專題12銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義與運(yùn)算1．（2022?湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的長和sinA的值．【分析】根據(jù)勾股定理求AC的長，根據(jù)正弦的定義求sinA的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sinA＝＝．答：AC的長為4，sinA的值為．2．（2023?金華）計(jì)算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．【分析】先計(jì)算零次冪、化簡(jiǎn)二次根式，再代入特殊值的函數(shù)值算乘法并化簡(jiǎn)絕對(duì)值，最后算加減得結(jié)論．【解答】解：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|＝1+2﹣2×+5＝1+2﹣1+5＝7．3．（2021?衢州）計(jì)算：+（）0﹣|﹣3|+2cos60°．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，絕對(duì)值、算術(shù)平方根、特殊角三角函數(shù)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：原式＝3+1﹣3+2×＝2．4．（2021?金華）計(jì)算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．【分析】先分別計(jì)算有理數(shù)的乘方，二次根式的化簡(jiǎn)，代入特殊角三角函數(shù)值，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，然后再計(jì)算．【解答】解：原式＝﹣1+﹣4×+2＝﹣1+2﹣2+2＝1．5．（2021?杭州）計(jì)算：sin30°＝．【分析】根據(jù)sin30°＝直接解答即可．【解答】解：sin30°＝．6．（2022?紹興）（1）計(jì)算：6tan30°+（π+1）0﹣．（2）解方程組：．【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)加減法解二元一次方程組即可．【解答】解：（1）原式＝6×+1﹣2＝＝1；（2），①+②得：3x＝6，解得x＝2，把x＝2代入②，得：y＝0，∴原方程組的解是．7．（2022?金華）計(jì)算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．解直角三角形的應(yīng)用8．（2021?金華）如圖是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC與地面BC的夾角為α，則兩梯腳之間的距離BC為（）A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD＝DC，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DC的長，即可得出答案．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴cosα＝＝，∴DC＝2cosα（米），∴BC＝2DC＝2×2cosα＝4cosα（米）．故選：A．9．（2022?臺(tái)州）如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2．梯子與地面所成的角α為75°，梯子AB長3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【分析】在Rt△ABC中，AB＝3m，sin∠BAC＝sin75°＝≈0.97，解方程即可．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，sin∠BAC＝sin75°＝≈0.97，解得BC≈2.9．答：梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m．10．（2022?金華）圖1是光伏發(fā)電場(chǎng)景，其示意圖如圖2，EF為吸熱塔，在地平線EG上的點(diǎn)B，B′處各安裝定日鏡（介紹見圖3）．繞各中心點(diǎn)（A，A'）旋轉(zhuǎn)鏡面，使過中心點(diǎn)的太陽光線經(jīng)鏡面反射后到達(dá)吸熱器點(diǎn)F處．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在點(diǎn)A觀測(cè)點(diǎn)F的仰角為45°．（1）點(diǎn)F的高度EF為9m．（2）設(shè)∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，則α與β的數(shù)量關(guān)系是α﹣β＝7.5°．【分析】（1）連接A′A并延長交EF于點(diǎn)H，易證四邊形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均為矩形，可得HE＝AB＝1m，HD＝EB＝8m，再根據(jù)在點(diǎn)A觀測(cè)點(diǎn)F的仰角為45°，可得HF＝HD＝8m，即可求出FE的長；（2）作DC的法線AK，D′C′的法線A′R，根據(jù)入射角等于反射角，可得∠FAM＝2∠FAK，∠FA′N＝2∠FA′R，根據(jù)HF＝8m，HA′＝8m，解直角三角形可得∠HFA′＝60°，從而可得∠AFA′的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠FA′R＝7.5°+∠FAK，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可表示∠DAB和∠D′A′B′，從而可得α與β的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）連接A′A并延長交EF于點(diǎn)H，如圖，則四邊形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均為矩形，∴HE＝AB＝A′B′＝1