第13講常見(jiàn)全等輔助線中考說(shuō)明中考說(shuō)明內(nèi)容ABC全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形與全等三角形之間的關(guān)系掌握兩個(gè)三角形全等的條件和全等三角形的性質(zhì)；會(huì)應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)與判定解決有關(guān)問(wèn)題會(huì)運(yùn)用全等三角形的知識(shí)和方法解決有關(guān)問(wèn)題知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖前章回顧前章回顧全等三角形有什么性質(zhì)？全等三角形有幾種判定方法？

13.1倍長(zhǎng)中線類全等概念辨析概念辨析見(jiàn)中點(diǎn)倍長(zhǎng)中線（倍長(zhǎng)類中線）解讀：凡是與中點(diǎn)連線的線段都可看作是中線，都可以考慮倍長(zhǎng)中線，倍長(zhǎng)中線的目的可以旋轉(zhuǎn)等長(zhǎng)度的線段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的，構(gòu)成8字全等．例題精講例題精講已知：中，是中線．求證：．【討論一下】【討論一下】在△中，，則邊上的中線的長(zhǎng)的取值范圍是什么

如圖，已知中，平分．是的中點(diǎn)，交于，交延長(zhǎng)線于，．求證：．【討論一下】【討論一下】如圖，已知中，．是的中點(diǎn)，交于，交延長(zhǎng)線于，．求證：平分．已知為的中線，，的平分線分別交于、交于．求證：．

【討論一下】【討論一下】如圖所示，在的邊上取兩點(diǎn)、，使，連接、，求證：．如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，，求證：．【討論一下】【討論一下】如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)于，與相等嗎？為什么？如圖，為線段的中點(diǎn)，在上取異于的點(diǎn)，分別以、為斜邊在同側(cè)作等腰直角三角形與，連結(jié)、、，求證：為等腰直角三角形．（2013年懷柔）已知：如圖1，在中，，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)．求證：線段、、總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形；【討論一下】【討論一下】如圖2，，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段、、能構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，給出證明．

如圖1，矩形中，，為的中點(diǎn)，連結(jié)．請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出是的幾倍；已知分別是及延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，連接交底于，求證．【討論一下】如圖【討論一下】如圖2，在平行四邊形中，，為的中點(diǎn)，，連結(jié)、，請(qǐng)問(wèn)：與是否也具有上題中的倍數(shù)關(guān)系？若有，請(qǐng)證明；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

13.2截長(zhǎng)補(bǔ)短類全等概念辨析概念辨析見(jiàn)線段間數(shù)量關(guān)系截長(zhǎng)補(bǔ)短或旋轉(zhuǎn)解讀：只要出現(xiàn)類似的線段關(guān)系，就可以采取截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法來(lái)做輔助線，注意這個(gè)方法可以說(shuō)是四個(gè)方法，由于方向性的不同，所以截長(zhǎng)兩種，補(bǔ)短兩種；出現(xiàn)類似的線段關(guān)系時(shí)，截長(zhǎng)補(bǔ)短就不行了，就得采取旋轉(zhuǎn)的方法來(lái)做輔助線．例題精講例題精講（四中期中）如圖，，和的平分線相交于，過(guò)的直線分別交、于、兩點(diǎn)．求證：．【討論一下】【討論一下】如圖所示，在中，，，求證：．

（2009年崇文一模）在等邊的兩邊、所在直線上分別有兩點(diǎn)、，為外一點(diǎn)，且，，．探究：當(dāng)、分別在直線、上移動(dòng)時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)的關(guān)系．如圖，當(dāng)點(diǎn)、邊、上，且時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系是_______________；此時(shí)______________；寫(xiě)出結(jié)論并證明．【討論一下】【討論一下】如圖所示，點(diǎn)、邊、上，且當(dāng)時(shí)，上題的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；

13.3旋轉(zhuǎn)類全等概念辨析概念辨析旋轉(zhuǎn)類全等模型：共頂點(diǎn)等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型——“手拉手”模型證明全等的基本思想“”

例題精講例題精講（1）如圖1，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，分別以和為邊在線段的同側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，連結(jié)和，相交于點(diǎn)，連結(jié)．求的大小．（2）如圖2，固定不動(dòng)，保持的形狀和大小不變，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求的大小．【討論一下】【討論一下】以的兩邊為邊向外作正方形，求證：，且．

如圖，已知，，，點(diǎn)為等腰直角內(nèi)一點(diǎn)，，為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且．（1）求證：平分；（2）若點(diǎn)在上，且，求證：．【討論一下】【討論一下】如圖1，，，．繞著邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，分別交線段于點(diǎn)，．觀察：①如圖2、圖3，當(dāng)或時(shí)，_______（填“”，“”或“”）．②如圖4，當(dāng)時(shí)，_______（填“”，“”或“”）．（2）猜想：如圖1，當(dāng)時(shí)，_______，證明你所得到的結(jié)論．基礎(chǔ)演練已知，是的中線，求證：已知中，，為的延長(zhǎng)線，且，為的邊上的中線．求證：如圖所示，已知中，平分，、分別在、上．，．求證：∥

如圖所示，在中，，，求證：．如圖，已知和都是等邊三角形，、、在一條直線上，試說(shuō)明與相等的理由．已知：如圖，點(diǎn)是正方形的邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．

如圖，已知中，，，平分，求證：.如圖所示．已知正方形中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．求證：．如圖，，，三點(diǎn)共線，且與是等邊三角形，連結(jié)，分別交，于，點(diǎn)．求證：．

能力提升已知：如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形．、分別是、的高．求證：．已知：如圖，、、都是等邊三角形，且、、共線，．求證：也是等邊三角形．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，、上各存一點(diǎn)、，若的周長(zhǎng)為，求的度數(shù)．

如圖，正方形中，．求證：．巔峰突破（師大附中期中）已知：等邊三角形（1）如圖1，為等邊外一點(diǎn)，且．試猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖2，為等邊內(nèi)一點(diǎn)，且．求證：．

在中，，，是的角平分線，于點(diǎn)．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），以為一邊，在的下方作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．請(qǐng)你在圖2中畫(huà)出完整圖形，并直接寫(xiě)