第四章波動理論分析................................................2

4.1階躍光纖中直角坐標系下的波動方程.......................................2

4.2階躍光纖中柱坐標系下的波動方程.........................................5

4.3階躍光纖中模式的嚴格解一一矢量模解.....................................8

4.3.1階躍光纖中軸向電磁場分布所滿足的方程.............................8

4.3.2利用分離變量法分解波動方程........................................9

4.3.3波動方程的通解....................................................9

4.3.4利用邊界條件求出波導方程（本征方程）............................15

4.4矢量模的分析...........................................................17

4.4.1模式的引入........................................................17

一、模式的概念.....................................................17

二、模式的分類.....................................................18

三、模式的特點....................................................19

四、射線與模式.....................................................19

4.4.2階躍光纖中的模式分析.............................................21

一、階躍光纖中的模式及其分類......................................21

二、階躍光纖中的模截止頻率........................................22

三、階躍光纖中的模截止條件........................................23

四、階躍光纖中單模傳輸?shù)臈l件和色散曲線............................43

五、遠離截止時導波的傳播常數(shù)......................................45

4.5標量法與線偏振模.......................................................48

4.5.1弱波導條件下的截止方程..........................................48

4.5.2線偏振模一LP模的提出...........................................49

一、模截止時的分析.................................................50

二、遠離截止時的情形...............................................53

4.6LP模的應用...........................................................56

4.6.1LP模的物理意義..................................................56

4.6.2光斑與光功率分布圖...............................................60

4.6.3光斑與光功率分布的定量分析......................................61

4.7單模光纖...............................................................63

4.7.1單模光纖的存在條件和截止波長.....................................63

4.7.2單模光纖的模場直徑...............................................64

4.7.3單模光纖的雙折射.................................................67

4.7.4單模光纖中偏振狀態(tài)的演化.........................................69

4.8漸變折射率光纖的波動理論分析..........................................70

4.8.1漸變折射率光纖的的折射率分布.....................................70

4.8.2漸變折射率多模光纖的標量近似分析................................72

一、WKBJ分析法...................................................72

二、漸變折射率光纖傳播常數(shù)的本征方程..............................76

三、漸變折射率光纖中傳輸模式數(shù)量的計算............................79

章末小結..................................................................80

第四章波動理論分析

在幾何光學中，不同的入射角對應不同的傳播方向，即光線在光纖中的傳播路徑不同,

從而有不同的模式。但用幾何光學不能得到波導中光波的場分布及功率（或強度）分布。而

用波動光學能求解出光纖中電場的分布特點，能對傳輸模式進行詳細分析。因此，必須采用

波動光學來研究光波在光纖中的傳輸情況。

本章中從麥克斯韋方程、亥姆霍茲方程出發(fā)，導出直角坐標系以及圓柱坐標系下的階躍

光纖（均勻波導）波動方程，進而在設定物理模型條件下，通過對纖芯與包層的物理約束條

件的分析，利用邊界條件求解波動方程，獲得與各特定本征值相聯(lián)系的本征方程，最后對階

躍光纖中存在的各種模式及其截止條件進行系統(tǒng)分析（見圖4-1所示）。

傳輸

性

特

析

麥克斯韋分

方程

電磁分離.波動方程時空分離f亥姆霍茲方程縱橫分離分波導場方程

圖4-1

4.1階躍光纖中直角坐標系下的波動方程

設光纖中存在如下形式的解

方=￡"切-"”（4-1）

0

H=（4-2）

式中￡）、A。分別為電場和磁場的復振幅矢量；i為波矢，|口=%；/為光波角頻率，

；為波面上任一點〃（%,y,z）的位置矢量。

在各向同性、線性、透明的介質(zhì)中，正弦穩(wěn)態(tài)形式的麥克斯韋方程為

rdBr

VxE=-=-jcojuH(4-3)

~dt

rdDr

Vx"==jcosE(4-4)

~dt

將Vx方展開得

蔡皂y。

r_a__a__a(dEzdEy')雪

VxE==卷+e

dxdydz、6Sz)、3zdx?;Sxdy；

ExEyEz

=-ja>]LiHxex-j(o/jHyey-jcopHzez(4-5)