m，HD＝EB＝8m，HA′＝EB′＝8m，∵在點(diǎn)A觀測(cè)點(diǎn)F的仰角為45°，∴∠HAF＝45°，∴∠HFA＝45°，∴HF＝HD＝8，∴EF＝8+1＝9（m），故答案為：9；（2）作DC的法線AK，D′C′的法線A′R，如圖所示：則∠FAM＝2∠FAK，∠FA′N＝2∠FA′R，∵HF＝8m，HA′＝8m，∴tan∠HFA′＝，∴∠HFA′＝60°，∴∠AFA′＝60°﹣45°＝15°，∵太陽光線是平行光線，∴A′N∥AM，∴∠NA′M＝∠AMA′，∵∠AMA′＝∠AFM+∠FAM，∴∠NA′M＝∠AFM+∠FAM，∴2∠FA′R＝15°+2∠FAK，∴∠FA′R＝7.5°+∠FAK，∵AB∥EF，A′B′∥EF，∴∠BAF＝180°﹣45°＝135°，∠B′A′F＝180°﹣60°＝120°，∴∠DAB＝∠BAF+∠FAK﹣∠DAK＝135°+∠FAK﹣90°＝45°+∠FAK，同理，∠D′A′B′＝120°+∠FA′R﹣90°＝30°+∠FA′R＝30°+7.5°+∠FAK＝37.5+∠FAK，∴∠DAB﹣∠D′A′B′＝45°﹣37.5°＝7.5°，故答案為：α﹣β＝7.5°．11．（2023?溫州）根據(jù)背景素材，探索解決問題．測(cè)算發(fā)射塔的高度背景素材某興趣小組在一幢樓房窗口測(cè)算遠(yuǎn)處小山坡上發(fā)射塔的高度MN（如圖1），他們通過自制的測(cè)傾儀（如圖2）在A，B，C三個(gè)位置觀測(cè)，測(cè)傾儀上的示數(shù)如圖3所示．經(jīng)討論，只需選擇其中兩個(gè)合適的位置，通過測(cè)量、換算就能計(jì)算發(fā)射塔的高度問題解決任務(wù)1分析規(guī)劃選擇兩個(gè)觀測(cè)位置：點(diǎn)A和點(diǎn)B（答案不唯一）．獲取數(shù)據(jù)寫出所選位置觀測(cè)角的正切值，并量出觀測(cè)點(diǎn)之間的圖上距離．任務(wù)2推理計(jì)算計(jì)算發(fā)射塔的圖上高度MN．任務(wù)3換算高度樓房實(shí)際寬度DE為12米，請(qǐng)通過測(cè)量換算發(fā)射塔的實(shí)際高度．注：測(cè)量時(shí)，以答題紙上的圖上距離為準(zhǔn)，并精確到1mm．【分析】通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，依據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：任務(wù)1：【分析規(guī)劃】選擇點(diǎn)A和點(diǎn)B（答案不唯一），故答案為：A、B（答案不唯一）；【獲取數(shù)據(jù)】tan∠1＝，tan∠2＝，tan∠3＝，測(cè)得圖上AB＝4mm；任務(wù)2：如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥MN于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BG⊥MN于點(diǎn)G，則FG＝AB＝4mm，設(shè)MF＝xmm，則MG＝（x+4）mm，∵tan∠MAF＝＝，tan∠MBG＝＝，∴AF＝4x，BG＝3x+12，∵AF＝BG，即4x＝3x+12，∴x＝12，即MF＝12mm，∴AF＝BG＝4x＝48（mm），∵tan∠FAN＝＝，∴FN＝6mm，∴MN＝MF+FN＝12+6＝18（mm），任務(wù)3：測(cè)得圖上DE＝5mm，設(shè)發(fā)射塔的實(shí)際高度為hm，由題意得，＝，解得h＝43.2（m），∴發(fā)射塔的實(shí)際高度為43.2m．12．（2023?寧波）某綜合實(shí)踐研究小組為了測(cè)量觀察目標(biāo)時(shí)的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)角儀，如圖1所示．（1）如圖2，在P點(diǎn)觀察所測(cè)物體最高點(diǎn)C，當(dāng)量角器零刻度線上A，B兩點(diǎn)均在視線PC上時(shí)，測(cè)得視線與鉛垂線所夾的銳角為α，設(shè)仰角為β，請(qǐng)直接用含α的代數(shù)式示β．（2）如圖3，為了測(cè)量廣場(chǎng)上空氣球A離地面的高度，該小組利用自制簡(jiǎn)易測(cè)角儀在點(diǎn)B，C分別測(cè)得氣球A的仰角∠ABD為37°，∠ACD為45°，地面上點(diǎn)B，C，D在同一水平直線上，BC＝20m，求氣球A離地面的高度AD．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】（1）由已知直接可得答案；（2）設(shè)AD＝xm，可得CD＝AD＝xm，BD＝（20+x）m，而tan∠ABD＝，有0.75＝，即可解得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：β＝90°﹣α；（2）設(shè)AD＝xm，∵∠ACD＝45°，∠ADB＝90°，∴CD＝AD＝xm，∵BC＝20m，∴BD＝（20+x）m，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴tan37°＝，即0.75＝，解得：x＝60，∴AD＝60（m），答：氣球A離地面的高度AD是60m．13．（2023?浙江）圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被識(shí)別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA＝160cm，識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點(diǎn)C處，請(qǐng)問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識(shí)別？（2）身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無法被識(shí)別，社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為20°（如圖3），此時(shí)小若能被識(shí)別嗎？請(qǐng)計(jì)算說明．