專題14因式分解重難點題型專訓（13大題型）【題型目錄】題型一判斷是否是因式分解題型二已知因式分解的結果求參數題型三公因式題型四提公因式法分解因式題型五判斷能否用公式法分解因式題型六運用平方差公式分解因式題型七運用完全平方公式分解因式題型八綜合運用公式法分解因式題型九綜合提公因式和公式法分解因式題型十因式分解在有理數簡算中的應用題型十一十字相乘法題型十二分組分解法題型十三因式分解的應用【知識梳理】知識點一、公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.特別說明：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數字系數和字母兩部分：①公因式的系數是各項系數的最大公約數.②字母是各項中相同的字母，指數取各字母指數最低的.知識點二、提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．特別說明：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.（3）當多項式第一項的系數是負數時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數變為正數，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變為：“＋1”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現錯誤.知識點三、公式法——平方差公式兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積，即：特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數（整式）的和與這兩個數（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.知識點四、公式法——完全平方公式兩個數的平方和加上（減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.右邊是兩數的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.知識點五、十字相乘法利用十字交叉線來分解系數，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項式，若存在，則特別說明：（1）在對分解因式時，要先從常數項的正、負入手，若，則同號(若，則異號)，然后依據一次項系數的正負再確定的符號（2）若中的為整數時，要先將分解成兩個整數的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個整數之和能否等于，直到湊對為止.知識點六、首項系數不為1的十字相乘法在二次三項式(≠0)中，如果二次項系數可以分解成兩個因數之積，即，常數項可以分解成兩個因數之積，即，把排列如下：

按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項式的一次項系數，即，那么二次三項式就可以分解為兩個因式與之積，即.特別說明：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項系數一般都化為正數，如果是負數，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記把提出的負號添上.知識點七、分組分解法對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.特別說明：分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點分組分解法四項二項、二項①按字母分組②按系數分組

③符合公式的兩項分組三項、一項先完全平方公式后平方差公式五項三項、二項各組之間有公因式六項三項、三項

二項、二項、二項各組之間有公因式三項、二項、一項可化為二次三項式知識點八：添、拆項法把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進行分解.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形.添、拆項法分解因式需要一定的技巧性，在仔細觀察題目后可先嘗試進行添、拆項，在反復嘗試中熟練掌握技巧和方法.知識點九：因式分解的解題步驟因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項法等.特別說明：落實好方法的綜合運用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項平方或立方，三項完全或十字；四項以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.【經典例題一判斷是否是因式分解】1．（2023上·海南海口·八年級海南華僑中學校考期中）下列因式分解，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了因式分解．熟練掌握提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式是解題的關鍵．根據提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式對各選項進行判斷作答即可．【詳解】解：，錯誤，故A不符合要求；，正確，故B符合要求；，錯誤，故C不符合要求；，錯誤，故D不符合要求；故選：B．2．（2023下·陜西寶雞·七年級校聯考期末）下列各式中從左到右的變形，是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，可得答案．【詳解】解：A、，故該選項符合題意；B、，沒把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，不是因式分解，故此選項不符合題意；C、，沒把一個多項式轉化成幾個整式積的形式（含有分式），不是因式分解，故此選項不符合題意；D、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查因式分解，這類問題的關鍵在于能否正確應用分解因式的定義來判斷．3．（2023下·浙江寧波·七年級統考期中）下列等式中，從左到右的變形屬于因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據因式分解的定義和因式分解的方法逐個判斷即可．【詳解】解：、，從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；、，等式的左邊不是多項式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；、，等式右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；、，從左到右的變形屬于因式分解且分解徹底，故本選項符合題意．故選：．【點睛】此題考查了因式分解的定義和因式分解的方法，解題的關鍵是正確理解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．4．（2023下·寧夏銀川·八年級校考期中）下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據因式分解的概念逐項判斷即可．【詳解】解：A．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故不符合題意；B．右邊是最簡整式的乘積形式，故符合題意；C．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故不符合題意；D．分解錯誤，故不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查了因式分解的定義，因式分解是把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式．5．（2023下·福建寧德·八年級統考期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據因式分解的定義依次進行計算判斷即可．【詳解】、，等號的右側不是積的形式，不是因式分解，不符合題意，排除；、，是整式的乘法，不符合題意，排除；、，是整式的乘法，不合題意，排除；、，符合因式分解的定義，符合題意；故選：．【點睛】此題考查了因式分解解題的關鍵是掌握因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．【經典例題二已知因式分解的結果求參數】1．（2023下·山東棗莊·八年級統考階段練習）已知多項式可以分解為，則x的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題可根據題中條件，多項式分解為單項式，用分解出來的單項式進行相乘后，即可求出x的值．【詳解】解：根據題意可得：，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查因式分解的基本知識，學生需掌握因式分解的基本知識，做此題就不難．2．（2021下·甘肅蘭州·八年級校考期中）若是多項式因式分解的結果，則的值為（