式（4-1）對z求偏微分得

管=-必￡""”=-必上（4-6）

OZ

簡記為

a

—=~JK=~jP（4-7）

dz

P為軸向相位常數(shù)或軸向傳播常數(shù)，如圖4-2所示。

圖4-2

式（4-7）代入式（4-5）得

8/7dE'GEy殂、

受+%E,肉+-j/3E-ze?+

xdx

=-jcouHxex-jcouHyey-jcouHzey(4-8)

同理，將式(4-4)按上述方法展開可得

SH

dH:+j/3H}ex+(-j/3Hx-

ey+

7dx)dx

(4-9)

ja>/jExex+jco/jEyey+ja>^E:e:

由式(4-8)和式(4-9)可得

RF

(4-10-1)

-^+j/3Ey=-ja)^iHx

dF

-j/3E--^=-jco^H(4-10-2)

fdxy

SEQE

yX-jcofdH(4-10-3)

dxdy

dH

(4-10-4)

+jBHy=ja)NE\

一加『黃=.嗎(4.10.5)

5HdH

yx(4-10-6)

dxdy

聯(lián)立式(4-10-2)和式(4-10-4),消去”、,得

明..yjs?idE.y.?

才+加(4-11)

—Ex+~------=W￡EX

oyl即ja>^idxJ

整理得

j(dE.dH\

ra(4-12)

2)(J

(蘇“_力QxQy

為方便推導，記以2=蘇〃￡-夕2,以為橫向相位常數(shù)或橫向傳播常數(shù)。于是上式可以簡寫

為

(4-13)

(4-14)

(4-15)

(4-16)

dHdH

yx=j8應

dxdy

由式(4?13至4?16)可以看出，Ex.Ey、、Hx.乩y.可由瓦z、H_z表示,只需解出Ez、H.z

便可得到￡.、E、,、%、H,。為此，我們有必要進一步求解電磁場的縱向分量。

聯(lián)立式(4-15)、(4-16)、(4-10-6),消去得

(4-17)

整理得

d2Ed2E

2:+哥耳=0(4-18)

dx2W

同(4-19)

式(4-18)和式(4-19)就是波導方程。

4.2階躍光纖中柱坐標系下的波動方程

因為光纖具備圓柱對稱的特點，在柱坐標系下更便于計算。所以有必要進行坐標變換，

將直角坐標系中的波動方程及場的各分量變換到圓柱坐標系中。圓柱坐標與直角坐標的關系

如下

x=rcoscp(4-20)

y=rsm(p(4-21)

(4-22)

(p-arctanf-J

(4-23)

如圖4-3所示

Er=Excos(p+Eysin(p(4-24)

4=-Exsincp+Eycoscp(4-25)

由圖可以看出^2=&+E：=E；+M，及、紇在￡■，方向的分量之和等于耳.；紇、

紇在9方向上的分量之和等丁?紇,。于是，將式（4-13）、（4-14）代入式（4-24）得

dH

1夕跑cos°+即以3”咨sg即_______:

Ersin*(4-26)

5ydx

、dxdy77

為將上述微分轉(zhuǎn)化為柱坐標的形式，必須先求出如下各量:

22

dr_dyjx+y2xx

—=COS(p(4-27)

dxdx2次+/r

dr_dy]x2+y1

)=sin/

(4-28)

2次+/r

6arctan—_上

y_sin/

(4-29)

dxdxr2

y1

大6arctan

"二________XxX_COS(p

-T-(4-30)

8y~dy/、2rr

1+y_

聯(lián)合上述各式，利用復合函數(shù)求導規(guī)則，可得式（4-26）中各微分量

四居包+昵”3E,sin(pHE、

=cos9----------------(4-31)

dxdrdxd(pdxdrd(p

跑=這包+絲紗.dE_cos(pdEr

sin(p—+----——二(4-32)

dydrdyd(pdydrrd(p

也=以電+以"=c°s°dHzsin(pdH

(4-33)

dxdrdxd(pdxdrrd(p

dH_dH_drdH_d(pdH_coscpdH.

