G為△ABC的重心，△ABC的三邊長滿足AB＞BC＞CA，記△GAB，△GBC，△GCA的面積分別為S1、S2、S3，則有（）A．S1＞S2＞S3 B．S1=S2=S3C．S1＜S2＜S3 D．S1S2S3的大小關系不確定【分析】根據三角形的重心是三角形三條中線的交點，可以延長CG交AB于點D，則可求得S2=S3，同理可證明S1=S2，故S1、S2、S3面積關系可求．【解答】解：如圖，延長CG交AB于點D則△ACD的面積=△BCD的面積，△AGD的面積=△BGD的面積∴S2=S3同理可證明S1=S2∴S1=S2=S3故選：B．【點評】考查了重心的概念．根據三角形的面積公式，可知三角形的重心是三角形三條中線的交點，可以把三角形分割成面積相等的兩部分．2．（2008?臺灣）如圖，G是△ABC的重心，直線L過A點與BC平行．若直線CG分別與AB，L交于D，E兩點，直線BG與AC交于F點，則△AED的面積：四邊形ADGF的面積=（）A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2【分析】根據重心的概念得出D，F分別是三角形的中點．若設△ABC的面積是2，則△BCD的面積和△BCF的面積都是1．又因為BG：GF=CG：GD，可求得△CGF的面積．則四邊形ADGF的面積也可求出．根據ASA可以證明△ADE≌△BDC，則△ADE的面積是1．則△AED的面積：四邊形ADGF的面積可求．【解答】解：設三角形ABC的面積是2∴三角形BCD的面積和三角形BCF的面積都是1∵BG：GF=CG：GD=2∴三角形CGF的面積是∴四邊形ADGF的面積是2﹣1﹣=∵△ADE≌△BDC（ASA）∴△ADE的面積是1∴△AED的面積：四邊形ADGF的面積=1：=3：2．故選：D．【點評】此題考查了重心的概念和性質：三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．3．（2010?荊門）給出以下判斷：（1）線段的中點是線段的重心（2）三角形的三條中線交于一點，這一點就是三角形的重心（3）平行四邊形的重心是它的兩條對角線的交點（4）三角形的重心是它的中線的一個三等分點那么以上判斷中正確的有（）A．一個 B．兩個 C．三個 D．四個【分析】重心指幾何體的幾何中心．【解答】解：（1）線段的中點到線段兩個端點的距離相等，為線段的重心，正確；（2）三角形的中線平分三角形的三條邊，所以三條中線的交點為三角形的重心，正確；（3）平行四邊形對角線的交點到平行四邊形對角頂點的距離相等，為平行四邊形的中心，正確；（4）利用平行可得三角形的重心把中線分為1：2兩部分，所以是它的中線的一個三等分點，正確；故選：D．【點評】主要考查了常見圖形的重心．4．（2012?樂平市校級自主招生）在△ABC中，P、Q分別在AB、AC上，且，則PQ一定經過△ABC的（）A．垂心 B．外心 C．重心 D．內心【分析】結合題意畫出圖形，由線段之比之和為1，聯想到重心，就可以作出BC邊上的中線交PQ于點G．利用條件證明G為重心【解答】解：作BC邊上的中線AD，交PQ于G，過B作BE∥PQ交AD于E，過C作CF∥PQ交AD的延長線于F．則D是BC的中點，BE∥CF，由△BED≌△CFD得ED=FD，∵+=+===∵根據已知條件，得=1，即=，故G是△ABC的重心，故選：C．【點評】此題考查三角形重心性質的證明，是一道難度較大的幾何證明題．5．（2017秋?高港區校級月考）三角形的重心是（）A．三角形三邊垂直平分線的交點B．三角形三邊上高所在直線的交點C．三角形三邊上中線的交點D．三角形三個內角平分線的交點【分析】由三角形的重心的定義可得：三角形的重心是三條中線的交點．【解答】解：三角形的重心是三條中線的交點．故選：C．【點評】本題考查的是三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三條中線的交點是解題的關鍵．6．（2017?泰州）三角形的重心是（）A．三角形三條邊上中線的交點B．三角形三條邊上高線的交點C．三角形三條邊垂直平分線的交點D．三角形三條內角平分線的交點【分析】根據三角形的重心是三條中線的交點解答．【解答】解：三角形的重心是三條中線的交點，故選：A．【點評】本題考查了三角形重心的定義．掌握三角形的重心是三條中線的交點是解題的關鍵．7．（2017?樊城區模擬）如圖，在△ABC中，中線BE，CD相交于點O，連接DE，下列結論：①；②；③；④其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】BE、CD是△ABC的中線，即D、E是AB和AC的中點，即DE是△ABC的中位線，則DE∥BC，△ODE∽△OCB，根據相似三角形的性質即可判斷．