）．A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】先計算，由即可求得的值．【詳解】解：，由題意得，，，，故選：C．【點睛】本題考查了多項式乘多項式，因式分解的定義，熟練掌握多項式的運算法則是解題的關鍵．3．（2023下·安徽合肥·七年級統考期末）已知關于的二次三項式可分解為，則的值為．【答案】9【分析】把展開，求出、的值，計算即可．【詳解】解：，，，，，故答案為：9．【點睛】本題考查了整式的乘法和因式分解，解題關鍵是熟練運用整式乘法法則進行計算．4．（2023下·全國·八年級期中）若關于的二次三項式的因式是和，則的值是．【答案】2【分析】先利用多項式乘以多項式法則計算，再利用多項式相等的條件求出的值即可．【詳解】解：由題意得：，．故答案為：2．【點睛】此題考查了多項式乘以多項式法則，因式分解的意義，以及多項式相等的條件，熟練掌握因式分解的意義是解本題的關鍵．5．（2023上·湖南懷化·八年級校考開學考試）【例題講解】因式分解：．為三次二項式，若能因式分解，則可以分解成一個一次二項式和一個二次多項式的乘積．故我們可以猜想可以分解成，展開等式右邊得：，恒成立．等式兩邊多項式的同類項的對應系數相等，即，解得，．【方法歸納】設某一多項式的全部或部分系數為未知數，利用當兩個多項式為恒等式時，同類項系數相等的原理確定這些系數，從而得到待求的值，這種方法叫待定系數法．【學以致用】(1)若，則________；(2)若有一個因式是，求的值及另一個因式．【答案】(1)(2)，【分析】（1）將展開，再根據題干的方法即可求解；（2）設多項式另一個因式為，利用題干給出的待定系數法求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∴，故答案為：；（2）設多項式另一個因式為，則，，，，，，即另一個式子為：．【點睛】本題主要考查了多項式的乘法，因式分解等知識，掌握題干給出的待定系數法，是解答本題的關鍵．【經典例題三公因式】1．（2022上·山東威海·八年級統考期中）多項式的公因式是，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據公因式是各項中都含有的因式，可得答案．【詳解】解：，故選：A．【點睛】本題考查了公因式，確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：①定系數，即確定各項系數的最大公約數；②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；③定指數，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數的最低次冪．2．（2023下·湖南婁底·七年級統考期中）下列各組多項式中，沒有公因式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】先對各多項式分解因式，然后利用公因式的定義對各選項進行判斷即可．【詳解】、與，沒有公因式，此選項符合題意；、，，有公因式，此選項不符合題意，排除；、與有公因數，此選項不符合題意，排除；、，，有公因式，此選項不符合題意，排除；故選：．【點睛】此題考查了公因式，解題的關鍵是先確定各項系數的最大公約數，再確定各項的相同字母因式(或相同多項式因式)，然后確定各項相同字母因式(或相同多項式因式)的指數的最低次冪．3．（2023下·江蘇南京·七年級南京市第一中學校考階段練習）把多項式因式分解時，應提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據找公因式的方法：系數取最大公約數，相同字母取最低次冪，進行求解即可．【詳解】解：，故選：D．【點睛】本題考查因式分解、找公因式的方法，熟練掌握確定公因式的方法是解題的關鍵．4．（2021下·浙江·七年級期中）單項式與的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據公因式的定義，分別找出系數的最大公約數和相同字母的最低指數次冪，乘積就是公因式；【詳解】與的公因式是，故選：D．【點睛】本題考查了公因式：多項式ma+mb+mc中，各項都含有一個公共的因式m，因式m叫做這個多項式各項的公因式．5．（2023上·河南周口·八年級校考階段練習）下列各式中，沒有公因式的是（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】B【分析】根據公因式的定義逐一分析即可．【詳解】解：A、，與有公因式，故本選項不符合題意；B、與沒有公因式，故本選項符合題意；C、與有公因式，故本選項不符合題意；D、與有公因式，故本選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了公因式的含義，熟記公因式的定義與公因式的確定是解題的關鍵．【經典例題四提公因式法分解因式】1．（2023下·河北邯鄲·八年級統考期末）將多項式因式分解，結果為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先提取公因式，再對余下的項進行合并，整理，然后觀察，如果能夠分解的一定要分解徹底，如果不能分解，就是最后的結果．【詳解】解：，故選：C．【點睛】本題考查用提公因式法進行因式分解的能力，難點在于把看作一個整體．2．（2023下·浙江·七年級校聯考期中）若多項式，則是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】提取公因式后剩下的各項的和就是所要求的的值．【詳解】解：，∴，故選：C．【點睛】本題考查了提公因式法分解因式的解答過程，要靈活運用符號的變換．3．（2023上·遼寧沈陽·九年級東北育才雙語學校校考階段練習）已知，，則．【答案】【分析】將因式分解，再將，代入進行計算即可．【詳解】解：根據題意可得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了因式分解，解題的關鍵是掌握因式分解的方法和步驟．4．（2022上·河北邢臺·八年級邢臺三中校考開學考試）如圖，長和寬分別為，的長方形的周長為，面積為，則的值為；

