【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）專題11.9“A字”模型經(jīng)典問題特殊訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：一．選擇題（共6小題）1．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，若按圖中虛線剪去∠B，則∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°【答案】C【分析】如圖，根據(jù)題意可知∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可推出∠1+∠2的度數(shù)．【解析】解：如圖．∵△ABC為直角三角形，∠B＝90°，∴∠BNM+∠BMN＝90°，∵∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN，∴∠1+∠2＝270°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵在于得出∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN．2．如圖所示，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于點(diǎn)P，若∠A＝60°，則∠BPC等于（）A．90° B．120° C．150° D．160°【答案】B【分析】首先根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，求得∠ABE的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理的推論進(jìn)行求解．【解析】解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，又∵CD⊥AB，∴∠BDP＝90°，∴∠BPC＝90°+∠ABE＝120°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)．3．在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形內(nèi)角和是180°”的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義解決此題．【解析】解：A．由CE∥AB，則∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故A不符合題意．B．由EF∥AB，則∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故B不符合題意．C．由CD⊥AB于D，則∠ADC＝∠CDB＝90°，無法證得三角形內(nèi)角和是180°，故C符合題意．D．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠ADE＝∠B，由DF∥AC，得∠A＝∠FDB，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠C+∠A＝180°，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平角的定義是解決本題的關(guān)鍵．4．一天，爸爸帶小明到建筑工地玩，看見一個(gè)如圖所示的人字架，爸爸說：“小明，我考考你，這個(gè)人字架的夾角∠1等于130°，你知道∠3比∠2大多少嗎？”小明馬上得到了正確的答案，他的答案是（）A．50° B．65° C．90° D．130°【答案】A【分析】根據(jù)題意，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與其不相鄰的兩內(nèi)角和，可知，∠3﹣∠2＝180°﹣∠1，∠1已知，即可得出答案．【解析】解：根據(jù)題意，∠3﹣∠2＝180°﹣∠1，且∠1＝130°，即得∠3﹣∠2＝50°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是三角形的一個(gè)外角等于與其不相鄰的兩內(nèi)角和，要求能夠靈活使用．5．如圖，已知四邊形ABCD中，∠C＝90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°【答案】C【分析】運(yùn)用內(nèi)外角之間的關(guān)系可得∠1+∠2＝270°．【解析】解：∵三角形的內(nèi)角和等于180°，∴可得∠1和∠2的鄰補(bǔ)角等于90°，∴∠1+∠2＝2×180°﹣90°＝270°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題運(yùn)用了三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系和三角形的內(nèi)角和等于180°的知識(shí)點(diǎn)．6．如圖，已知△ABC為等邊三角形，若沿圖中虛線剪去∠B，則∠1+∠2等于（）A．120° B．135° C．240° D．315°【答案】C【分析】因∠1和∠BDE組成了平角，∠2和∠BED也組成了平角，平角等于180°，∠1+∠2＝360°﹣（∠BDE+∠BED），又三角形的內(nèi)角和是180°，∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，再代入上式即可．【解析】解：如圖，∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B，＝180°﹣60°，＝120°，∠1+∠2＝360°﹣（∠BDE+∠BED），＝360°﹣120°，＝240°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生三角形內(nèi)角和是180°和平角方面的知識(shí)．關(guān)鍵是得出∠1+∠2＝360°﹣（∠BDE+∠BED）．二．填空題（共10小題）7．如圖，四邊形ABOC中，∠BAC與∠BOC的角平分線相交于點(diǎn)P，若∠B＝16°，∠C＝42°，則∠P＝13°．【答案】13．【分析】本題求∠P的度數(shù)需構(gòu)造三角形，利用三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示角同時(shí)根據(jù)內(nèi)角和定理進(jìn)而作答．【解析】解：延長CO交AB于點(diǎn)D，OC與AP交于點(diǎn)E，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，∠BDC＝∠C+∠BAC＝42°+2∠BAP，∠BOC＝∠B+∠BDC＝58°+2∠BAP則∠COP＝29°+∠BAP，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，∠COP+∠P＝∠C+∠BAP，所以∠P＝∠C+∠BAP﹣∠COP＝13°，故答案為：13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形并根據(jù)等量變換進(jìn)行計(jì)算．8．如圖，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，將△ABC沿EF折疊，A點(diǎn)落在形內(nèi)的A′，則∠1+∠2的度數(shù)為60°．