【解答】解：∵BE、CD是△ABC的中線，即D、E是AB和AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=BC，即，DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴，，故①正確，②錯誤，③④正確；故選：C．【點評】本題考查了三角形的中位線定理，相似三角形的判定與性質，利用三角形的面積公式證明△ODE和△ADC之間的關系是關鍵．8．（2017?臨沭縣一模）如圖，在△ABC中，BD，CE分別為AC，AB邊上的中線，BD⊥CE．若BD=3，CE=2，則△ABC的面積為（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根據題意得到點O是△ABC的重心，得到OC=CE=4，根據三角形的面積公式求△BDC的面積，根據三角形的中線的性質計算即可．【解答】解：∵BD，CE分別為AC，AB邊上的中線，∴點O是△ABC的重心，∴OC=CE=，∴△BDC的面積=×BD×OC=×3×=2，∵BD為AC邊上的中線，∴△ABC的面積=2×△BDC的面積=4，故選：A．【點評】本題考查的是重心的概念和性質：三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．9．（2017?碑林區校級模擬）如圖，點G為△ABC的重心，則S△ABG：S△ACG：S△BCG的值是（）A．1：2：3 B．2：1：2 C．1：1：1 D．無法確定【分析】首先延長AG交BC于點D，判斷出點D是BC邊的中點，即可判斷出S△ABD=S△ACD=S△ABC；然后根據三角形的面積和底的正比關系，求出S△ABG=S△ABD=S△ABC，同理可證：S△ACG=S△BCG=S△ABC，即可求出結論．【解答】解：如圖，延長AG交BC于點D，∵G點為△ABC的重心，∴點D是BC邊的中點，∴S△ABD=S△ACD=S△ABC；∵G點為△ABC的重心，∴AG：GD=2：1，∴AG=AD，∴S△ABG=S△ABD=S△ABC．同理可證：S△ACG=S△BCG=S△ABC．∴S△ABG：S△ACG：S△BCG=1：1：1．故選：C．【點評】此題主要考查了三角形的重心的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：重心就是三條中線的交點，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．10．（2017?浦東新區一模）如圖，△ABC的兩條中線AD、CE交于點G，且AD⊥CE，聯結BG并延長與AC交于點F，如果AD=9，CE=12，那么下列結論不正確的是（）A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=15【分析】根據題意得到點G是△ABC的重心，根據重心的性質得到AG=AD=6，CG=CE=8，EG=CE=4，根據勾股定理求出AC、AE，判斷即可．【解答】解：∵△ABC的兩條中線AD、CE交于點G，∴點G是△ABC的重心，∴AG=AD=6，CG=CE=8，EG=CE=4，∵AD⊥CE，∴AC==10，A正確；AE==2，∴AB=2AE=4，B錯誤；∵AD⊥CE，F是AC的中點，∴GF=AC=5，∴BG=10，C正確；BF=15，D正確，故選：B．【點評】本題考查的是三角形的重心的概念和性質，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．11．（2017?陜西模擬）點G是△ABC的重心，如果AB=AC=5，BC=8，那么AG的長是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據題意畫出圖形，連接AG并延長交BC于點D，由等腰三角形的性質可得出AD⊥BC，再根據勾股定理求出AD的長，由三角形重心的性質即可得出AG的長．【解答】解：如圖所示：連接AG并延長交BC于點D，∵G是△ABC的重心，AB=AC=5，BC=8，∴AD⊥BC，BD=BC=×8=4，∴AD===3，∴AG=AD=×3=2．故選：B．【點評】本題考查的是三角形的重心，熟知重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1是解答此題的關鍵．12．（2017?路南區一模）已知△ABC在正方形網格中的位置如圖所示，點A、B、C、P均在格點上，則點P叫做△ABC的（）A．內心 B．重心 C．外心 D．無法確定【分析】根據正方形網格圖、三角形的重心的概念解答．