第第頁專題驗收評價專題3.4平面向量及其應用內容概覽A·常考題不丟分題型一平面向量數量積運算題型二平面向量線性運算題型三平面向量綜合應用C·挑戰真題爭滿分題型一題型一平面向量數量積運算一、單選題1．（2023·湖南郴州·統考一模）已知向量滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可求出，再利用投影向量的計算公式，可得答案.【詳解】由，則，，則，則向量在向量上的投影向量為.故選：B2．（2023·浙江紹興·統考模擬預測）已知向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據向量的模長可得，進而由夾角公式即可求解.【詳解】由得，將代入可得，所以，所以，由于，所以，故選：B3．（2023·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校校考模擬預測）已知向量滿足，與的夾角為，則等于（

）A．3 B． C．21 D．【答案】D【分析】根據數量積的定義求出，由，結合向量數量積的運算律計算可得.【詳解】，.故選：D.4．（2023·四川攀枝花·統考模擬預測）在平面四邊形中，，則的最大值為（

）A． B．C．12 D．15【答案】C【分析】建立平面直角坐標系，求出C的軌跡方程，根據向量數量積及C點坐標的范圍得最值.【詳解】如圖，以為原點，分別為軸建立平面直角坐標系，

因為，所以，即，設，由可知，點的軌跡為外接圓的一段劣弧，且，即外接圓半徑，設外接圓的方程為，代入點可得，，解得或（舍去），即點的軌跡方程為，所以，即，又，當時，，此時點在劣弧上，滿足題意，故的最大值為12.故選：C二、多選題5．（2023·河北唐山·統考二模）已知向量，，，下列命題成立的是（

）A．若a//bB．若，則C．若，則D．設，，當取得最大值時，【答案】AD【分析】若，則，結合兩角差的正弦公式即可判斷A；若，則，再結合二倍角的正弦公式及正弦函數的值域即可判斷B；若，則，再結合二倍角的余弦公式即可判斷C；求出再結合兩角差的余弦公式即可判斷D.【詳解】對于A，若，則，即，所以，即，故A正確；對于B，若，則，即，即，因為，所以，所以，所以，所以，故B錯誤；對于C，，由，得，即，即，則，則或，所以或，故C錯誤；對于D，，，則，當取得最大值時，，此時，所以，故D正確.故選：AD.6．（2023·全國·模擬預測）已知點，，，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．若，的夾角為銳角，則且【答案】AC【分析】根據向量的模長，垂直，平行和夾角大小的定義，對下列各項逐一判斷，即可得到本題答案.【詳解】因為，，，所以，，選項A：，所以A正確；選項B：因為，所以，所以，所以，所以B錯誤；選項C：因為，所以，所以，所以C正確；選項D：因為，的夾角為銳角，且，所以，解得，所以D錯誤.故選：AC7．（2023·廣東廣州·高三廣東實驗中學校考階段練習）“圓冪定理”是平面幾何中關于圓的一個重要定理，它包含三個結論，其中一個是相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．如圖，已知圓O的半徑為2，點P是圓O內的定點，且，弦AC，BD均過點P，則下列說法正確的是（

）A．為定值B．的取值范圍是C．當時，為定值D．時，的最大值為12【答案】ACD【分析】根據所給定義可判斷A，利用數量積的運算律和向量的加法運算可判斷B，利用數量積的運算律和所給定義可判斷C，利用基本不等式可判斷D.【詳解】如圖，設直線PO與圓O于E，F．則，故A正確．取AC的中點為M，連接OM，則，而故的取值范圍是故B錯誤；當時，，故C正確．當時，圓O半徑取AC中點為，中點為，則，最后等號成立是因為，不等式等號成立當且僅當，故D正確．故選:ACD.題型二題型二平面向量線性運算1．（2023上·遼寧·高三校聯考階段練習）在中，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據題意畫出圖形并根據線段比例利用向量的加減法則計算即可求出結果.【詳解】因為，，所以M是位于BC上的靠近點B的四等分點，N為AC的中點，如下圖所示：所以.故選：D2．（2023·貴州六盤水·統考模擬預測）已知O，P，N在所在平面內，滿足，，且，則點O，P，N依次是的（