【答案】【分析】根據長方形周長和面積的公式得到，，再將因式分解等于，再代入求值即可．【詳解】解：長方形的長和寬分別為，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解的應用，代數式求值，掌握因式分解的方法是解答本題的關鍵．5．（2023上·湖南長沙·八年級校聯考期中）小雅同學計算一道整式除法：，由于她把除號錯寫成了乘號，得到的結果為(1)直接寫出a、b的值：，．(2)這道除法計算的正確結果是；(3)若，，計算（2）中代數式的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題考查了整式的乘法和除法以、因式分級以及代數式求值，熟練掌握相關運算法則是關鍵．（1）按題意將除法運算改成乘法，計算，將乘積與對應系數相等，即可求出答案；（2）根據多項式除以單項式法則計算即可；（3）先將提公因式，再將，代入即可．【詳解】（1）解：由題意，，∴，解得，，故答案為：；（2）由題意，得，故答案為：；（3）∴原式．【經典例題五判斷能否用公式法分解因式】1．（2023下·四川成都·八年級統考期末）下列多項式不能進行因式分解的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據因式分解的方法，注意判斷，即可解答．【詳解】解：利用完全平方公式，可得，故A不符合題意；無法因式分解，故B符合題意；利用完全平方公式，可得，故C不符合題意；利用平方差公式，可得，故D不符合題意，故選：B．【點睛】本題考查了能否利用公式法因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式子的形式是解題的關鍵．2．（2022下·七年級單元測試）下列各式中，不能在實數范圍內分解因式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用提公因式法和公式法逐一進行因式分解，即可得到答案．【詳解】解：A、，能分解因式，不符合題意，選項錯誤；B、，不能分解因式，符合題意，選項正確；C、，能分解因式，不符合題意，選項錯誤；D、，能分解因式，不符合題意，選項錯誤，故選：B．【點睛】本題考查了因式分解，平方差公式，完全平方公式，熟練掌握因式分解的方法是解題關鍵．3．（2022下·江蘇淮安·七年級校考期中）下列多項式中，能用平方差公式進行因式分解的是（