【解答】解：由正方形網格圖可以看出，點E、F、D分別是AC、AB、BC的中點，∴點P叫做△ABC的重心，故選：B．【點評】本題考查的是三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三角形三條中線的交點是解題的關鍵．13．（2017?莒縣模擬）如圖，△ABC的兩條中線BE、CD交于O，則S△EDO：S△ADE=（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：6【分析】首先根據三角形的面積的求法，判斷出S△CDE=S△ADE；然后判斷出DE∥BC，推得=，求出S△EDO：S△ADE的值是多少即可．【解答】解：∵△ABC的兩條中線BE、CD交于O，∴點E是AC的中點，∴S△CDE=S△ADE；∵△ABC的兩條中線BE、CD交于O，∴DE∥BC，∴==，∴=，∴S△EDO：S△CDE=1：3，∵S△CDE=S△ADE，∴S△EDO：S△ADE=1：3．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的重心，以及三角形的面積的求法，要熟練掌握．14．（2017春?吉安縣期末）如圖，小明用鉛筆可以支起一張質地均勻的三角形卡片，則他支起的這個點應是三角形的（）A．三邊高的交點 B．三條角平分線的交點C．三邊垂直平分線的交點 D．三邊中線的交點【分析】根據題意得：支撐點應是三角形的重心．根據三角形的重心是三角形三邊中線的交點．【解答】解：∵支撐點應是三角形的重心，∴三角形的重心是三角形三邊中線的交點，故選：D．【點評】考查了三角形的重心的概念和性質．注意數學知識在實際生活中的運用．15．（2016秋?南岸區校級期末）如圖，△ABC的兩條中線AD和BE相交于點G，過點E作EF∥BC交AD于點F，則FG：AG是（）A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：3【分析】根據重心的性質得到AG=2DG，BG=2GE，根據平行線分線段成比例定理計算即可．【解答】解：∵△ABC的兩條中線AD和BE相交于點G，∴點G是△ABC的重心，∴AG=2DG，BG=2GE，∵EF∥BC，∴==，∴FG：AG=1：4，故選：A．【點評】本題考查的是三角形的重心的概念和性質、平行線分線段成比例定理的應用，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．16．（2016秋?孝義市期末）如圖，BD、CE分別是△ABC的中線，BD與CE交于點O，則下列結論中正確的是（）A．= B．=C．= D．=【分析】由△ABC的中線BD、CE相交于點O，推出DE∥BC，=，推出△EOD∽△COB，推出=．【解答】解：∵△ABC的中線BD、CE相交于點O，∴DE∥BC，=，∴△EOD∽△COB，∴=．故選：C．【點評】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質等知識，屬于基礎題，中考常考題型．17．（2017春?槐蔭區期末）如圖，已知點D是△ABC的重心，若AE=4，則AC的長度為（）A．4 B．8 C．10 D．12【分析】利用三角形重心的定義得到BE為AC邊的中線，然后根據E點為AC的中求解．【解答】解：∵點D是△ABC的重心，∴BE為AC邊的中線，∴AC=2AE=8．故選：B．【點評】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點．18．（2016秋?安岳縣期末）已知G是△ABC的重心，且GP∥BC交AB于點P，BC=3，則GP的長為（）A． B． C． D．【分析】根據平行線分線段成比例定理，可得AG=AM=×=BC，即可求GP．【解答】解：連接AG并延長交BC于M，根據題意，可知則M是BC的中點，又∵GP∥BC，∴AG=AM，∴AG=AMGP=BM=×=BC，GP=．故選：A．【點評】本題主要考查了相似三角形的性質，以及平行線分線段成比例定理，正確求得AG=AM是解題關鍵．19．（2017秋?沅陵縣期中）如果三角形三條中線的交點在三角形的內部，那么這個三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定【分析】根據三角形的重心的定義即可判定．【解答】解：因為銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形的三條中線的交點都在三角形的內部，所以三角形三條中線的交點在三角形的內部，無法確定這個三角形的形狀．故選：D．