一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2），則A．B．C．3D．【答案】A【解析】由題意得，所以．故選擇：A2．扇形的半徑等于2，面積等于6，則它的圓心角等于A．1B．C．3D．6【答案】C【解析】，所以．故選擇：C3．已知隨機(jī)變量，則“”是“”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由知，可知，故，故成立；反之，若，則．故為充要條件．故選擇：C4．若向量滿足，則在上的投影向量是A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)投影向量是，則，所以，即在上的投影向量是．1故選擇：D5．已知數(shù)列滿足，若，則的取值范圍是A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)，則，所以．故選擇：B6．某班級(jí)有30名男生和20名女生，現(xiàn)調(diào)查學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），得到男生樣本數(shù)據(jù)的平均值為8，方差為2，女生樣本數(shù)據(jù)的平均值為10.5，方差為0.75，則該班級(jí)全體學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的平均值和方差的值分別是A．B．C．D．【答案】D【解析】故選擇：D7．已知函數(shù)，則兩個(gè)函數(shù)的圖象僅通過(guò)平移就可以重合的是A．與B．與C．與D．與【答案】C【解析】A項(xiàng)：，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)：，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)：，而，故正2確；D項(xiàng)：，無(wú)法重合，故錯(cuò)誤．故選擇：C8．一個(gè)圓臺(tái)形的木塊，上、下底面的半徑分別為4和8，高為3，用它加工成一個(gè)與圓臺(tái)等高的四棱臺(tái)，棱臺(tái)下底面為一邊長(zhǎng)等于9的矩形，且使其體積最大．現(xiàn)再?gòu)挠嘞碌乃膲K木料中選擇一塊車削加工成一個(gè)球，則所得球的半徑最大值是（加工過(guò)程中不計(jì)損耗）A．B．C．1D．【答案】C【解析一】①關(guān)于底面，設(shè)，則，最大內(nèi)切球在內(nèi)；②補(bǔ)成圓錐，內(nèi)接四棱臺(tái)延長(zhǎng)后必交于圓錐頂點(diǎn)，考慮，，故，解得．故選擇：C【解析二】為上底面圓心，為下底面圓心，記棱臺(tái)為，棱臺(tái)最大時(shí)，上下邊之比為，不妨設(shè)，則，所以球在與圓臺(tái)圍成部分可更大，記中點(diǎn)為中點(diǎn)為交上底面圓于交下底面圓周于，設(shè)球半徑最大為，球心為，則如圖，球與相切，設(shè)，則，則，所以，得．故選擇：C3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知二項(xiàng)展開(kāi)式，則A．B．C．D．【答案】ACD【解析】A項(xiàng)：令知，正確；B項(xiàng)：令知①，所以，錯(cuò)誤；C項(xiàng)：，所以，所以，所以，正確；D項(xiàng)：令知②，①+②可得：，正確．故選擇：ACD10．在四棱錐中，分別是上的點(diǎn)，，則下列條件可以確定平面的是A．B．C．平面D．平面【答案】BD【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，即有平面，由于，所以，若，則，所以4平面，故平面平面，所以平面，故B正確；若平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫裕葿可知D正確；假設(shè)平面，設(shè)平面，則，若平面，平面平面，所以，反之若，當(dāng)且僅當(dāng)平面，即A、C同時(shí)正確或錯(cuò)誤，若，可能，也可能與相交．若與相交，由知延長(zhǎng)必與、交于同一點(diǎn)，由幾何關(guān)系知與不平行，故A、C錯(cuò)誤．故選擇：BD11．甲乙兩人用《哪吒2》動(dòng)漫卡牌玩游戲．游戲開(kāi)局時(shí)桌上有盒動(dòng)漫卡牌，每個(gè)盒子上都標(biāo)有盒內(nèi)卡牌的數(shù)量，每盒卡牌的數(shù)量構(gòu)成數(shù)組，游戲規(guī)則如下：兩人輪流抽牌，每人每次只能選擇其中一盒并抽走至少一張卡牌，若輪到某人時(shí)無(wú)卡可抽，則該人輸?shù)粲螒颍F(xiàn)由甲先抽，則下列開(kāi)局中，能確保甲有必勝策略的是A．B．C．D．【答案】ACD【解析】將每盒卡牌中的卡片數(shù)量轉(zhuǎn)為二進(jìn)制數(shù)，再進(jìn)行“亦或”求和，若初始條件是全零，則乙有必勝策略，反之則甲有必勝策略，保持操作之后是全零狀態(tài)。A項(xiàng)：，非全零，甲勝：從第2盒中拿2個(gè)；B項(xiàng)：，全零，乙勝；C項(xiàng)：，非全零，甲勝：拿走第三盒；5D項(xiàng)：，非全零，甲勝：從第1盒中拿2個(gè)；故選擇：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)．【答案】2【解析】由題意得．故答案為：213．