專題04倍長中線模型【模型說明】【例題精講】例1．（基本模型）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點，DC⊥BC，則點A到直線CD的距離是_____．例2．（綜合應用）（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED=AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設AD＝x，可得x的取值范圍是_______；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE＋CF＞EF．例3．（培優應用）已知中，（1）如圖1，點E為的中點，連并延長到點F，使，則與的數量關系是________．（2）如圖2，若，點E為邊一點，過點C作的垂線交的延長線于點D，連接，若，求證：．（3）如圖3，點D在內部，且滿足，，點M在的延長線上，連交的延長線于點N，若點N為的中點，求證：．【變式訓練1】如圖，中，，E是的中點，求證：．【變式訓練2】如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上中線BD取值范圍．（1）小聰同學是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數量關系，并說明理由．【課后作業】1．如圖，已知AD是△ABC的中線，E是AC上的一點，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，則∠ACB＝_____．2．在△ABC中，AB＝AC，點D是△ABC內一點，點E是CD的中點，連接AE，作EF⊥AE，若點F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）3．如圖，在銳角中，，點，分別是邊，上一動點，連接交直線于點．(1)如圖1，若，且，，求的度數；(2)如圖2，若，且，在平面內將線段繞點順時針方向旋轉得到線段，連接，點是的中點，連接．在點，運動過程中，猜想線段，，之間存在的數量關系，并證明你的猜想．4．【觀察發現】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長AD到點E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應用】如圖②，ABCD，AB＝25，CD＝8，點E為BC的中點，∠DFE＝∠BAE，求DF的長為．（直接寫答案）【應用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點，求證：AP⊥DP．5．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點D是線段AM上一動點．（1）如圖1，點C是BM延長線上一點，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；（2）如圖2，在（1）的條件下，點E是△ABM外一點，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點，求證：∠BDF＝∠CEF．（3）如圖3，當E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時，請你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數量關系．（不用證明）6．已知：等腰和等腰中，，，．（1）如圖1，延長交于點，