【點評】本題考查三角形的重心，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．20．（2017秋?楊浦區校級月考）如圖，△ABC的兩條中線AD、CE交于點M，聯結BM并延長，交AC于F，已知AD=9，CE=12且AD⊥CE．那么下列結論中不正確的是（）A．AC=10 B．BM=10 C．AB=15 D．FB=15【分析】根據題意得到點M是△ABC的重心，根據重心的性質得到AM=AD=6，CM=CE=8，EM=CE=4，根據勾股定理求出AC、AE，判斷即可．【解答】解：∵△ABC的兩條中線AD、CE交于點G，∴點G是△ABC的重心，∴AM=AD=6，CG=CE=8，EM=CE=4，∵AD⊥CE，∴AC==10，A正確；∵AD⊥CE，F是AC的中點，∴MF=AC=5，∴BM=10，B正確AE==2，∴AB=2AE=4，C錯誤；BF=15，D正確，故選：C．【點評】本題考查的是三角形的重心的概念和性質，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．21．（2017春?江陰市校級月考）如圖3，△ABC的中線AD、BE相交于點F，記△ABF、四邊形DCEF的面積分別為S1、S2，則S1、S2的大小關系是（）A．S1＜S2 B．S1=S2 C．S1＞S2 D．無法確定【分析】求出DE=AB，DE∥AB，證相似求出△CDE的面積，求出△ABE的面積，求出△ABF的面積，根據相似求出△DEF的面積，相加即可得出答案．【解答】解：連接DE，∵△ABC的中線為AD，BE，∴DE=AB，DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴=4，∵DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，∴，∵BE為△ABC的中線，∴△ABE的面積為△ABC的面積，∴△ABF的面積為：△ABC的面積，∵△DEF∽△ABF，∴，∴△DEF的面積=△ABF的面積，∴四邊形DCEF的面積是△ABC的面積+△ABC的面積=△ABC的面積．∴四邊形DCEF的面積：△ABF的面積=：=1：1；故選：B．【點評】本題考查三角形的中位線定理，三角形的面積，相似三角形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是求出各個三角形的面積．二．填空題（共24小題）22．（2008?上海模擬）在△ABC中，過重心G且平行BC的直線交AB于點D，那么AD：DB=2：1．【分析】根據三角形的重心性質，結合三角形的中位線定理以及平行線分線段成比例定理知：三角形的重心到三角形頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．【解答】解：∵三角形的重心到三角形頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍∴AD：DB=2：1．【點評】此題考查了三角形的重心的概念和三角形的重心的性質．23．（2009?河南模擬）三角形內一點到各頂點的距離是該線段的，則這點是三角形三條中線的交點．【分析】根據題意，畫出圖形，由中位線定理求得各線段之間的關系，再判斷求解．【解答】解：設AE、BF、CD分別是△ABC的中線，G為交點，連接DF由中位線定理DF∥BC，∴△DFG∽△BCG∴即CG=2DG，BG=2FG同理AG=2GD∴三角形的三條中線交于一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍∴三角形內一點到各頂點的距離是該線段的∴這點是三角形三條中線的交點．【點評】三角形的三條中線交于一點，這一點稱作三角形的重心．24．（2018?奉賢區一模）已知AD、BE是△ABC的中線，AD、BE相交于點F，如果AD=6，那么AF的長是4．【分析】根據三角形的重心的概念和性質計算即可．【解答】解：∵AD、BE是△ABC的中線，∴點F是△ABC的重心，∴AF=AD=4，故答案為：4．【點評】本題考查的是三角形的重心的概念和性質，掌握三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍是解題的關鍵．25．（2018?普陀區一模）如圖，點D在△ABC的邊BC上，已知點E、點F分別為△ABD和△ADC的重心，如果BC=12，那么兩個三角形重心之間的距離EF的長等于4．【分析】連接AE并延長交BD于G，連接AF并延長交CD于H，根據三角形的重心的概念、相似三角形的性質解答．