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【分析】（1）過C作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)E，D，交水平線于點(diǎn)F，在Rt△AEF中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到EF＝AF?tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）如圖2，過B作OB的垂線分別交仰角、俯角線于M．N．交水平線于P，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到MP＝AP?tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN＝MP＝54.0cm，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）過C作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)E，D，交水平線于點(diǎn)F，在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，∴EF＝AF?tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，∴△ADF≌△AEF（SAS），∴EF＝DE＝35.1cm，∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被識(shí)別；（2）如圖2，過B作OB的垂線分別交仰角、俯角線于M．N．交水平線于P，在Rt△APM中，tan∠MAP＝，∴MP＝AP?tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，∴△AMP≌△ANP（ASA），∴PN＝MP＝54.0cm，∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm），∴小若踮起腳尖后頭頂?shù)母叨葹?20+3＝123（cm），∴小若頭頂超出點(diǎn)N的高度為：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm，∴踮起腳尖小若能被識(shí)別．三角函數(shù)綜合運(yùn)用14．（2022?溫州）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，O是DF的中點(diǎn)，EO的延長線交線段BD于點(diǎn)G，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)G．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．（2）當(dāng)AD＝5，tan∠EDC＝時(shí)，求FG的長．【分析】（1）由三角形中位線定理得EF∥BC，則∠EFO＝∠GDO，再證△OEF≌△OGD（ASA），得EF＝GD，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DE＝AC＝CE，則∠C＝∠EDC，再由銳角三角函數(shù)定義得CD＝2，然后由勾股定理得AC＝，則DE＝AC＝，進(jìn)而由平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC，∴∠EFO＝∠GDO，∵O是DF的中點(diǎn)，∴OF＝OD，在△OEF和△OGD中，，∴△OEF≌△OGD（ASA），∴EF＝GD，∴四邊形DEFG是平行四邊形．（2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中點(diǎn)，∴DE＝AC＝CE，∴∠C＝∠EDC，∴tanC＝＝tan∠EDC＝，即＝，∴CD＝2，∴AC＝＝＝，∴DE＝AC＝，由（1）可知，四邊形DEFG是平行四邊形，∴FG＝DE＝．15．（2021?溫州）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），且∠AEB＝∠CFD＝90°．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）當(dāng)AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF時(shí)，求BD的長．【分析】（1）證AE∥CF，再證△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)定義和勾股定理求出AE＝3，BE＝4，再證∠ECF＝∠CBE，則tan∠CBE＝tan∠ECF，得＝，求出EF＝﹣2，進(jìn)而得出答案．【解答】（1）證明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，設(shè)AE＝3a，則BE＝4a，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝52，解得：a＝1或a＝﹣1（舍去），∴AE＝3，BE＝4，由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝3，∵∠CBE＝∠EAF，∴∠ECF＝∠CBE，∴tan∠CBE＝tan∠ECF，∴＝，∴CF2＝EF×BF，設(shè)EF＝x，則BF＝x+4，∴32＝x（x+4），解得：x＝﹣2或x＝﹣﹣2,（舍去），即EF＝﹣2，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝4，∴BD＝BE+EF+DF＝4+﹣2+4＝6+．16．（2022?麗水）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，E是BC的中點(diǎn)，AF平分∠EAD交CD于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥AD交AE于點(diǎn)G．若cosB＝，則FG的長是（）A．3 B． C． D．