）A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2【答案】C【分析】根據平方差公式判斷即可；【詳解】A．不能運用平方差公式分解，故此選項錯誤；B．不能運用平方差公式分解，故此選項錯誤；C．能運用平方差公式分解，故此選項正確；D．不能運用平方差公式分解，故此選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了公式法分解因式，熟記平方差公式是解題關鍵．4．（2021下·湖南張家界·七年級統考期中）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據完全平方公式的特點判斷即可；【詳解】不能用完全平方公式，故A不符合題意；不能用完全平方公式，故B不符合題意；，能用完全平方公式，故C符合題意；不能用完全平方公式，故D不符合題意；故答案選C．【點睛】本題主要考查了因式分解公式法的判斷，準確判斷是解題的關鍵．5．（2023上·河南周口·八年級校考階段練習）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據完全平方公式特點，即可判斷出答案．【詳解】解：A．可明顯看出只有兩項，不能用完全平方公式分解因式，所以A不符合題意；B．有三項，并且有兩項是平方項，中間項符合倍乘積，能用完全平方公式分解因式，所以B符合題意；C．有三項，并且兩個平方項都是正的，但是中間項不符合倍乘積，不能用完全平方公式分解因式，所以C不符合題意；D．有三項，并且兩個平方項是正的，中間項不符合倍乘積，不能用完全平方公式分解因式，所以D選項不符合題意．故答案選D．【點睛】本題考查利用完全平方公式進行因式分解，做這樣的題目首先看一下多項式是否有三項，然后找到兩個平方項并確保符號都是正的，最后驗證最后一項是否符合倍乘積即可．【經典例題六運用平方差公式分解因式】5．（2023下·湖南永州·七年級校考期中）下列多項式中能用平方差公式進行分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平方差公式逐項驗證即可得到答案．【詳解】解：A、，不能用平方差公式進行分解因式，不符合題意；B、，不能用平方差公式進行分解因式，不符合題意；C、，不能用平方差公式進行分解因式，不符合題意；D、，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查利用平方差公式進行因式分解，熟練掌握平方差公式是解決問題的關鍵．2．（2023下·湖南永州·七年級校聯考期中）已知可以被10到20之間的某兩個整數整除，則這兩個數是（）A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17【答案】D【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之間的哪兩個整數整除.【詳解】∴可以被10至20之間的17和15兩個整數整除.故選D.【點睛】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握平方差公式是解答本題的關鍵.3．（2023下·江蘇淮安·七年級統考期末）已知，則代數式的值為．【答案】【分析】先根據平方差公式分解因式，再整體代入，即可求出答案．【詳解】解：，，故答案為：．【點睛】本題考查了解二元一次方程組和求代數式的值，能夠整體代入是解此題的關鍵．4．（2023下·貴州黔西·八年級校考階段練習）在實數范圍內分解因式：．【答案】【分析】先利用完全平方公式進行配方，再根據平方差公式進行因式分解即可.【詳解】解：.故答案為：.【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握用公式法進行因式分解是解題的關鍵，實數范圍內的因式分解技巧：若，則.5．（2020上·上海浦東新·八年級校考階段練習）在有理數范圍內因式分解．【答案】【分析】根據平方差公式分解因式即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了平方差公式因式分解，掌握是解題的關鍵．【經典例題七運用完全平方公式分解因式】1．（2023上·山東東營·八年級校考階段練習）已知，則代數式的值是（）A．0 B．1 C．4 D．6【答案】D【分析】根據代數式的形式，構造出完全平方公式進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故選：D．【點睛】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．2．（2023上·浙江寧波·八年級統考期末）若，都是有理數，且，則(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用完全平方公式變形，再利用非負數的性質求出與的值，然后代入所求式子進行計算即可．【詳解】解：∵∴∴∴，解得：，∴故選：B．【點睛】本題考查了完全平方公式，因式分解的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．3．（2023上·河南周口·八年級校考階段練習）已知，且滿足兩個等式，則的值為．【答案】4【分析】由等量代換可得，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴∴∴∴∵則∴則∴故答案為：4．【點睛】本題考查的是因式分解的應用，掌握“提公因式與利用完全平方公式分解因式”是解本題的關鍵．4．（2023上·山東濰坊·八年級統考階段練習）已知，，，則代數式的值是．【答案】【分析】由題意得到，，，再把要求的代數式用完全平方公式進行因式分解，整體代入即可得到答案．【詳解】∵，，，∴，，，∴，，，，故答案為：．【點睛】此題考查了因式分解的應用，熟練掌握完全平方公式進行因式分解是解題的關鍵．5．（2023上·四川資陽·八年級四川省樂至中學校考期中）觀察下列分解因式的過程：解：原式像這種通過增減項把多項式轉化成完全平方形式的方法稱為配方法．(1)請你運用上述配方法分解因式：；(2)已知的三邊長都是正整數，且滿足，求周長的最大值．【答案】(1)(2)13【分析】（1）原式利用完全平方公式變形后分解，再利用平方差公式分解即可；（2）運用配方法，求出a、b，再根據三角形的三邊關系求出c即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：，，根據三角形的三邊關系可得：，，的三邊長都是正整數，，周長的最大值為：【點睛】本題考查了配方法的應用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．【經典例題八綜合運用公式法分解因式】1．（2022上·八年級單元測試）將分解因式，所得結果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將看作一個整體，然后對原式變形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可．【詳解】解：．故選D．【點睛】本題主要考查了因式分解，靈活運用公式法進行因式分解是解答本題的關鍵．2．（2022上·天津東麗·八年級統考期末）下列分解因式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】因式分解是將一個多項式分解為幾個整式的乘積形式，且每一個整式不能再分解．根據提公因式法、公式法分解因式，即可獲得答案．【詳解】解：A.，正確，符合題意；B.，故該選項因式分解錯誤，不符合題意；C.，不能再分解，故該選項錯誤，不符合題意；D.，故該選項因式分解錯誤，不符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查了因式分解的知識，熟練掌握因式分解的常用方法是解題關鍵．3．（2022上·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學校考期中）在實數范圍內因式分解：．【答案】【分析】先在實數范圍內提公因式得：，然后利用配方法以及平方差公式將括號里的進行因式分解變形得出答案【詳解】=====故答案為：【點睛】本題主要考查了因式分解的基本方法，熟練掌握相關方法是解題關鍵．4．（2022上·上海楊浦·八年級校考期中）在實數范圍內分解因式．【答案】【分析】將化成一個完全平方式與另一個數的差，再運用平方差公式分解因式．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查實數范圍內分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的運用．5．（2023上·山東泰安·八年級統考期中）請將下列式子進行因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查提公因式法及公式法因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．（1）將原式提公因式后利用平方差公式因式分解即可；（2）利用平方差公式及完全平方公式因式分解即可．【詳解】（1）原式（2）原式【經典例題九綜合提公因式和公式法分解因式】1．（2023上·山東泰安·八年級統考期中）下列各式不是因式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】題目主要考查了提公因式法與公式法的綜合運用，將原式分解因式，判斷即可．【詳解】解：原式．∴，，是原多項式的因式，不是的因式，故選A．2．（2023·浙江寧波·九年級效實中學校聯考自主招生）已知，的值有（）A．1個 B．2個C．大于2個但有限 D．無數個【答案】B【分析】先把已知等式的常數項移到等號右側得①，然后求得②，再把①②相加，進行分解因式，再利用平方數的非負性進行解答即可．【詳解】解：∵，∴①，∵②，得：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，綜上可知：的值有2個，為或2，故選：B．【點睛】本題主要考查了因式分解，差的立方公式，立方和公式，完全平方公式，實數的非負性，熟練掌握掌握公式，靈活分解因式，活用非負性是解題的關鍵．3．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習）把多項式分解因式的結果是．【答案】【分析】先提公因式，再用平方差公式分解即可；【詳解】解：，故答案為：．【點睛】該題主要考查了分解因式，解題的關鍵是掌握分解因式的方法，分解因式的主要方法有：提公因式法、公式法、十字相乘法．4．（2023上·上海長寧·七年級上海市復旦初級中學校考期中）由多項式乘以多項式的法則可以得到：即：，我們把這個公式叫做立方和公式，同理：，我們把這個公式叫做立方差公式，請利用以上公式分解因式：【答案】【分析】本題考查了因式分解，先提公因式，再運用立方差公式即可求解．【詳解】解：，故答案為：．5．（2023上·四川內江·八年級校考期中）已知，求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)37(2)150【分析】（1）利用完全平方式的變形進行求解即可；（2）先對所求的代數式分解因式為，然后根據已知進行求解即可．【詳解】（1）解：∵，，則（2）【點睛】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，分解因式，解題的關鍵在于能夠熟練掌握完全平方公式．【經典例題十因式分解在有理數簡算中的應用】1．（2023上·河北邢臺·八年級統考期末）計算的值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】原式各括號利用平方差公式變形，約分即可得到結果．【詳解】原式，，，，故選：C．【點睛】本題考查的是平方差公式，掌握運算法則和平方差公式是解題關鍵．2．（2020上·江蘇南通·八年級校考階段練習）已知，則的值是（