【解答】解：如圖，連接AE并延長交BD于G，連接AF并延長交CD于H，∵點E、F分別是△ABD和△ACD的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH=（BD+CD）=BC=×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案為：4．【點評】本題考查了三角形重心的概念和性質，三角形的重心是三角形中線的交點，三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的2倍．26．（2017秋?南關區期末）如圖，點G是△ABC的重心，連結BG并延長交AC于點D，則的值是1．【分析】根據三角形的重心是三角形三邊中線的交點解答即可．【解答】解：∵點G是△ABC的重心，∴AD=DC，即=1，故答案為：1【點評】此題考查三角形的重心問題，關鍵是根據三角形的重心是三角形三邊中線的交點解答．27．（2017秋?廣豐區期末）我們知道對于任意三角形，它的三條中線一定交于一點（重心），任意三角形的三條高、三條角平分線也分別交于一點【分析】根據三角形的高線、中線、角平分線的性質解答即可．【解答】解：任意三角形的三條高線、三條中線、三條角平分線分別交于一點，故答案為：一點【點評】本題考查了三角形的高線、中線、角平分線的性質，關鍵是根據三角形的高線、中線、角平分線的性質解答．28．（2017秋?泰興市期末）如圖，△ABC中，中線BE與中線AD交于點G，若DG=2，則AG=4．【分析】根據三角形的重心的性質解答即可．【解答】解：∵△ABC中，中線BE與中線AD交于點G，DG=2，∴AG=4，故答案為：4；【點評】此題考查三角形的重心問題，關鍵是根據重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1解答．29．（2017秋?江都區月考）如圖，點G是△ABC的重心，GE∥AB交BC于點E，GF∥AC交BC于點F，若△GEF的周長是2，則△ABC的周長為6．【分析】由GE∥AB，推出△DGE∽△DAB，推出===，可得AB=3GE，DB=3ED，同理可得AC=3GF，DC=3DF，即可推出△ABC的周長=AB+AC+BC=3GE+3GF+3EF=3（GE+GF+EF）；【解答】解：如圖，∵G是△ABC的重心，∴=2，∴=，∵GE∥AB，∴△DGE∽△DAB，∴===，∴AB=3GE，DB=3ED，同理可得AC=3GF，DC=3DF，∴△ABC的周長=AB+AC+BC=3GE+3GF+3EF=3（GE+GF+EF）=3×2=6．故答案為6．【點評】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．也考查了相似三角形的判定與性質．30．（2017?青浦區一模）點G是△ABC的重心，GD∥AB，交邊BC于點D，如果BC=6，那么CD的長是4．【分析】根據三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的2倍解答即可．【解答】解：延長AG交BC與F，∵點G是△ABC的重心，BC=6，∴BF=3，∵點G是△ABC的重心，∴AG：GF=2：1，∵GD∥AB，∴BD：DF=DG：GF=2：1，∴BD=2，DF=1，∴CD=3+1=4，故答案為：4【點評】本題考查了三角形的重心，熟記三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的2倍是解題的關鍵．31．（2017?鄂城區校級二模）已知G為△ABC的重心，過G的直線交AB于P，交AC于Q，設=a，=b，則+=1．【分析】根據三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．可以分別過點B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于點E，F，根據平行線等分線段定理和梯形中位線定理可得到兩個等式，代入所求代數式整理即可得到答案．【解答】解：分別過點B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于點E，F，則GE=GF，∵GD是梯形的中位線，∴BE+CF=2GD，∴+=+=+===1，故答案為1．【點評】本題主要考查了重心的概念和性質，能夠熟練運用平行線分線段成比例定理、平行線等分線段定理以及梯形的中位線定理，難度適中．32．（2017?永嘉縣三模）如圖，在△ABC中，兩條中線BE、CD相交于點O，則S△ADE：S△COE=3：2．