【分析】方法一：過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FQ⊥AD于點(diǎn)Q，根據(jù)cosB＝＝，可得BH＝1，所以AH＝，然后證明AH是BE的垂直平分線，可得AE＝AB＝4，設(shè)GA＝GF＝x，根據(jù)S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，進(jìn)而可以解決問題．方法二：作AH垂直BC于H，延長AE和DC交于點(diǎn)M由已知可得BH＝EH＝1，所以AE＝AB＝EM＝CM＝4設(shè)GF＝x，則AG＝x，GE＝4﹣x，由三角形MGF相似于三角形MEC即可得結(jié)論．方法三：作AN⊥BC，延長FG交AB于H，易證△ABE為等腰三角形，易得HF＝BC＝4及△AHG∽△ABE設(shè)AG＝GF＝a，得a的值，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：方法一，如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FQ⊥AD于點(diǎn)Q，∵菱形ABCD的邊長為4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cosB＝＝，∴BH＝1，∴AH＝＝＝，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分線，∴AE＝AB＝4，∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠FAG，∵FG∥AD，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠FAG＝∠AFG，∴GA＝GF，設(shè)GA＝GF＝x，∵AE＝CD＝4，F(xiàn)G∥AD，∴DF＝AG＝x，cosD＝cosB＝＝，∴DQ＝x，∴FQ＝＝＝x，∵S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，∴×（2+4）×＝（2+x）×（﹣x）+（x+4）×x，解得x＝，則FG的長是．或者：∵AE＝CD＝4，F(xiàn)G∥AD，∴四邊形AGFD為等腰梯形，∴GA＝FD＝GF，則x+x+x＝4，解得x＝，則FG的長是．方法二：如圖，作AH垂直BC于H，延長AE和DC交于點(diǎn)M，∵菱形ABCD的邊長為4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cosB＝＝，∴BH＝1，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分線，∴AE＝AB＝4，所以AE＝AB＝EM＝CM＝4，設(shè)GF＝x，則AG＝x，GE＝4﹣x，由GF∥BC，∴△MGF∽△MEC，∴＝，解得x＝．方法三：作AN⊥BC，延長FG交AB于H，∴BN＝1，∵E為BC中點(diǎn)，∴BE＝2，∴BN＝EN＝1，∴AN是BE的垂直平分線，∴AB＝AE，∴△ABE為等腰三角形，∵AF平分∠EAD，GF∥AD，∴∠GAF＝∠DAF，∠DAF＝∠AFG，∴∠AFG＝∠GAF，∴AG＝GF，又四邊形ADFH是平行四邊形，∴HF＝BC＝4，△AHG∽△ABE，設(shè)AG＝GF＝a，∴HG＝4﹣a，∴a：4＝（4﹣a）：2，解得a＝．∴GF＝．故選：B．17．（2021?寧波）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，△BEC與△FEC關(guān)于直線EC對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在邊AD上，G為CD中點(diǎn)，連結(jié)BG分別與CE，CF交于M，N兩點(diǎn)．若BM＝BE，MG＝1，則BN的長為2，sin∠AFE的值為﹣1．【分析】連接BF，F(xiàn)M，由翻折及BM＝ME可得四邊形BEFM為菱形，再由菱形對(duì)角線的性質(zhì)可得BN＝BA．先證明△AEF≌△NMF得AE＝NM，再證明△FMN∽△CGN可得＝，進(jìn)而求解．【解答】解：∵BM＝BE，∴∠BEM＝∠BME，∵AB∥CD，∴∠BEM＝∠GCM，又∵∠BME＝∠GMC，∴∠GCM＝∠GMC，∴MG＝GC＝1，∵G為CD中點(diǎn)，∴CD＝AB＝2．連接BF，F(xiàn)M，由翻折可得∠FEM＝∠BEM，BE＝EF，∴BM＝EF，∵∠BEM＝∠BME，∴∠FEM＝∠BME，∴EF∥BM，∴四邊形BEFM為平行四邊形，∵BM＝BE，∴四邊形BEFM為菱形，∵∠EBC＝∠EFC＝90°，EF∥BG，∴∠BNF＝90°，∵BF平分∠ABN，∴FA＝FN，∴Rt△ABF≌Rt△NBF（HL），∴BN＝AB＝2．∵FE＝FM，F(xiàn)A＝FN，∠A＝∠BNF＝90°，∴Rt△AEF≌Rt△NMF（HL），∴AE＝NM，設(shè)AE＝NM＝x，則BE＝FM＝2﹣x，NG＝MG﹣NM＝1﹣x，∵FM∥GC，∴△FMN∽△CGN，∴＝，即＝，解得x＝2+（舍）或x＝2﹣，∴EF＝BE＝2﹣x＝，∴sin∠AFE＝＝＝﹣1．故答案為：2；﹣1．18．（2021?金華）已知：如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形對(duì)角線的長；（2）過O作OE⊥AD于點(diǎn)E，連結(jié)BE．記∠ABE＝α，求tanα的值．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AC＝2AO，根據(jù)等邊三角形的判定得出△AOB是等邊三角形，求出AB＝AO＝2，求出BD；（2）根據(jù)勾股定理求出AD，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得AE，然后解直角三角形求得tanα的值．【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴AO＝BO，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝AO＝BO，∵AB＝2，∴BO＝2，∴BD＝2BO＝4，∴矩形對(duì)角線的長為4；（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵OA＝OD，OE⊥AD于點(diǎn)E，∴AE＝DE＝AD＝，∴tanα＝＝．