）A．0 B．1 C．-2 D．-1【答案】D【分析】先對進行變形，可以解出a，b的關系，然后在對進行因式分解即可．【詳解】∵，∴，，，∴，，∴故選：D．【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，在解題時要注意符號變換，同時掌握正確的運算是解答本題的關鍵．3．（2023上·廣東廣州·八年級廣州市天河區匯景實驗學校校考期中）計算：．【答案】/【分析】接利用平方差公式把每一個算式因式分解，再進一步發現規律計算即可．【詳解】解：原式=，故答案為：．【點睛】此題考查因式分解的應用，解題關鍵在于利用公式進行計算．4．（2023下·遼寧本溪·八年級統考期末）若，，則計算的結果為．【答案】2022.5【分析】先提公因式，再用平方差公式進行計算即可．【詳解】．故答案為：2022.5．【點睛】本題主要考查了利用平方差公式因式分解進行簡便運算，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．5．（2023下·湖南永州·七年級統考期中）利用因式分解計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據平方差公式進行求解即可；（2）根據完全平方公式進行求解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題主要考查了利用因式分解進行簡便計算，熟知完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．【經典例題十一十字相乘法】1．（2023上·浙江寧波·八年級統考期末）如果多項式能被整除，那么的值是（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】由于，而多項式能被整除，則能被整除．運用待定系數法，可設商是A，則，則和時，，分別代入，得到關于a、b的二元一次方程組，解此方程組，求出a、b的值，進而得到的值.【詳解】解：∵，∴能被整除，設商是A．則，則和時，右邊都等于0，所以左邊也等于0．當時，①當時，②，得，∴，∴．∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了待定系數法在因式分解中的應用．在因式分解時，一些多項式經過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數．由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據多項式恒等的性質，兩邊對應項系數應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關于待定系數的方程（或方程組），解出待定字母系數的值，這種因式分解的方法叫作待定系數法．本題關鍵是能夠通過分析得出和時，原多項式的值均為0，從而求出a、b的值．本題屬于競賽題型，有一定難度．2．（2023上·河北保定·九年級校考開學考試）若分解因式則的值為（

）A． B．5 C． D．2【答案】D【分析】已知等式右邊利用多項式乘以多項式法則計算，再利用多項式相等的條件求出的值即可．【詳解】解：已知等式整理得：，可得，，解得：，，故答案為：D．【點睛】此題考查了因式分解十字相乘法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．3．（2020上·上海閔行·七年級上海市民辦文綺中學校考期中）因式分解：．【答案】【分析】利用“十字相乘法”進行因式分解即可得出答案．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】此題主要考查因式分解，熟練掌握“十字相乘法”是解答此題的關鍵．4．（2023·山東威海·統考二模）甲、乙兩人在對進行因式分解時，甲看錯了a，得到的結果為；乙看錯了b，得到的結果為，則因式分解的正確結果為．【答案】【分析】根據因式分解的恒等性，根據確定b的值，根據題意，，確定正確的a值，后重新因式分解即可．【詳解】∵甲看錯了a，得到的結果為；乙看錯了b，得到的結果為，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解的看錯項問題，熟練掌握因式分解的意義是解題的關鍵．5．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級校考期中）閱讀理解：在松松與南南學習到分解因式的知識時，發現年級上教材第頁有一種因式分解的方法叫十字相乘法，即，則可按此多項式乘法計算逆向思考，將二次三項式因式分解成，松松沒有看明白書中的方法，請南南幫助他，南南告訴他：“要把二次三項式中的常數項分成兩個整數的積，且這兩個整數的和等于才可以，即，，則口算就可以得到，或，，然后在將與的值代入式子中即可得到；(1)松松按照南南教他的方法將二次三項式分解成，那么松松應該將二次三項式如何分解呢？______；(2)南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一個變式問題，可是松松想了想沒有好辦法，請你幫松松完成這個因式分解的題目吧：；(3)在松松南南的齊心努力下，終于學會了因式分解的十字相乘法，但是老師卻給他出了一個思考題，大家幫助松松南南一起完成這個因式分解的題吧：．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（）根據題意中十字相乘的方法即可求解；（）先提“”，再用十字相乘的方法即可求解；（）用十字相乘的方法即可求解；此題考查了利用十字相乘法因式分解，解題的關鍵是正確理解和掌握十字相乘法因式分解的應用．【詳解】（1）二次三項式中的常數項分成兩個整數的積，且這兩個整數的和等于才可以，即，，則口算就可以得到，或，，然后在將與的值代入式子中即可得到，故答案為：（2），；（3），，，，．【經典例題十二分組分解法】1．（2023下·浙江寧波·七年級統考階段練習）已知a，b為正整數，滿足，則的最大值為（