【答案】60°．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，進(jìn)而可得出∠A′EF+∠A′FE的度數(shù)，根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠AEF+∠AFE的度數(shù)，再由四邊形的內(nèi)角和為360°即可得出結(jié)論．【解析】解：∵△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，∴∠A′＝30°，∴∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝180°﹣30°＝150°，∵△AFE由△A′FE翻折而成，∴∠AEF+∠AFE＝∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝150°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C﹣（∠AEF+∠AFE）＝360°﹣80°﹣70°﹣150°＝60°．故答案為：60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．9．如圖，在三角形紙片ABC中∠A＝65°，∠B＝75°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為30°．【答案】30°．【分析】根據(jù)題意，已知∠A＝65°，∠B＝75°，可結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和折疊變換的性質(zhì)求解．【解析】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣330°＝30°．故答案為：30°．【點(diǎn)評(píng)】本題通過折疊變換考查三角形、四邊形內(nèi)角和定理．注意折疊前后圖形全等；三角形內(nèi)角和為180°；四邊形內(nèi)角和等于360度．10．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4＝280°．【答案】280．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，∠1+∠2+40°＝180°，∠3+∠4+40°＝180°，計(jì)算即可得出答案．【解析】解：∵∠1+∠2+40°＝180°，∠3+∠4+40°＝180°，∴∠1+∠2＝140°，∠3+∠4＝140°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝140°+140°＝280°．故答案為：280．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵的關(guān)鍵．11．如圖，在△ABC中，E、F分別是AB、AC上的兩點(diǎn)，∠1+∠2＝235°，則∠A＝55度．【答案】55．【分析】利用三角形及四邊形內(nèi)角和定理即可解答．【解析】解：∵1+∠2＝235°，∴∠B+∠C＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣235°＝125°，故∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣125°＝55°．故答案為：55．【點(diǎn)評(píng)】本題比較簡單，利用三角形及四邊形內(nèi)角和定理即可解答．12．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AD，CE的中點(diǎn)，S△BCF＝2cm2，則S△ABC＝8cm2．【答案】8．【分析】由三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，得出S△ABD＝S△ACD=12S△ABC，利用同樣方法得到S△EBC=12S△ABC，S△BCF=【解析】解：如圖，連接BE，∵E是AD的中點(diǎn)，∴S△ABE=12S△ABD，S△ACE=12∴S△ABE+S△ACE=12S△ABD+12S△ACD=12（S△ABD+S△ACD∴S△CBE=12S△∵F是CE的中點(diǎn)，∴S△FBC=12S△EBC=14而S△BCF＝2cm2，∴S△ABC＝8cm2．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，掌握三角形中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形是解決本題的關(guān)鍵．13．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的兩點(diǎn)，∠1+∠2＝214°，則∠A＝34度．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知，要求∠A只要求出∠AEF+∠AFE的度數(shù)或者∠B+∠C的度數(shù)即可，結(jié)合補(bǔ)角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和為360°可以解決問題．【解析】解：方法一：∵∠1+∠AEF＝180°，∠2+∠AFE＝180°∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE＝360°∵∠1+∠2＝214°∴∠AEF+∠AFE＝360°﹣214°＝146°∵在△AEF中：∠A+∠AEF+∠AFE＝180°（三角形內(nèi)角和定理）∴∠A＝180°﹣146°＝34°方法二：∵在四邊形BCEF中：∠B+∠C+∠1+∠2＝360°（四邊形內(nèi)角和為360°）∠1+∠2＝214°∴∠B+∠C＝360°﹣214°＝146°∵在△ABC中：∠A+∠B+∠C＝180°（三角形內(nèi)角和定理）∴∠A＝180°﹣146°＝34°【點(diǎn)評(píng)】本題是有關(guān)三角形角的計(jì)算問題．主要考查三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用和計(jì)算，找到∠A所在的三角形是關(guān)鍵．同時(shí)對(duì)鄰補(bǔ)角的定義和四邊形的內(nèi)角和360°都有所涉及，對(duì)學(xué)生的推演能力有一定要求．14．如圖是某建筑工地上的人字架．這個(gè)人字架夾角∠1＝120°，那么∠3﹣∠2的度數(shù)為60°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)平角的定義求出∠4，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題；【解析】解：如圖∵∠1+∠4＝180°，∠1＝120°，∴∠4＝60°，∵∠3＝∠2+∠4，∴∠3﹣∠2＝∠4＝60°，故答案為60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角的性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考基礎(chǔ)題．15．