已知是拋物線在第一象限上的點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則拋物線在處切線的斜率是．【答案】【解析】設(shè)，則，所以，解得，因?yàn)椋裕裕蚀鸢笧椋?4．函數(shù)滿足：①；②．則的最大值等于．【答案】【解析】設(shè)且，令，則有，即，設(shè)，則，即，所以有解，，取可成立，所以的最大值等于．故答案為：6四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)等于2的正三角形，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）證明：作中點(diǎn)，連接，則有，所以，又因?yàn)槭钦切危覟橹悬c(diǎn)，因此，從而平面，所以．（2）由題，，設(shè)平面與平面夾角為，由三射線定理，解得，即，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則．16．（本小題滿分15分）PageRank算法是Google搜索引擎用來(lái)衡量網(wǎng)頁(yè)重要性的一種經(jīng)典算法．其核心思想是通過(guò)分析網(wǎng)頁(yè)之間的鏈接關(guān)系，評(píng)估每個(gè)網(wǎng)頁(yè)的相對(duì)重要性．假設(shè)一個(gè)小型的互聯(lián)網(wǎng)由四個(gè)網(wǎng)頁(yè)組成，它們之間按圖中的箭頭方向等可能地單向鏈接，假設(shè)某用戶從網(wǎng)頁(yè)開(kāi)始瀏覽（記為第1次停留）．（1）求該用戶第3次停留在網(wǎng)頁(yè)上的概率；（2）某廣告公司準(zhǔn)備在網(wǎng)頁(yè)中選擇一個(gè)投放廣告，以用戶前4次在該網(wǎng)頁(yè)上停留的平均次數(shù)作為決策依據(jù)．試問(wèn)該公司應(yīng)該選擇哪個(gè)網(wǎng)頁(yè)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】．（1）．（2），所以，7所以，故該公司應(yīng)該選擇網(wǎng)頁(yè)．17．（本小題滿分15分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，解方程．【解析】（1）由題，，由于分母（對(duì)），故的正負(fù)由分子決定，記，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有，故，即在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，注意到是唯一使的點(diǎn)，又觀察到，若在區(qū)間內(nèi)，由于，故，即時(shí)，，故．綜上，當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且注意到，因此時(shí)不合題意；當(dāng)時(shí)，考慮到，為使內(nèi)有零點(diǎn)，則極小值點(diǎn)小于零，即，結(jié)合，則的取值范圍為．（3）由題，，記上式為，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，因此，僅有一個(gè)解，注意到待求方程，對(duì)中含的部分單獨(dú)考察，即，其中關(guān)于的多項(xiàng)式的解為，8因此時(shí)可消去．當(dāng)時(shí)，有，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，不符合題意；綜上，原方程的解為．18．（本小題滿分17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是直線右側(cè)區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，到直線與軸的距離之和等于它到點(diǎn)距離的4倍，記點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程，并在圖中畫(huà)出該曲線；（2）直線過(guò)點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，（i）若，求直線的方程；（ii）若是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，延長(zhǎng)線段交于點(diǎn)，延長(zhǎng)線段交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求的最小值．【解析】（1）設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，曲線如圖所示．（2）（i）如圖，，則．設(shè)，解得，所以，所以，所以直線方程為．（ii）由題意知，，且．設(shè)9，因?yàn)椋云渲校裕矗裕裕獾茫?9．（本小題滿分17分）給定正數(shù)與無(wú)窮數(shù)列，若存在，當(dāng)時(shí)，都有，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）求證：數(shù)列具有性質(zhì)；（2）若無(wú)窮數(shù)列具有性質(zhì)，求證：存在正數(shù)，使得；（3）若對(duì)任意正數(shù)，數(shù)列都具有性質(zhì)，則稱為“—數(shù)列”．若正項(xiàng)數(shù)列是“—數(shù)列”，試判斷數(shù)列是否也是“—數(shù)列”，并證明你的結(jié)論．（注：