）A．28 B．43 C．76 D．78【答案】C【分析】將利用分組分解法化為，再根據a，b為正整數，分類討論即可得到答案．【詳解】解：∵，∴∴∴，∵a，b為正整數，要使最大，則b的值應比a大，∴當時，；當時，，∴的最大值為76，故選：C．【點睛】此題考查了分組分解法的應用，解題的關鍵在于把等號左邊的式子化為乘積的形式．2．（2022上·八年級單元測試）已知有一個因式，把它分解因式后的結果是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據已知可以得，之后進行整式乘法計算即可求解本題．【詳解】解：設，∵，∴，解得，∴．故選：A．【點睛】本題考查的是整式乘法和因式分解，這里掌握它們互為逆運算是解題的關鍵．3．（2023·江西吉安·統考三模）分解因式：=．【答案】【分析】先分組，然后根據提公因式法因式分解即可求解．【詳解】．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．4．（2022上·上海·七年級專題練習）當時，代數式【答案】【分析】原式先提取x，再分組，利用因式分解，代入數值即可求解．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：0．【點睛】本題考查了因式分解的應用，掌握分組分解法以及提公因式法分解因式是解題的關鍵．5．（2023上·全國·八年級專題練習）閱讀下列文字與例題，并解答：將一個多項式分組進行因式分解后，可用提公因式法或公式法繼續分解的方法稱作分組分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就稱為分組分解法．原式(1)試用“分組分解法”因式分解：(2)已知四個實數，，，，滿足，，并且，，，，同時成立．①當時，求的值；②當時，用含的代數式分別表示、、（直接寫出答案即可）．【答案】(1)(2)①；②，【分析】此題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是關鍵．（1）根據因式分解分組分解法分解即可；（2）根據因式分解分組分解法和提公因式法分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：①當時，得，，，；②當時，，，，，，即，，，，，由得，得，，，即，，，，，又由，，得，即，，即，或，，或，又，則，，．【經典例題十三因式分解的應用】1．（2023上·山東濟寧·九年級濟寧市第十五中學校考階段練習）若將多項式因式分解為，則的值為（）A．0 B． C．1 D．1或【答案】B【分析】利用多項式乘多項式的法則計算，求出的值，再代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故選B．【點睛】本題考查因式分解的應用．熟練掌握多項式乘多項式的法則，求出求出的值，是解題的關鍵．2．（2023下·四川達州·七年級校聯考期中）若，，，則多項式的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據，，，可以得到，，的值，然后將所求式子變形，然后將，，的值代入變形后的式子計算即可．【詳解】，，，，，，，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查因式分解的應用，解答本題的關鍵時明確題意，利用完全平方公式解答．3．（2023下·浙江寧波·七年級校考期中）下列說法正確的是．①在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；②無論k取任何實數，多項式總能分解成兩個一次因式積的形式；③已知二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則a的值是0.5；④若，，則．【答案】①③【分析】利用平行公理對①判斷；利用平方差公式的特點對②分析；③解方程組求得x、y的值，代入即可求得a的值；④利用冪的乘方，完全平方公式即可求解．【詳解】解：①按照平行公理可判斷在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項正確；②當k為負值時，多項式不能分解成兩個一次因式積的形式，故本選項不正確；③解方程組，得，把代入得：，解得：，故本選項正確；④∵，∴，∴，故本選項不正確；綜上正確的說法是①③．故答案為：①③．【點睛】本題考查了平行公理、因式分解、二元一次方程組的解以及冪的乘方等知識點，熟練掌握相關性質定理及運算法則是解題的關鍵．4．（2023上·福建廈門·八年級校考期末）對于二次三項式（為常數），有下列結論：①若，且，則；②若，則；③若，則無論為何值，；④若，且，其中為整數，則可能的取值有8個．其中正確的是．（只填寫序號）【答案】②④/④②【分析】根據完全平方公式以及十字相乘法因式分解以及多項式乘以多項式的運算法則進而判斷得出答案即可．【詳解】解：①若，且，則有，∴，故說法①錯誤；②若，∴，∴，∴，故說法②正確；③若，則，則，∵，∴，故說法③錯誤；④若，且，則，∴，∵為整數，∴或或或或或或或，∴或或或或或或或共種，故說法④正確，故答案為：②④．【點睛】本題考查了完全平方公式以及多項式乘以多項式，十字相乘法因式分解等知識點，熟練掌握多項式乘以多項式運算法則以及乘法公式是解本題的關鍵．5．（2023上·山東煙臺·八年級統考期中）小明同學將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，如圖，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m、寬為n的相同小長方形，且．