如圖，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分線交于點(diǎn)A2021，得∠A2021，∠A2021BC和∠A2021CD的平分線交于點(diǎn)A2022，得∠A2022，則∠A2022＝m22022【答案】m2【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠A1CD=12∠ACD，∠A1BD=12∠ABC，再根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠A1=12【解析】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1CD=12∠ACD，∠A1BD=1∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD=12∠ACD∠-12∠ABC同理可得∠A2=12∠A1=(1∴∠A2022=(12)∵∠A＝m°，∴∠A2022=m故答案為：m2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)與規(guī)律的綜合，涉及三角形外角性質(zhì)，找出∠A1和∠A之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．16．已知△ABC中，∠A＝α．在圖（1）中∠B、∠C的角平分線交于點(diǎn)O1，則可計(jì)算得∠BO1C=90°+12α；在圖（2）中，設(shè)∠B、∠C的兩條三等分角線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2，則∠BO2C=60°+23α；請(qǐng)你猜想，當(dāng)∠B、∠C同時(shí)n等分時(shí)，（n﹣1）條等分角線分別對(duì)應(yīng)交于O1，O2，…，On﹣1，如圖（3），則∠【答案】(n-1)αn【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根據(jù)n等分的定義求出（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB），在△On﹣1BC中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【解析】解：在△ABC中，∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵On﹣1B和On﹣1C分別是∠B、∠C的n等分線，∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB=n-1n（∠ABC+∠ACB）=n-1n（∴∠BOn﹣1C＝180°﹣（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB）＝180°-n-1n（180°﹣α）故答案為：(n-1)αn【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，以及三等分線，n等分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）17．如圖，D、E、F、G是△ABC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，∠1＝∠2．求證：DG∥FC．【答案】見解析．【分析】先由DE∥BC得∠AED＝∠ACB，再利用三角形的外角性質(zhì)證明∠AGD＝∠ACF即可．【解析】證明：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠AGD＝∠AED﹣∠1，∠ACF＝∠ACB﹣∠2，∠1＝∠2，∴∠AGD＝∠ACF，∴DG∥FC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及判定、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．18．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，∠2＝35°，∠4＝65°，求∠ADB的度數(shù)．【答案】解析見解答，結(jié)果為105°．【分析】首先利用角平分線的性質(zhì)求出∠1與∠BAC的關(guān)系，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，∠1，最后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果．【解析】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1＝∠DAC=12∠∵∠2+∠4+∠BAC＝180°，∠2＝35°，∠4＝65°，∴∠BAC＝80°，∴∠1＝40°，∴∠ADB＝180﹣∠1﹣∠2＝105°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，同時(shí)也利用了角平分線的性質(zhì)，比較簡單．19．如圖，點(diǎn)A、B、C、D是平面內(nèi)四個(gè)點(diǎn)．連接AB、AC、BD、CD．（1）如圖1，求證：∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）如圖2，若BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF與CE交于G，∠BDC＝m°，∠BGC＝n°，求∠A的度數(shù)．（用m，n表示）【答案】（1）證明：∠BDC＝∠A+∠B+∠C，見解析；（2）2n°﹣m°．【分析】（1）由三角形的外角性質(zhì)，即可證明；（2）由（1）的結(jié)論，即可求解．【解析】（1）證明：延長BD交AC于E，∵∠DEC＝∠A+∠B，∠BDC＝∠DEC+∠C，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C，（2）解：∵BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，∴∠DBG＝∠ABF，∠DCG＝∠ACE，∵∠BDC＝∠BGC+∠DBG+∠DCG，∴∠DBG+∠DCG＝∠BDC﹣∠BGC＝m°﹣n°，∴∠ABF+∠ACE＝∠DBG+∠DCG＝m°﹣n°，∵∠BGC＝∠A+∠ABF+∠ACE，∴∠A＝∠BGC﹣（∠ABF+∠ACE），∴∠A＝n°﹣（m°﹣n°）＝2n°﹣m°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．20．探究題（1）如圖1，∠1+∠2與∠B+∠C有什么關(guān)系？為什么？（2）把圖1中△ABC沿DE折疊，得到圖2，填空：∠1+∠2＝∠B+∠C（填“＞”“＜”“＝”），當(dāng)∠A＝30°時(shí)，∠B+∠C+∠1+∠2＝300°．（3）如圖2，是由圖1的△ABC沿DB折疊得到的，如果∠A＝40°，則∠BDA+∠CEA＝360°﹣（∠B+∠C+∠1+∠2）＝80°，猜想：∠BDA+∠CEA與∠A有什么關(guān)系？為什么？【答案】（1）見解析；（2）＝，300°；（3）80°，∠BDA+∠CEA＝2∠A．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知∠1+∠2＝∠B+∠C．（2）利用三角形內(nèi)角和定理解決問題即可．（3）如圖，延長BD交CE的延長線于A′．