【分析】由題意可得DE為三角形的中位線，利用中位線定理得到DE與BC平行，可得出三角形ADE與三角形ABC相似，進而得到面積之比，且得到三角形COE與三角形BOC相似，進而求出所求．【解答】解：∵在△ABC中，兩條中線BE、CD相交于點O，∴DE為中位線，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，∴S△ADE：S△ABC=1：4，S△DOE：S△COB=1：4，∵OD：OC=1：2，∴S△DOE：S△COE=1：2，S△DOB：S△COB=1：2，∴S△COE=S四邊形DBCE=×S△ABC=S△ABC，則S△ADE：S△COE=：=3：2．故答案為：3：2【點評】此題考查了三角形的重心，以及三角形面積，熟練掌握相似三角形的性質是解本題的關鍵．33．（2017?泰州三模）Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=12，G為△ABC的重心，則CG=4．【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，點G為重心，AB=12，則AB邊上的中線是6，根據重心的性質即可求出CG．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵AB=12，∴AB邊上的中線是6，∵點G為重心，∴CG=6×=4．故答案是：4．【點評】本題主要考查了三角形的重心的性質，是需要熟記的內容．重心的性質：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1；②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等；③重心到三角形3個頂點距離的和最小（等邊三角形）．34．（2017?奉賢區一模）邊長為2的等邊三角形的重心到邊的距離是．【分析】根據等邊三角形的性質、勾股定理求出高AD，根據重心的性質計算即可．【解答】解：如圖，△ABC為等邊三角形，過A作AD⊥BC，交BC于點D，則BD=AB=1，AB=2，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AD==，則重心到邊的距離是為：×=，故答案為：．【點評】本題考查的是三角形的重心的概念、等邊三角形的性質，掌握重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1是解題的關鍵．35．（2017?徐州一模）如圖，△ABC的兩條中線AD、CE交于點G，且AD⊥CE．連接BG并延長與AC交于點F，若AD=9，CE=12，則GF為5．【分析】根據重心的性質得到AG=AD=6，CG=CE=8，根據勾股定理求出AC，根據直角三角形的性質計算即可．【解答】解：∵點G是△ABC的兩條中線AD、CE的交點，∴點G是△ABC的重心，∴AG=AD=6，CG=CE=8，∵AD⊥CE，∴AC==10，∵點G是△ABC的重心，∴點F是AC的中點，∴GF=AC=5，故答案為：5．【點評】本題考查的是三角形的重心的概念和性質：三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．36．（2017?泰興市校級二模）如圖，點G是△ABC的重心，連結AG并延長交BC于點D，過點G作EF∥AB交BC于E，交AC于F．若AB=12，那么EF=8．【分析】由重心定理得到DG：DA=1：3，根據平行線分線段成比例定理證得=，再根據D是BC的中點化簡得到=，把AB值代入即可．【解答】解：∵點G是△ABC的重心，∴DG：AG=1：2，∴DG：DA=1：3，∵GE∥AB，∴=，∴=，即=，∴==，∴=，∴=，∴=，∵AB=12，∴EF=8，故答案為8．【點評】本題主要考查了三角形的重心以及平行線分線段成比例定理的綜合應用，掌握重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1是解題的關鍵．37．（2016秋?蚌埠期末）如圖，△ABC的兩條中線AD、BE相交于點G，如果AD=6，那么GD=2．【分析】直接根據三角形重心的性質進行解答即可．【解答】解：∵△ABC的兩條中線AD、BE相交于點G，∴點G是△ABC的重心，∵AD=6，∴GD=AD=×6=2．故答案為：2．【點評】本題考查的是三角形的重心，熟知重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1是解答此題的關鍵．38．（2016秋?宜賓期末）如圖，在△ABC中，G是重心．如果AG=6，那么線段DG的長為3．【分析】根據重心的性質三角形的重心到一頂點的距離等于到對邊中點距離的2倍，直接求得結果．