19．（2022?紹興）如圖，AB＝10，點(diǎn)C是射線BQ上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC，作CD⊥AC，CD＝AC，動(dòng)點(diǎn)E在AB延長線上，tan∠QBE＝3，連結(jié)CE，DE，當(dāng)CE＝DE，CE⊥DE時(shí)，BE的長是或5．【分析】如圖，過點(diǎn)C作CT⊥AE于點(diǎn)T，過點(diǎn)D作DJ⊥CT交CT的延長線于點(diǎn)J，連接EJ．由tan∠CBT＝3＝，可以假設(shè)BT＝k，CT＝3k，證明△ATC≌△CJD（AAS），推出DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，再利用勾股定理，構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CT⊥AE于點(diǎn)T，過點(diǎn)D作DJ⊥CT交CT的延長線于點(diǎn)J，連接EJ．∵tan∠CBT＝3＝，∴可以假設(shè)BT＝k，CT＝3k，∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，∴∠CAT＝∠JCD，在△ATC和△CJD中，，∴△ATC≌△CJD（AAS），∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，∵∠CJD＝∠CED＝90°，∴C，E，D，J四點(diǎn)共圓，∵EC＝DE，∴∠CJE＝∠DJE＝45°，∴ET＝TJ＝10﹣2k，∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[?]2，整理得4k2﹣25k+25＝0，∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，∴k＝5或，∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝或5，故答案為：或5．20．（2023?杭州）第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個(gè)全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中間一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，連接BE．設(shè)∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，tanα＝tan2β，則n＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】設(shè)AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化簡(jiǎn)可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，結(jié)合勾股定理及正方形的面積公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，進(jìn)而可求解n的值．【解答】解：設(shè)AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，∴，∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．故選：C．21．（2022?金華）一配電房示意圖如圖所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，則房頂A離地面EF的高度為（）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得AD，．用AD+BE即可表示出房頂A離地面EF的高度．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖，∵它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝BC＝3m，在Rt△ADB中，∵tan∠ABC＝，∴AD＝BD?tanα＝3tanαm．∴房頂A離地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，故選：B．22．（2021?溫州）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，則OC2的值為（）A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1【分析】在Rt△OAB中，sinα＝，可得OB的長度，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理OB2+BC2＝OC2，代入即可得出答案．【解答】解：∵AB＝BC＝1，在Rt△OAB中，sinα＝，∴OB＝，在Rt△OBC中，OB2+BC2＝OC2，∴OC2＝（）2+12＝．故選：A．23．（2021?衢州）圖1是某折疊式靠背椅實(shí)物圖，圖2是椅子打開時(shí)的側(cè)面示意圖，椅面CE與地面平行，支撐桿AD，BC可繞連接點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，且OA＝OB，椅面底部有一根可以繞點(diǎn)H轉(zhuǎn)動(dòng)的連桿HD，點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)A，EB均與地面垂直，測(cè)得FA＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．（1）椅面CE的長度為40cm．