——=——--+——^—=sm(p——+——-——-(4-34)

dydrdyd(pdydrrd(p

其中r="羽y)、(p=(p(x,y),將式(4-31)(4-32)(4-33)(4-34)代入式(4-26)得

與=一/1/J](/cos2處即sin0cos9+/sin?o一詠sin°cos0)+

22y

/Jsin^cos^^^cos/?sin^9cosV+cosin(pdH.

(4-35)

rrrr)d(p

整理得

(4-36)

用同樣的方法可得

(4-37)

(4-38)

(4-39)

從式（4-36）到式（4-39）可以看出，圓柱坐標系中各橫向分量可由縱向分量“二來表

示，顯然，只要求出瓦、Hz,就可以求出圓柱坐標系中各橫向分量，這一點和直角坐標系

下情況相同。為此，我們必須求出圓柱坐標系下E,、的波動方程。上面已經(jīng)求出一上、

z2dx

二上，下面我們進一步求出二~六、一。

dydx2dy2

d2E.(1x1\8E.x(xd2E.yd2E.2xydE.

=---------------~

1廠r)drr、廠dr2r-dr

y(x.。泣y響

drd(pr~dcp1J

jl叫四+），(yd2E_xd2i

[rr3Jdrr

、rdr2r2drc

x(yd2紇X?紇)

——

前一節(jié)推導得出E:、Hz在柱坐標系下滿足:

d2E.1dE.1d2E.

+0：E；=O

dr2rdrr2d(p

dr~rdrr~d(p~

4.3.2利用分離變量法分解波動方程

設區(qū)=W(八。，z)=??(廠)°(9)0一，的(4-44)

代入式(4-42)得

--r退立帕p)eR、+上R(r)濁口e-加+BjRmMcp)”/=金(4-45)

rdr\_drJrd(p"

整理，消去「脛得

更處為名叫+*⑺學9⑺價)=0(4-46)

ror\_oryro(p~

兩邊同乘產(chǎn)，整理得

1「，d?R⑺dR(r)。，?、[1/。(0),、

----V————+Z?,r-/?(r)=(4-47)

R(r)[dr~drJ。(⑼d(p~

上式左邊是，?的函數(shù)，右邊是夕的函數(shù)。因為r,0相互獨立，上式兩邊只有都等于同一個

常數(shù)(令其為m2,加為實數(shù))才能對任何，e都成立。

左邊

1

產(chǎn)g+「出+加次⑺=疝(4-48)

drdr

右邊

等+2=。

(4-49)

433波動方程的通解

式(4-49)的解為

0(e)=e加。(4-50)

式中必須是整數(shù)，即機=1,2,3…。因為點(r,°)與(r,夕+2乃)是同一個點，若加不

為整數(shù)，則會出現(xiàn)/“He刖"+2")的情況，致使同一個點無法保證得到單值的解。

將式(4-50)代入式(4-48)可得

2dR(r)dR(r)，ciz工、,、,、

r—V-+r———+(/7,r--m~)=0(4-51)

dr2dr'

上式為加階貝塞爾方程，加階貝塞爾方程的標準形式為

x2y"+xy'+(A2x2-/n)y=0(4-52)

式中，4為常數(shù)，根為方程的解的階數(shù)，方程的解為貝塞爾函數(shù)。為了便于求解式(4-51)

這個貝塞爾方程，在此對幾個常數(shù)進行定義

。蟲膜嫦-加嚴4(4-53)

卬=(力2-42/2度a(4-54)

V2=U2+W2(4-55)

其中々、“分別為纖芯和包層中的折射率，即為真空中的傳播常數(shù)。。為纖芯半徑，夕為

軸向傳播常數(shù)。U稱為纖芯的“歸一化橫向傳輸常數(shù)”(或叫做歸一化橫向相位常數(shù))，W

稱為包層的“歸一化橫向傳輸常數(shù)”(或叫做歸一化橫向衰減常數(shù))，V稱為“歸一化頻率”