(1)觀察圖形，可以發現代數式可以因式分解為(2)小明想要拼一個長為，寬為的大長方形，則需要邊長為m的大正方形個，邊長為n的小正方形個，長為m、寬為n的小長方形個；(3)動手操作：數學活動小組準備了足夠數量的與小明裁剪出的邊長為m的大正方形、邊長為n的小正方形、長為m、寬為n的小長方形相同的圖片若干，請你也利用這些圖片拼圖分解因式：．（畫出拼圖的示意圖，并在圖中標出適量的與m，n有關的信息，完成因式分解）(4)拓展：若每塊小長方形的面積為12，三個大正方形和三個小正方形的面積和為75，試求的值．【答案】(1)(2)1，2，3(3)圖見解析；(4)【分析】本題考查了因式分解與完全平方公式的變形在圖形面積中的應用，（1）根據大矩形面積可以表示為，也可以表示為即可求解；（2）根據多項式乘多項式法則將展開為，進而求解即可；（3）根據題意畫出圖形，進而因式分解即可；（4）根據題意得到，，然后利用完全平方公式的變形求解即可．熟練運用完全平方公式和數形結合思想通過兩種方法表示紙板面積是解題的關鍵．【詳解】（1）根據題意可得，大矩形面積可以表示為，也可以表示為，∴∴代數式可以因式分解為；（2）根據題意可得，∴需要邊長為m的大正方形1個，邊長為n的小正方形2個，長為m、寬為n的小長方形3個；（3）依據拼圖，

∴；（4）由題意得：，

∴∴，∴∴又∵，∴．【重難點訓練】1．（2023上·山東泰安·八年級統考期中）下列各式不是因式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】題目主要考查了提公因式法與公式法的綜合運用，將原式分解因式，判斷即可．【詳解】解：原式．∴，，是原多項式的因式，不是的因式，故選A．2．（2023上·海南海口·八年級海南華僑中學校考期中）下列因式分解，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了因式分解．熟練掌握提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式是解題的關鍵．根據提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式對各選項進行判斷作答即可．【詳解】解：，錯誤，故A不符合要求；，正確，故B符合要求；，錯誤，故C不符合要求；，錯誤，故D不符合要求；故選：B．3．（2023上·北京西城·八年級北師大實驗中學校考期中）下列各式從左到右的變形中，因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別對各項因式分解，再逐一判斷即可．【詳解】解：A.，不符合題意；B.，原來分解錯誤，不符合題意；C.，不符合題意；D.，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．4．（2023上·山東濟寧·九年級濟寧市第十五中學校考階段練習）若將多項式因式分解為，則的值為（）A．0 B． C．1 D．1或【答案】B【分析】利用多項式乘多項式的法則計算，求出的值，再代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故選B．【點睛】本題考查因式分解的應用．熟練掌握多項式乘多項式的法則，求出求出的值，是解題的關鍵．5．（2023上·浙江寧波·八年級統考期末）如果多項式能被整除，那么的值是（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】由于，而多項式能被整除，則能被整除．運用待定系數法，可設商是A，則，則和時，，分別代入，得到關于a、b的二元一次方程組，解此方程組，求出a、b的值，進而得到的值.【詳解】解：∵，∴能被整除，設商是A．則，則和時，右邊都等于0，所以左邊也等于0．當時，①當時，②，得，∴，∴．∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了待定系數法在因式分解中的應用．在因式分解時，一些多項式經過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數．由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據多項式恒等的性質，兩邊對應項系數應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關于待定系數的方程（或方程組），解出待定字母系數的值，這種因式分解的方法叫作待定系數法．本題關鍵是能夠通過分析得出和時，原多項式的值均為0，從而求出a、b的值．本題屬于競賽題型，有一定難度．6．（2023上·山東東營·八年級校考階段練習）已知，則代數式的值是（）A．0 B．1 C．4 D．6【答案】D【分析】根據代數式的形式，構造出完全平方公式進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故選：D．【點睛】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．7．（2023上·山東濟南·八年級校考期中）分解因式：．【答案】【分析】先提取公因數m，然后再運用平方差公式因式分解即可；靈活運用提取公因式法和公式法因式分解成為解答本題的關鍵．【詳解】解：．故答案為．8．（2022上·山東淄博·八年級淄博市張店區實驗中學校考階段練習）已知正方形的面積是，則正方形的邊長是．【答案】【分析】首先利用完全平方公式進行因式分解，即可得到正方形的邊長．【詳解】解：∵，，∴正方形的邊長為，故答案為：．【點睛】此題主要考查了因式分解法的應用，解題的關鍵是利用完全平方公式進行因式分解，從而得到正方形的邊長．9．（2023上·福建泉州·八年級統考期中）若為自然數，且與都是一個自然數的平方，則的值為．【答案】或【分析】本題考查了因式分解的應用，設這兩個自然數為和，列出代數式并進行因式分解，求出和的值，最后代入或中，即可求出的值．【詳解】解：設，∴，∵，∴，∵和都是自然數，∴，解得：∴∴或，故答案為：或．10．（2023上·廣東廣州·八年級廣州市天河區匯景實驗學校校考期中）計算：．【答案】/【分析】接利用平方差公式把每一個算式因式分解，再進一步發現規律計算即可．【詳解】解：原式=，故答案為：．【點睛】此題考查因式分解的應用，解題關鍵在于利用公式進行計算．11．（2022下·浙江杭州·七年級校考期末）的三邊長a、b、c滿足，，則的周長等于．【答案】14【分析】首先利用c表示出b，代入已知的第二個式子中，整理后配方，然后根據非負數的性質即可求出a與c的值，進而求出b的值，得到三角形的周長．【詳解】解：，，把代入得：，整理得：，配方得：，即且，解得：，，，則的周長等于；故答案為：14．【點睛】此題考查了完全平方公式的應用，以及非負數的性質：偶次方，此題的技巧性比較強，熟練掌握完全平方公式的特點是解本題的關鍵．12．（2023上·上海長寧·七年級上海市復旦初級中學校考期中）由多項式乘以多項式的法則可以得到：即：，我們把這個公式叫做立方和公式，同理：，我們把這個公式叫做立方差公式，請利用以上公式分解因式：【答案】【分析】本題考查了因式分解，先提公因式，再運用立方差公式即可求解．【詳解】解：，故答案為：．13．（2023上·吉林長春·八年級校考期中）分解因式：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）直接提取公因式分解即可；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解決本題的關鍵．14．（2023上·山東濟南·八年級校考期中）因式分解(1)(2)利用因式分解計算.已知:，，求的值．【答案】(1)(2)36【分析】（1）直接提取公因式即可解答；（2）先根據平方差公式、完全平方公式進行因式分解，然后再將，代入計算即可解答．【詳解】（1）解：．（2）解：．【點睛】本題主要考查了提取公因式因式分解、公因式法因式分解的應用等知識點，靈活運用公式法進行因式分解是解答本題的關鍵．15．（2023上·山東煙臺·八年級統考期中）小明同學將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，如圖，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m、寬為n的相同小長方形，且．