（2）如圖3，椅子折疊時(shí)，連桿HD繞著支點(diǎn)H帶動(dòng)支撐桿AD，BC轉(zhuǎn)動(dòng)合攏，椅面和連桿夾角∠CHD的度數(shù)達(dá)到最小值30°時(shí)，A，B兩點(diǎn)間的距離為12.5cm（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠ECB＝∠ABF，由銳角三角函數(shù)可得，即可求解；（2）如圖2，延長AD，BE交于點(diǎn)N，由“ASA”可證△ABF≌△BAN，可得BN＝AF，可求NE的長，由銳角三角函數(shù)可求DE的長，即可求DH的長，如圖3，連接CD，過點(diǎn)H作HP⊥CD于P，由銳角三角函數(shù)和等腰三角形的性質(zhì)，可求DC的長，通過相似三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ECB＝∠ABF，∴tan∠ECB＝tan∠ABF，∴，∴，∴CE＝40（cm），故答案為：40；（2）如圖2，延長AD，BE交于點(diǎn)N，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，在△ABF和△BAN中，，∴△ABF≌△BAN（ASA），∴BN＝AF＝54（cm），∴EN＝9（cm），∵tanN＝，∴＝，∴DE＝8（cm），∴CD＝32（cm），∵點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，∴CH＝DH＝16（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝＝，如圖3，連接CD，過點(diǎn)H作HP⊥CD于P，∵HC＝HD，HP⊥CD，∴∠PHD＝∠CHD＝15°，CP＝DP，∵sin∠DHP＝＝sin15°≈0.26，∴PD≈16×0.26＝4.16（cm），∴CD＝2PD＝8.32（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴，∴，∴AB＝12.48≈12.5（cm），故答案為：12.5．24．（2021?金華）如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置．木條BC上的點(diǎn)P處安裝一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點(diǎn)為D，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在MN上形成一個(gè)光點(diǎn)E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．（1）ED的長為13．（2）將木條BC繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到BC′（如圖2），點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，BC′與MN的交點(diǎn)為D′，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P′反射后，在MN上的光點(diǎn)為E′．若DD′＝5，則EE′的長為11.5．【分析】（1）由題意可得，△ABP∽△EDP，則＝，進(jìn)而可得出DE的長；（2）過點(diǎn)E′作∠E′FG＝∠E′D′F，過點(diǎn)E′作E′G⊥BC′于點(diǎn)G，易得△ABP′∽△E′FP′，由此可得＝，在Rt△BDD′中，由勾股定理可求出BD′的長，可求出∠BD′D的正切值，設(shè)P′F的長，分別表示E′F和E′D′及FG和GD′的長，再根據(jù)BD′＝13，可建立等式，可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，由題意可得，∠APB＝∠EPD，∠B＝∠EDP＝90°，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∵AB＝6.5，BP＝4，PD＝8，∴＝，∴DE＝13；故答案為：13．（2）如圖2，過點(diǎn)E′作∠E′FD′＝∠E′D′F，過點(diǎn)E′作E′G⊥BC′于點(diǎn)G，∴E′F＝E′D′，F(xiàn)G＝GD′，∵AB∥MN，∴∠ABD′+∠E′D′B＝180°，∴∠ABD′+∠E′FG＝180°，∵∠E′FB+∠E′FG＝180°，∴∠ABP′＝∠E′FP′，又∠AP′B＝∠E′P′F，∴△ABP′∽△E′FP′，∴＝即，＝，設(shè)P′F＝4a，則E′F＝6.5a，∴E′D′＝6.5a，在Rt△BDD′中，∠BDD′＝90°，DD′＝5，BD＝BP+PD＝12，由勾股定理可得，BD′＝13，∴cos∠BD′D＝，在Rt△E′GD′中，cos∠BD′D＝＝，∴GD′＝2.5a，∴FG＝GD′＝2.5a，∵BP′+P′F+FG+GD′＝13，∴4+4a+2.5a+2.5a＝13，解得a＝1，∴E′D′＝6.5，∴EE′＝DE+DD′﹣D′E′＝13+5﹣6.5＝11.5．故答案為：11.5．25．（2023?紹興）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱OA垂直地面OB，支架CD與OA交于點(diǎn)A，支架CG⊥CD交OA于點(diǎn)G，支架DE平行地面OB，籃筐EF與支架DE在同一直線上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．（1）求∠GAC的度數(shù)；（2）某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠ACG＝90°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）延長OA，ED交于點(diǎn)M，根據(jù)垂直定義可得∠AOB＝90°，從而利用平行線的性質(zhì)可得∠DMA＝∠AOB＝90°，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠DAM＝∠GAC＝58°，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠ADM＝32°，然后在Rt△ADM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長，從而利用線段的和差關(guān)系求出MO的長，比較即可解答．