或“歸一化波導常數(shù)”。V是一個重要的綜合性參數(shù)，光纖的很多特性都與歸一化頻率有關，

下節(jié)將會具體講述。

在式(4-51)中，當?shù)?k“一夕2>0時,方程為機階貝塞爾方程。當以=勺2"—夕2<0

時，方程為，〃階變態(tài)貝塞爾方程。

在纖芯中勺比較大，1=%2勺2一42>0,即在纖芯中的解為

R(r)=AJm(-r)+A'Nm(-r)(4-56)

aa

在包層中%比較小，4=%2裙_/2<0,即在包層中的解為

WW

R⑺=CK,“(一r)+C7W,(—r)(4.57)

aa

上面兩式中，J,“(°r)是機階貝第一類塞爾函數(shù)，Nm(且r)是加階第二類貝塞爾函數(shù)。

aa

4（2ur）和N,“（utr）都是振蕩函數(shù)，有無窮多個零點。/,“（w一，）是加階第一類變態(tài)貝塞爾

aaa

W

函數(shù)，K“,（一r）是加階第二類貝塞爾函數(shù)。這兩類貝塞爾函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)。下面簡要介

a

紹這四類貝塞爾函數(shù)的特點：

圖4-40階、1階、2階、3階第一類貝塞爾函數(shù)（J類）

小宗量漸近式為

J°(X)2°>1

大宗量漸近式為

圖4-50階、1階、2階、3階第二類貝塞爾函數(shù)（N類）

小宗量漸近式為

大宗量漸近式為

圖4-60階、1階、2階、3階第一類變態(tài)貝塞爾函數(shù)（I類）

小宗量漸近式為

圖4-70階、1階、2階、3階第二類變態(tài)貝塞爾函數(shù)(K類)

小宗量漸近式為

X

K,”(X)qjJ(/八l)!(!J

大宗量漸近式為

K,"(X)X—>oo、&,X

兀X

綜上所述，小宗量情形時(X-0),J,“(X)取有限值，而N,“(X)發(fā)散。由于實際中纖

芯中的場強必須是有限值，光波在纖芯的橫截面上形成駐波，故決定了纖芯中應該振蕩解,

所以，式(4-56)中應該選取第一類貝塞爾函數(shù)J,”

在大宗量情形時(X-00),/?,(X)是隨X增大而單調(diào)遞增，K,,(X)是隨X的增加

而單調(diào)遞減。實際中包層中的場強不可能隨著半徑增大而遞增到無窮大，所以，式(4?57)中

應選取第二類變態(tài)貝塞爾函數(shù)K,」一廠o

于是纖芯和包層中電場和磁場的縱向分量分別為

(4-58)

(4-59)

(4-60)

(4-61)

將式(4?58)、(4-59)代入式(4?36)、(4-37)、(4?38)、(4-39),可得纖芯中電場與磁場的

各橫向分量

1A&〃+Bj明~(4-62)

\目UJ[_a\aJr羋\a鄧…)

(4-63)

u

一A/—r(4-64)

r7a7

(4-65)

式中“J,J"1是/且j的一階導數(shù)。

a\aJ\a)

將式(4-60)、(4-61)代入式(4-36)、(4-37)、(4-38)、(4-39)可得纖芯中電場與磁場

的各橫向分量

%=/⑶C亨K，O2號弓4)卜i)(4-69)

式中—K：/電力是K,(—1的一階導數(shù)。

ayaJ\a7

4.3.4利用邊界條件求出波導方程(本征方程)

根據(jù)光波在光纖中傳導的邊界條件：纖芯與包層分界面上切向分量連續(xù)，在界面處(r=a)

四個切向分量連續(xù)的數(shù)學表達式為

(4-70)

Ezi~匾

(4-71)

號二線2

HL%(4-72)

(4-73)

"以=42

將上述八個切向分量的表達式代入式(4-70)、(4-71)、(4-72)、(4-73),并在式中令r=a,

消去/(”一生)，則可建立如下四個方程：

(4-74)

紇分量AJm(U)-CKm(W)=0

4分量

(4-75)

Cj^Km(W)-D^^K'm(W)=0

(4-76)

七分量BJm(U)-DKm(W)=0

4分量

J停,嗎嗎,：（s+均%4（u）]+

'aaJ（4-77）

'M[。噌Km，"H口吟K,.（W）卜0

若上述方程中A、B、C、。存在非零解，則其系數(shù)矩陣滿足（設系數(shù)矩陣為M）：

det[A/]=O

具體表達式為

%u)0-K,“(W)0

今MS-加〃0，；,（。）-鬻'Km（W）一普K,；,(w)

