絕密★考試結束前2023學年第一學期寧波金蘭教育合作組織期中聯考高二年級數學學科試題本卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.選擇題部分（共60分）一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）的傾斜角是（）A. B. C. D.2.如圖所示，空間四邊形中，，，，點在上，點在上且是中點，為中點，則等于（）A. B.C. D.的焦點坐標是（）A. B. C. D.是橢圓在第一象限上的點，且以點及焦點，為頂點的三角形面積等于1，則點的坐標為（）A. B. C. D.，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.表示雙曲線，則下列方程表示橢圓時，與雙曲線有相同焦點的是（）A. B.C. D.中，直線與之間的距離是（）A. B. D.8.如圖1，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓。許多人從純幾何的角度對這個問題進行研究，其中比利時數學家Germinaldandelion（17941847）的方法非常巧妙，極具創造性。在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切，兩個球分別與截面切于、，在截口曲線上任取一點，過作圓錐的母線，分別與兩個球切于、，由球和圓的幾何性質，可以知道，，，于是，由、的產生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以、為焦點的橢圓。如圖2，一個半徑為1的球放在桌面上，桌面上方有一點光源，則球在桌面上的投影是橢圓，已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為（）圖1 圖2A. B. C. D.二、選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.如圖，過焦點的直線與拋物線交于，兩點，則下列說法正確的是（）A. B.為直徑的圓與準線相切 D.，，三點共線：，：，則下列說法正確的是（）A.恒過點 ，則，則或 不經過第三象限，則.是圓：上的動點，則下列說法正確的是（）A.B.C.是直線上的動點，則12.如圖，是底面圓的直徑，點是圓上異于、的點，垂直于圓所在的平面且，，點在線段上，則下列說法正確的是（）為中點時，平面與平面所成角為，則，使得平面與平面夾角為D.的最小值為非選擇題部分（共90分）三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分），則該雙曲線的漸近線方程為______.，，直線與線段相交，則的取值范圍為______.15.如圖，為保護河上古橋，規劃建一座新橋，同時設立一個圓形保護區.規劃要求：新橋與河岸垂直；保護區的邊界為圓心在線段上，并與相切的圓，且古橋兩端和到該圓上任意一點的距離均不少于.經測量，點位于點正北方向處，點位于點正東方向處（為河岸），，則新橋的長度為______.，過點且斜率為的直線與軸相交于點，與橢圓相交于，，則的值為______.四、解答題：（本題共6個小題，其中17題10分，18至22題每題12分，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線過點，且直線的一個方向向量為.（1）求頂點的坐標；（2）求直線的方程.18.如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的菱形，側棱，.（1）求的長；（2）求直線與所成角的余弦值.的圓心為，且圓______.在下列所給的三個條件中任選一個，填在直線上，并完成解答（注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）①與直線相切；②與圓：相外切；③經過直線與直線的交點.（1）求圓的方程；（2）圓：，是否存在實數，使得圓與圓公共弦的長度為2，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.20.如圖，已知在四棱錐中，平面，點在棱上，且，底面為直角梯形，，，，，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.與橢圓交于，兩點，記的面積為.（1）當，時，求的取值范圍；（2）當，時，求直線的方程。與直線：有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸與，兩點。點的坐標為，當點的坐標為時，點坐標為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）當點運動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。命題學校：柴橋中學審題學校：龍賽中學2023學年第一學期寧波金蘭教育合作組織期中考試高二年級數學學科參考答案及評分標準命題：柴橋中學審稿：龍賽中學一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）題號12345678答案DADBCCBA二、選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）題號9101112答案ACDACABDABD三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.； 14.； 15.； 16.四、解答題：（本題共6個小題，其中17題10分，18至22題每題12分，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（1）因為，由，則，直線的方程為則，得頂點的坐標為（2）設點，則，在上，即，即的方程為則，得的坐標為又，所以直線的方程為18.（1）由（2）構成空間的一個基底，所以直線與所成角的余弦值為19.（1）設圓的半徑為，若選條件①，圓與直線相切，所以圓到直線的距離是圓的半徑，則所以圓的方程為若選條件②，與圓：相外切，圓的圓心為，半徑為2，所以，所以所以圓的方程為若選條件③，經過直線與直線的交點，，得，所以所以圓的方程為（2）圓：的圓心為，半徑為，兩個圓有公共弦，則即，解得由，得兩圓公共弦所在直線方程為又兩圓的公共弦長為2，則圓心到公共弦所在直線的距離為，且，解得，經檢驗符合題意20.（1）以為原點，以，，分別為，，建立空間直角坐標系，由，，，，，分別是，的中點，可得：，，，，，，，∴，，，設平面的的法向量為，則有：，令，則，，∴，又平面，∴平面，（2）設平面的的法向量為，又，則有：，令，則，，所以.，又，設直線與平面所成角為，∴，∴求直線與平面所成的角的正弦值為，21.（1）設點，由解得，，當時，所以（2）由得，點到直線的距離由，，得所以所以，即，所以的方程為或或或22.（1）設：，，，可得，又因為直線：過，則，所以：又因為與雙曲線相切，所以，且，即即，（1）又因為點在雙曲線上，