【解答】解：∵三角形的重心到頂點的距離是其到對邊中點的距離的2倍，∴DG=AG=3．故答案為：3．【點評】此題考查三角形重心問題，掌握三角形的重心的性質：三角形的重心到頂點的距離是其道對邊中點的距離的2倍．運用三角形的中位線定理即可證明此結論．39．（2017秋?姜堰區期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，F為△ABC的重心，AB=6，則EF=1．【分析】根據直角三角形的性質，可得CE的長，再根據三角形的重心的性質，即可得到EF的長．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，F為△ABC的重心，∴點D，E分別是中點，∴CE=AB=×6=3，∵F為△ABC的重心，∴EF=CE=1，故答案為：1．【點評】本題主要考查了三角形的重心，解題時注意：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．40．（2017秋?利辛縣期中）如圖所示，△ABC的兩條中線AD，BE交于點F，連接CF，若△ABF的面積為8，則△ABC的面積為24．【分析】由中線得：S△ABD=S△ADC、S△BDF=S△FDC，同理得：S△ABF=S△BFC，所以△ABC的面積等于3×8=24．【解答】解∵AD是中線，∴S△ABD=S△ADC，S△BDF=S△FDC，∴S△ABD﹣S△BDF=S△ADC﹣S△FDC，即S△ABF=S△ACF，同理得：S△ABF=S△BFC，∴S△ABF=S△ACF=S△BFC，∴3S△ABF=S△ABC=24，故答案為：24【點評】本題考查了三角形的面積問題，應用了三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，與各三角形面積的和與差相結合，分別求出各三角形的面積；本題是求三角形的面積，思考的方法有兩種：①直接利用面積公式求；②利用面積的和與差求；本題采用了后一種方法．41．（2017秋?海陵區期中）已知G為Rt△ABC的重心，斜邊AB=6，則GC=2．【分析】根據直角三角形的性質求出斜邊上的中線，根據重心的概念計算．【解答】解：∵Rt△ABC的斜邊AB=6，∴斜邊上的中線長為：AB=3，∴GC=×斜邊上的中線=2，故答案為：2．【點評】本題考查的是三角形的重心的概念和性質：三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．42．（2017秋?海陵區校級期中）如圖，在Rt△ABC中，點G為重心，斜邊BC=6，則線段AG=2．【分析】根據直角三角形的性質求出AH，根據重心的概念計算．【解答】解：∵Rt△ABC中，點G為重心，∴AH=BC=3，AG=AH，∴AG=2，故答案為：2．【點評】本題考查的是重心的概念和性質、直角三角形的性質，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．43．（2017秋?鄭州期中）如圖所示，已知點G為Rt△ABC的重心，∠ABC=90°，若AB=12cm，BC=9cm，則△AGD的面積是9cm2．【分析】由于G為直角△ABC的重心，所以BG=2GD，AD=DC，根據三角形的面積公式可以推出S△AGD=S△ABD=?S△ABC=S△ABC，而△ABC的面積根據已知條件可以求出，所以也可以求出△AGD的面積．【解答】解：∵G為直角△ABC的重心，∴BG=2GD，AD=DC，∴S△AGD=S△ABD=?S△ABC=S△ABC，而S△ABC=AB×BC=54，∴S△AGD=9cm2故答案為：9cm2【點評】本題主要考查了三角形的重心的性質，關鍵是根據G為直角△ABC的重心，得出BG=2GD，AD=DC．44．（2017春?江陰市校級月考）如圖，△ABC的中線BD、CE相交于點O，OF⊥BC，且AB=7，BC=6，AC=4，OF=2，則四邊形ADOE的面積是6．【分析】首先根據三角形的面積=底×高÷2，求出△BOC的面積是多少；然后根據三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，可得△BCD、△ACE的面積均是△ABC的面積的一半，據此判斷出四邊形ADOE的面積等于△BOC的面積，據此解答即可．【解答】解：∵BD、CE均是△ABC的中線，∴S△BCD=S△ACE=S△ABC，∴S四邊形ADOE+S△COD=S△BOC+S△COD，∴S四邊形ADOE=S△BOC=6×2÷2=6．故答案為：6．