=0(4-78)

0J<u）o-K,“(W)

汝巧？：,（u）-筌/.(U)優(yōu)K：,(w)

將上式展開并化簡后得

'I4(U)?IK：,(w)￡j"u)?/'(卬)、

八22

CO〃（）。(4-79)

[uJm(U)WKm(w))[ujm(u)WKin(W))

整理后利用下面的推導

￡"(U)?M")卜2J；“(U)?[JK")

蘇氏UJ,“(U)WK,"(W),WK,,,”)

U-皿2

k；%(S?K：“(W)始K：,(W)

應

k；UJm(U)WK?SW)UJ,“(U)WK,“(W)

加(?+?)%1+\

后(>+羽)

j22

為*+畀基法擊H話+*q

式（4-79）可以寫成如下形式:

癡1111XI1][1J'M)I1K；,(W)]1?K：,(W)、

2222

[uW)[n^UW)[uJm(U)WK,"(W)人WK,"(W))

(4-80)

(說明：通過上面的變換進而將特征方程寫成式(4-80)的形式是為了更好的對下面的矢量

模進行分析)。

為簡便計算，記

j一%U)

(4-81)

UJ，U)

K:K,：(W)

(4.82)

WKm(W)

將式(4-81)、(4-82)代入式(4-80)得

["七_%+K=病\力+國+擊)383)

上述由系數(shù)矩陣行列式等于零所得到的方程稱作“條件方程”，即階躍光纖的“本征方程”,

夕、。、W是方程的本征值，也稱特征值，是在給定邊界條件下使該方程有解的某參數(shù)的

可能值。此方程決定了波導中的模式，以及與每個模式相聯(lián)系的￡、U、W的容許值。本

征方程可以獲得精確解。

由式(4-83)可以看出，本征方程得到的每一個解，即任何一個基波函數(shù)，都由相應本

征值所決定。每個本征值對應一個特定的波函數(shù)，稱為“特征函數(shù)”，每個特征函數(shù)對應于

光纖波導中的一種電磁場分布，這種分布即稱為“模式”或“模”，即波導中存在的一個特

定的傳導模。關于模式的具體分析在下節(jié)詳述。

4.4矢量模的分析

4.4.1模式的引入

一、模式的概念

用波動理論分析階躍光纖時，最重要也是最基本的概念就是模式。所謂“模式”是指在

求解光纖中的波動方程時，對應于能滿足所給定邊界條件(各本征傳輸常數(shù))的本征解所對

應的電磁場分布狀態(tài)，而光纖中的場解則是各模式場的線性疊加。

模式反映了波導結構固有的電磁共振屬性，從電磁波分布的角度而言，模式可以用光纖

橫截面和縱截面上的電磁場結構圖來描述。對于給定的光纖波導，其中能夠存在的模式及其

性質(zhì)是確定的，外界激勵源只能激勵起光纖中允許存在的模式而不會改變模式固有的性質(zhì)。

嚴格的說，波動方程的每一個特解就是一種電磁波模式，而通解則包含了滿足方程的所有可

能解，稱為“多模”。

二、模式的分類

在求解模式之前，我們首先給出模式的基本分類，該分類與后面求解的結果一一對應。

根據(jù)電磁場的縱向分量弓和“Z的存在與否，可將模式進行如下分類：

(1)橫電磁模(TEM模，即transverseelectromagneticmode)：Ez—Hz—()。

(2)橫電模(TE模,即transverseelectricmode)：Ez=0,Hz0))

