2022-2023學年山西省晉城市第一職業中學高二數學文下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為（） A． B． C． D． 參考答案：A2.在極坐系中點與圓的圓心之間的距離為()A.2

B.

C.

D.參考答案：D3.設Sn是等差數列{an}的前n項和，若，則＝(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A4.閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果是（）．A．

B．

C．

D．參考答案：B5.直線與函數的圖象的交點個數為（

）A．個

B．個

C．個

D．個參考答案：A6.已知函數,函數的最大值是2,其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且f(x)的圖象關于直線對稱，則下列判斷正確的是(

)A.要得到函數f(x)的圖象，只需將的圖像向左平移個單位B.時，函數的最小值是-2C.函數f(x)的圖象關于直線對稱D.函數在上單調遞增參考答案：D7.在正方體中，下列幾種說法正確的是

（

）A、

B、

C、與成角

D、與成角參考答案：略8.已知命題p：x2+2x﹣3＞0；命題q：x＞a，且￢q的一個充分不必要條件是￢p，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．[﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣3]參考答案：B【考點】命題的否定；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由p轉化到?p，求出?q，然后解出a．【解答】解：由p：x2+2x﹣3＞0，知x＜﹣3或x＞1，則?p為﹣3≤x≤1，?q為x≤a，又?p是?q的充分不必要條件，所以a≥1．故選：B．9.“直線l與平面內無數條直線都垂直”是“直線l與平面垂直”的（

）條件.充要

充分非必要

必要非充分

既非充分又非必要參考答案：C略10.已知，，滿足，且的最大值是最小值的倍，則的值是A、 B、 C、 D、（

）參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則________________。參考答案：12.類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關系：。若三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側面積與底面積之間滿足的關系為

.參考答案：略13.給出下列關于互不相同的直線m、l、n和平面α、β的四個命題：①若m?α，l∩α=A，點A?m，則l與m不共面；②若m、l是異面直線，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，則n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥m；④若l?α，m?α，l∩m=點A，l∥β，m∥β，則α∥β．其中為真命題的是．參考答案：①②④【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【專題】閱讀型．【分析】根據空間中異面直線的判定定理，線面垂直的判定方法，線線關系的判定方法，及面面平行的判定定理，我們對題目中的四個結論逐一進行判斷，即可得到結論．【解答】解：m?α，l∩α=A，A?m，則l與m異面，故①正確；若m、l是異面直線，l∥α，m∥α，在則α內必然存在兩相交直線a，b使a∥m，b∥l，又由n⊥l，n⊥m，則n⊥a，n⊥b，∴n⊥α，故②正確；若l∥α，m∥β，α∥β，則l與m可能平行與可能相交，也可能異面，故③錯誤；若l?α，m?α，l∩m=A，l∥β，m∥β，則由面面平行的判定定理可得α∥β，故④正確；故答案為：①②④【點評】本題考查的知識點是空間中直線與平面之間的位置關系，其中熟練掌握空間中線面之間位置關系的定義、判定方法和性質定理，建立良好的空間想像能力是解答此類問題的關鍵．14.雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則

。參考答案：15.已知函數，則

參考答案：16.圓心是，且經過原點的圓的標準方程為_______________________;參考答案：略17..排球比賽的規則是5局3勝制，A、B兩隊每局比賽獲勝的概率分別為和．前2局中B隊以2:0領先，則最后B隊獲勝的概率為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=ex﹣x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函數f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函數在R上是增函數，求實數a取值范圍；（Ⅲ）如果函數g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有兩個不同的極值點x1，x2，證明：a＞．參考答案：【考點】函數在某點取得極值的條件；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）根據導數的幾何意義，可以求出a的值，再根據切點坐標在曲線上和切線上，即可求出b的值，從而得到答案；（2）將函數f（x）在R上是增函數，轉化為f'（x）＞0在R上恒成立，利用參變量分離轉化成a＜ex﹣x在R上恒成立，利用導數求h（x）=ex﹣x的最小值，即可求得實數a的取值范圍；（3）根據x1，x2是g（x）的兩個極值點，可以得到x1，x2是g′（x）=0的兩個根，根據關系，利用分析法，將證明不等式轉化為，即求的最小值問題，利用導數即可證得結論．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax，∴f′（x）=ex﹣x﹣a，∴根據導數的幾何意義可得，切線的斜率k=f'（0）=1﹣a，∵切線方程為y=2x+b，則k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1，∴f（x）=ex﹣x2+x，∴f（0）=1，即切點（0，1），∴1=2×0+b，解得b=1；（Ⅱ）由題意f'（x）＞0即ex﹣x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣x恒成立．設h（x）=ex﹣x，則h′（x）=ex﹣1．當x變化時，h′（x）、h（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）h′（x）﹣0+h（x）減函數極小值增函數∴h（x）min=h（0）=1，∴a≤1；（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2，∴g（x）=ex﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=ex﹣ax2﹣ax，∴g′（x）=ex﹣2ax﹣a，∵x1，x2是函數g（x）的兩個不同極值點（不妨設x1＜x2），∴ex﹣2ax﹣a=0（*）有兩個不同的實數根x1，x2當時，方程（*）不成立則，令，則由p′（x）=0得：當x變化時，p（x），p′（x）變化情況如下表：xp（x）﹣﹣0+p′（x）單調遞減單調遞減極小值單調遞增∴當時，方程（*）至多有一解，不合題意；當時，方程（*）若有兩個解，則所以，．19.（本題滿分12分）已知數列滿足,