【點評】此題主要考查了三角形的面積的求法，以及三角形的中線的性質，要熟練掌握，解答此題的關鍵要明確：（1）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；（2）三角形的面積=底×高÷2．45．（2017春?晉江市校級月考）如圖，點G為△ABC三邊的重心，若S△ABC=12，則圖中陰影部分的面積是4．【分析】根據重心的概念和性質分別求出S△BGF和S△CGE，計算即可．【解答】解：∵點G為△ABC三邊的重心，∴AD是△ABC的中線，CF是△ABC的中線，AG=2GD，∴S△ABD=S△ABC=6，∴S△ABG=2S△CBD=4，∴S△BGF=2，同理，S△CGE=2，∴圖中陰影部分的面積是4，故答案為：4．【點評】本題考查的是重心的概念和性質：三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．三．解答題（共5小題）46．過三角形的重心任作一直線，把這個三角形分成兩部分，求證：這兩部分面積之差不大于整個三角形面積的．【分析】根據題意畫圖，設△ABC重心為G，過點G分別作各邊的平行線與各邊交點依次為A1、B1、B2、C1、C2、A2連接A1A2；B1B2、C1C2，根據重心的性質可得A1A=A1Bl=B1B，BB2=B2Cl=C1C，CC2=C2A2=A2A，從而求得圖中的9個三角形全等，即9個小三角形的面積均等于△ABC面積的．此時過點C作直線，討論恰好與直線A1C1、B1C2、B2A2重合和不重合兩種情況，最后總結結論．【解答】解：設△ABC重心為G，過點G分別作各邊的平行線與各邊交點依次為A1、B1、B2、C1、C2、A2連接A1A2；B1B2、C1C2，∵三角形重心到一個頂點的距離等于它到對邊中點距離的二倍，∴A1A=A1Bl=B1B，BB2=B2Cl=C1C，CC2=C2A2=A2A，∵A1A2∥BC，B1B2∥AC，C1C2∥AB，∴圖中的9個三角形全等．即△AA1A2≌△A1B1G≌△B2GB1≌△C2ClC、所以上述9個小三角形的面積均等于△ABC面積的．若過點G作的直線恰好與直線A1C1、B1C2、B2A2重合，則△ABC被分成的兩部分的面積之差等于一個小三角形的面積，即等于△ABC面積的．若過點G作的直線不與直線A1C1、B1C2、B2A2重合，不失一般性，設此直線交AC于F，交AB于E，交C1C2于D，∵GBl=GC2，∠EB1G=∠DC2G，∠B1GE=∠C2GD，∴△B1GE≌△C2GD、∴EF分△ABC成兩部分的面積之差等于，而這個差的絕對值不會超過S△C1C2C的面積．從而EF分△ABC成兩部分的面積之差不大于△ABC面積的．綜上所述：過三角形重心的任一直線分三角形成兩部分的面積之差不大于整個三角形面積的．【點評】此題考查了重心的性質：三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍，綜合利用了三角形全等的判定和三角形面積的計算．47．△ABC中，G為重心，l是過G的一條動直線，且分別交AB、AC于點E、F，設S△ABC=1，問l在何處時，所截得的△AEF面積取到最大值或最小值．【分析】如圖所示，連接AG并延長交BC于D，分別過A、B、D、C作l的垂線，垂足分別為H、K、P、Q，則．由垂直得平行的四條直線，根據平行線的性質、梯形中位線的性質求得，BK+CQ=2DP，設（0≤x≤1），則，討論x的取值即可．【解答】解：如圖所示，連接AG并延長交BC于D，分別過A、B、D、C作l的垂線，垂足分別為H、K、P、Q，則BK∥AH∥PD∥CQ，∴，且，∴，又G為△ABC的重心，∴BD=DC，∴BK+CQ=2DP，∴．∵．設（0≤x≤1），則．而2≤（當時，右邊取等號，即最大值；當x=0或1時，左邊取等號，即最小值）∴．即當時，△AEF面積取到最大值；當x=0或1時，△AEF面積取到最小值．【點評】此題考查了重心的概念和性質、平行線的判定和性質、梯形中位線定理等知識點，難度大，作輔助線也很關鍵．48．（1）如圖1，G是△ABC的重心，AG，BG，CG的延長線分別交BC，AC，AB于點D，E，F，的值為6；（2）如圖2，G是△ABC的重心．∠ACB＞90°，連接AG，BG，CG，①當∠AGC=90°，證明：BG=AC；（3）設G是△ABC的重心，BC=a，AC=b，AB=c，當△ACG為直角三角形時，請直接寫出a，b，c之間的數量關系．【分析】（1）根據重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，可得，據此求出的值為多少即可；（2）首先根據重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，可得BG=2GD；然后判斷出在直角三角