(3)橫磁模(TM模，即transversemagneticmode)：Ez^0,Hz=0。

(4)混合模(又叫hybridmode,包括HE模和EH模)：E20,Hz中0。

事實上，光纖中存在的模式多為"E模或由模，有時也會出現(xiàn)7E模或力0模(關

于這幾種模后面都詳細的定義和分析)，而模則是一種理想的模式，在光纖中不存在。

插曲：

光波或其它電磁波等從一點向各方面發(fā)散出去形成球面，如果這種波從無限遠處傳來，所形成的

球面就可以看作是一個平面，在光波中光線和波面垂直，平面波的光線可以看作是平行的。在離點波

源較遠處，沿波的傳播方向取一局部范圍來看，在這范圍內(nèi)的波面都是平行的，這樣的波可近似看成

平面波。如射到地面的太陽光波可看成平面波。TE波,TM波，TEM波是屬于電磁波的三種模式。TE

波指電矢量方向與傳播方向垂直，或者說傳播方向上沒有電矢量。TM波是指磁矢量方向與傳播方向垂直。

TEM波指電矢量方向與磁矢量方向都與傳播方向垂直。而HE波和EH波則是在光纖波導中所特有的概

念，它們的電矢量和磁矢量都不和傳播方向垂直，都在傳播方向上有分量。

對于波在光纖中到底存不存在的問題，可以通過下面的方法進行驗證：因為這種

波在z方向上沒有分量，則結合式(4-13)至式(4-16)來看，只有使加=0才能滿足條

件。即有序〃￡—￡2=0,于是可以得到力=。掠。與此同時，式(4-18)和式(4-19)

則變成:

濟滑。

上面兩式即是E.和H.的橫向拉普拉斯方程，這表明導波系統(tǒng)中TEM波在橫截面上的場分

ZZ

量滿足拉普拉斯方程。因此其分布應該與靜態(tài)場中相同邊界條件下的場分布相同。正是由于

這一點，我們斷定凡能維持二維靜態(tài)場的導波系統(tǒng)，都能傳輸TEN波。例如二線傳輸線、

同軸線等。也即為了傳輸血/波必須要有二個以上的導體。

空心金屬波導管內(nèi)部，由于不能維持二維靜態(tài)場，故不能傳輸汨0波。這是波導管中

電磁波顯著的特點之一。而光纖波導內(nèi)部則更無法維持靜態(tài)場，故光纖中也不能傳輸7EM

波。關于力波的詳細討論可參考《導波光學》一北京理工版。

由于電磁場模式的矢量解法過程繁瑣，所以對于大多數(shù)的實際應用光纖都采用近似解。

對階躍型光纖，最常用的近似方法就是標量近似法。對弱導光纖來說，支持傳輸模式的縱向

場分量比橫向場分量要小得多，即|七|=|耳|、\Hz\=|",|，它們的比值很小，但又不等

于零，而且在弱導光纖中傳播的橫向電磁場的偏振狀態(tài)保持不變，這種形態(tài)的電磁波非常接

近橫電磁波(7EM),稱為準電磁波(TEM).這種波的橫向電場和橫向磁場之比近似于介

質(zhì)的波阻抗，即

耳_I_Z()

瓦一寸工一丁

式中，下標表示垂直于z方向的橫向，Z0=J風是自由空間的波阻抗。由于其量綱

具有電阻的性質(zhì)故由此得名。

三、模式的特點

(1)疊加性：光波導中總的場分布是所有模式的線性疊加，從數(shù)學的角度來說，

相當于對光波導中的場進行傅里葉展開，展開項就是各種模式。

(2)正交性：一個正規(guī)光波導的不同模式之間滿足正交關系，這是因為模式是求解

光纖中波動方程所得到的本征解，而正交性則是本征解的一個重要特征。

（3）有序性：模式可用波動方程的一系列特征解表示，這些解是離散可排序的。排

序方法一般有兩種：一是以傳播常數(shù)月的大小排序，夕愈大序號愈小；二是以（團，〃）

兩個自變量排序，可有兩列序號。

（4）穩(wěn)定性：一個模式沿縱向（沿z軸方向）傳輸時，在某種條件下其場分布形式可

以保持不變，這時稱該模式具有穩(wěn)定性。

四、射線和模式

鑒于前一章已經(jīng)用幾何光學方法或稱為射線追蹤方法對光的傳播特性進行過研究,在分

析模式之前，先討論射線和模式之間的關系。在光纖的半徑與波長之比很大時，由幾何光學

方法可以得到光纖導波特性很好的近似結果，這就是所謂的“短波長極限”。盡管射線方法

僅在零波長極限時才嚴格成立，但對于多模光纖這樣包含大量導波模式的非零波長系統(tǒng)，射

線方法仍可以提供相當精確的結果，而且是極有價值的。與嚴格的模式分析方法比較，射線