(1)觀察圖形，可以發現代數式可以因式分解為(2)小明想要拼一個長為，寬為的大長方形，則需要邊長為m的大正方形個，邊長為n的小正方形個，長為m、寬為n的小長方形個；(3)動手操作：數學活動小組準備了足夠數量的與小明裁剪出的邊長為m的大正方形、邊長為n的小正方形、長為m、寬為n的小長方形相同的圖片若干，請你也利用這些圖片拼圖分解因式：．（畫出拼圖的示意圖，并在圖中標出適量的與m，n有關的信息，完成因式分解）(4)拓展：若每塊小長方形的面積為12，三個大正方形和三個小正方形的面積和為75，試求的值．【答案】(1)(2)1，2，3(3)圖見解析；(4)【分析】本題考查了因式分解與完全平方公式的變形在圖形面積中的應用，（1）根據大矩形面積可以表示為，也可以表示為即可求解；（2）根據多項式乘多項式法則將展開為，進而求解即可；（3）根據題意畫出圖形，進而因式分解即可；（4）根據題意得到，，然后利用完全平方公式的變形求解即可．熟練運用完全平方公式和數形結合思想通過兩種方法表示紙板面積是解題的關鍵．【詳解】（1）根據題意可得，大矩形面積可以表示為，也可以表示為，∴∴代數式可以因式分解為；（2）根據題意可得，∴需要邊長為m的大正方形1個，邊長為n的小正方形2個，長為m、寬為n的小長方形3個；（3）依據拼圖，

∴；（4）由題意得：，

∴∴，∴∴又∵，∴．16．（2023上·福建泉州·八年級統考期中）綜合與實踐某數學興趣小組開展綜合實踐活動發現：特值法是解決數學問題的一種常用方法，即通過取題中某個未知量為特殊值，從而通過簡單的運算，得出最終答案的一種方法．例如，已知多項式有一個因式是，求m的值．小安的求解過程如下：解：由題意設（A為整式），由于上式為恒等式，為了方便計算，取，則，解得：①________．(1)補全小安求解過程中①所缺的內容；(2)若，求的值；(3)若多項式有因式和，求m，n的值．【答案】(1)24(2)(3)，【分析】本題考查因式分解的應用，利用等式的性質，和特殊值法進行求解，是解題的關鍵．（1）解方程即可；（2）取，和，兩個特殊值進行計算即可；（3）設，分別取和，得到的二元一次方程組，進行計算即可．【詳解】（1）∵解得：24；故