利用三角形的外角的性質(zhì)證明即可得出結(jié)論：∠BDA+∠CEA＝2∠A．【解析】解：（1）結(jié)論：∠1+∠2＝∠B+∠C．理由：根據(jù)三角形內(nèi)角是180°，可知：∠1+∠2＝180°﹣∠A，∠B+∠C＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝∠B+∠C．（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED＝∠B+∠C+∠BDE+∠CED＝360°，∴∠1+∠2＝∠B+∠C；當(dāng)∠A＝30°時(shí)，∠B+∠C+∠1+∠2＝150×2＝300°；（3）∠BDA+∠CEA＝360°﹣（∠B+∠C+∠1+∠2）＝360°﹣2×140°＝80°，如圖，延長BD交CE的延長線于A′．∵∠BDA＝∠DA′A+∠DAA′，∠AEC＝∠EA′A+∠EAA′，∠DA′E＝∠DAE，∴∠BDA+∠AEC＝2∠DAE，∴∠BDA+∠CEA與∠A的關(guān)系為：∠BDA+∠CEA＝2∠A．故答案為：（2）＝，300°；（3）80°．∠BDA+∠CEA＝2∠A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的翻折變換和三角形，四邊形內(nèi)角和定理，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．21．探索歸納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2等于CA.90°B.135℃.270°D.315°（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2＝220°（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請(qǐng)你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是∠1+∠2＝180°+∠A（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1+∠2與∠A的關(guān)系并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用了四邊形內(nèi)角和為360°和直角三角形的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結(jié)果；（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)角相等，以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解．【解析】解：（1）：∵四邊形的內(nèi)角和為360°，直角三角形中兩個(gè)銳角和為90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故選C；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，故答案為：220°；（3）∠1+∠2與∠A的關(guān)系是：∠1+∠2＝180°+∠A；（4）∵△EFP是由△EFA折疊得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和．（2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件．22．如圖1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖2，若把“AE⊥BC”變成“點(diǎn)F在DA的延長線上，F(xiàn)E⊥BC”∠B＝α，∠C＝β（α＞β），請(qǐng)用α、β的代數(shù)式表示∠DFE．【答案】（1）15°；（2）12（β﹣α【分析】（1）首先利用已知條件求出∠ADE的度數(shù)，然后利用∠DAE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度數(shù)．（2）首先利用已知條件求出∠ADE的度數(shù)，然后利用∠DFE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度數(shù)．【解析】解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，∴∠BAC＝78°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝39°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．（2）∵∠B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝90°-12（α+∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°-12（α+∵FE⊥BC，∴∠FEB＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠ADE=12（β﹣【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．23．舊知新意：我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？嘗試探究：（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？初步應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CDE，得到四邊形ABDE，∠1＝130°，則∠2﹣∠C＝50°；（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫出答案∠P＝90°-12∠A拓展提升：（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說明，可直接使用，不需說明理由．）【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論整理計(jì)算即可得解；（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）延長BA、CD相交于點(diǎn)Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的結(jié)論整理即可得解．【解析】解：（1）∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，∴130°+∠2＝180°+∠C，∴∠2﹣∠C＝50°；（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠ECB）=12（180°在△PBC中，∠P＝180°-12（180°+∠A）＝90°-1即∠P＝90°-12∠故答案為：50°，∠P＝90°-12∠（4）延長BA、CD于Q，則∠P＝90°-12∠∴∠Q＝180°﹣2∠P，∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q，＝180°+180°﹣2∠P，＝360°﹣2∠P．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相