,（Ⅰ）計算出、、;（Ⅱ）猜想數列通項公式,并用數學歸納法進行證明.參考答案：（Ⅰ）

------------------3分；

（Ⅱ）由⑴知分子是3，分母是以首項為5公差為6的等差數列

∴猜想數列

通項公式：---------------------5分

用數學歸納法證明如下：①

當時，由題意可知，命題成立.②

假設當時命題成立，即，----6分那么，當時，也就說，當時命題也成立----------------------------11分綜上所述，數列的通項公式為-------------12分略20.已知與圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直線l交x軸，y軸于A，B兩點，|OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)．(Ⅰ)求證：(a－2)(b－2)＝2；(Ⅱ)求線段AB中點的軌跡方程；(Ⅲ)求△AOB面積的最小值．參考答案：(Ⅰ)證明：圓的標準方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，設直線方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圓心到該直線的距離d＝＝1，………2分即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0，即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2.…………………4分(Ⅱ)設AB中點M(x，y)，則a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，得(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1).……………8分(Ⅲ)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4，解得≥2＋(舍去≤2－)，………………………10分當且僅當a＝b時，ab取最小值6＋4，所以△AOB面積的最小值是3＋2.

……………12分21.（本小題14分）已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點.（Ⅰ）求圓方程；（Ⅱ）點與點關于直線對稱.是否存在過點的直線，與圓相交于兩點，且使三角形（為坐標原點），若存在求出直線的方程，若不存在用計算過程說明理由.

參考答案：（Ⅰ）過切點且與垂直的直線為，即.（1分）與直線聯立可求圓心為，

………（2分）所以半徑所以所求圓的方程為.

…………（4分）（Ⅱ）設，∵點與點關于直線對稱∴

………（5分）注意：若沒證明，直接得出結果，不扣分.1.當斜率不存在時，此時直線方程為，原點到直線的距離為，同時令代人圓方程得，所以，所以滿足題意，此時方程為.

……………（8分）2.當斜率存在時，設直線的方程為

，即

圓心到直線的距離，…………（9分）設的中點為,連接，則必有,在中，所以,…………………（10分）而原點到直線的距離為，所以，

……………（12分）整理得，不存在這樣的實數.

綜上所述，所求的直線方程為.……………………（14分）22.已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓中心O，如圖，且，|BC|=2|AC|．（1）求橢圓的方程；（2）如果橢圓上兩點P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO，則總存在實數λ，使，請給出證明．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【分析】（1）以O為原點，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標系，設所求橢圓的方程為：=4，由已知易得△AOC是等腰直角三角形，進而求出C點坐標，代入求出b2的值后，可得橢圓的方程．（2）設直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為﹣k，聯立PC與橢圓方程，結合C在橢圓上，求出求xP=，同理xQ=，代入斜率公式可得kPQ=，由對稱性求出B點坐標，可得kAB=，即kPQ=kAB，即與共線，再由向量共線的充要條件得到答案．【解答】解：（1）以O為原點，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標系，則A（2，0），設所求橢圓的方程為：=4（0＜b＜1），由橢圓的對稱性知|OC|=|OB|，由?=0得AC⊥BC，∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐標為（1，1），∵C點在橢圓上∴=4，∴b2=，所求的橢圓方程為x2+3y