）A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，內心C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，內心【答案】C【分析】根據和外心性質可判斷O為的外心；對變形，結合向量線性運算可判斷點P為中線的交點，即為重心；由移項，結合數量積的性質可判斷點N在的高上，即為垂心.【詳解】因為，所以點O到三個頂點的距離相等，所以O為的外心；記BC的中點為D，因為，所以，所以P，A，D三點共線，故點P在中線AD上，同理，點P也在的另外兩條中線上，即點P為中線的交點，即為重心；如圖，作，因為，所以，所以，所以點N在BE上，同理，點N在的另外兩條高上，即為高的交點，所以N為的垂心.故選：C

3．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）已知是圓上不同的兩個動點，為坐標原點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據已知條件，結合弦長公式，即可求解的中點的軌跡方程，根據向量的運算可得，再結合點與圓的位置關系，即可求解.【詳解】圓的圓心坐標，半徑，設圓心到直線的距離為，由圓的弦長公式，可得，即，解得，設的中點為，點的軌跡表示以為圓心，以為半徑的圓，的軌跡方程為，因為，又，，即,即的取值范圍為.故選：C

4．（2023·廣西·統考一模）如圖，在△ABC中，M為線段BC的中點，G為線段AM上一點且，過點G的直線分別交直線AB、AC于P、Q兩點，，，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【分析】由可得，根據三點共線向量性質可得，再結合均值不等式即可求出結果．【詳解】由于M為線段BC的中點，則又，所以，又，所以，則因為三點共線，則，化得由當且僅當時，即時，等號成立，的最小值為1故選：B題型三題型三平面向量綜合問題一、單選題1．（2023·河南·校聯考模擬預測）在中，是邊上的點，滿足，在線段上（不含端點），且，則的最小值為（

）A． B． C． D．8【答案】B【分析】利用平面向量的線性運算推導出，將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為是邊上的點，滿足，則，所以，，因為在線段上（不含端點），則存在實數，使得，所以，，又因為，且、不共線，則，故，

因為，則，，所以，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故選：B.2．（2023·重慶·統考三模）已知均為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將向量的起點平移到原點，設向量，，的終點分別為，將化為，得點在以為直徑的圓上，利用圓的知識可求出結果.【詳解】將向量的起點平移到原點，設向量，，的終點分別為，則，，由得，得，則點在以為直徑的圓上，因為均為單位向量，且夾角為，不妨設，，則，，所以以為直徑的圓的圓心，半徑為，又，所以，即的最大值為.故選：D3．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學校考三模）在中，，D是以BC為直徑的圓上一點，則的最大值為（

）A．12 B． C． D．【答案】A【分析】畫出圖分析，將的最大值轉化為點到圓上一點距離的最大值求解即可.【詳解】如圖：

取BC，BD中點E，G，可知，且，取BE的中點O，則G為圓O上一點，所以最大值為，故的最大值為12.故選：A.一、單選題1．（2023·全國乙卷）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結合數量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據數量積的定義運算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.2．（2023·全國·統考高考甲卷）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模與數量積的坐標表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.【詳解】因為，所以，則，，所以.故選：B.3．（2023·全國·統考甲卷）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形,根據幾何意義求解.【詳解】因為,所以,即,即,所以.如圖,設,由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.4．（2022·全國·統考乙卷）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【詳解】因為，所以.故選：D5．（2022·全國·統考高考乙卷）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據給定模長，利用向量的數量積運算求解即可.【詳解】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.6．（2022·全國·統考Ⅱ卷）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C二、填空題7．（2023·全國·統考高考Ⅱ卷）已知向量，滿足，，則．【答案】【分析】法一：根據題意結合向量數量積的運算律運算求解；法二：換元令，結合數量積的運算律運算求解.【詳解】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.8．（2022·全國·統考高考甲卷）已知向量．若，則．【答案】/【分析】直接由向量垂直的坐標表示求解即可.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：.9．（2022·全國·統考高考甲卷）設向量，的夾角的余弦值為，且，，則．【答案】【分析】設與的夾角為，依題意可得，再根據數量積的定義求出，最后根據數量積的運算律計算可得．【詳解】解：設與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．10．（2021·全國·統考高考乙卷）已知向量，若，則．【答案】【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關于的方程，解方程即可求得實數的值.【詳解】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.11．（2021·全國·統考高考乙卷）已知向量，若，則．【答案】【分析】根據平面向量數量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．【詳解】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．12．（2021·全國·高考甲卷）若向量滿足，則.【答案】【分析】根據題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】