【解答】解：（1）∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°，∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°，∴∠GAC的度數(shù)為58°；（2）該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，理由如下：延長OA，ED交于點(diǎn)M，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵DE∥OB，∴∠DMA＝∠AOB＝90°，∵∠GAC＝58°，∴∠DAM＝∠GAC＝58°，∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，在Rt△ADM中，AD＝0.8米，∴AM＝AD?sin32°≈0.8×0.53＝0.42（米），∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924（米），∵2.924米＜3米，∴該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)．26．（2023?臺(tái)州）教室里的投影儀投影時(shí)，可以把投影光線CA，CB及在黑板上的投影圖象高度AB抽象成如圖所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影圖象的高度AB＝120cm，CB與AB的夾角∠B＝33.7°，求AC的長．（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）【分析】在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝120cm，∠BAC＝90°，∠B＝33.7°，∴tanB＝，∴AC＝AB?tan33.7°≈120×0.67＝80.4≈80（cm），∴AC的長約為80cm．27．（2023?麗水）如圖，某工廠為了提升生產(chǎn)過程中所產(chǎn)生廢氣的凈化效率，需在氣體凈化設(shè)備上增加一條管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的總長．【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則∠AED＝90°，四邊形BCDE是矩形，得BE＝CD＝4m，則AE＝7m，再由銳角三角函數(shù)定義求出AD＝14m，即可解決問題．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則∠AED＝90°，四邊形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝4m，∴AE＝AB﹣BE＝11﹣4＝7（m），∵∠A＝60°，∴cosA＝＝cos60°＝，∴AD＝2AE＝2×7＝14（m），∴AD+CD＝14+4＝18（m），即管道A﹣D﹣C的總長為18m．28．（2022?嘉興）小華將一張紙對(duì)折后做成的紙飛機(jī)如圖1，紙飛機(jī)機(jī)尾的橫截面是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其示意圖如圖2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．（1）連結(jié)DE，求線段DE的長．（2）求點(diǎn)A，B之間的距離．（結(jié)果精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【分析】（1）過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠DCF＝20°，利用銳角三角函數(shù)即可解決問題；（2）根據(jù)橫截面是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，延長CF交AD、BE延長線于點(diǎn)G，連接AB，所以DE∥AB，根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余可得∠A＝∠GDE＝20°，然后利用銳角三角函數(shù)即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，∵CD＝CE＝5cm，∠DCE＝40°．∴∠DCF＝20°，∴DF＝CD?sin20°≈5×0.34≈1.7（cm），∴DE＝2DF≈3.4cm，∴線段DE的長約為3.4cm；（2）∵橫截面是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，∴延長CF交AD、BE延長線于點(diǎn)G，連接AB，∴DE∥AB，∴∠A＝∠GDE，∵AD⊥CD，BE⊥CE，∴∠GDF+∠FDC＝90°，∵∠DCF+∠FDC＝90°，∴∠GDF＝∠DCF＝20°，∴∠A＝20°，∴DG＝≈≈1.8（cm），∴AG＝AD+DG＝10+1.8＝11.8（cm），∴AB＝2AG?cos20°≈2×11.8×0.94≈22.2（cm）．∴點(diǎn)A，B之間的距離22.2cm．29．（2022?寧波）每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識(shí)，某消防大隊(duì)進(jìn)行了消防演習(xí)．如圖1，架在消防車上的云梯AB可伸縮（最長可伸至20m），且可繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，其底部B離地面的距離BC為2m，當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時(shí)，底部B到EF的距離BD為9m．（1）若∠ABD＝53°，求此時(shí)云梯AB的長．（2）如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險(xiǎn)情，請(qǐng)問在該消防車不移動(dòng)位置的前提下，云梯能否伸到險(xiǎn)情處？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）【分析】（1）在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長，即可解答；（2）根據(jù)題意可得DE＝BC＝2m，從而求出AD＝17m，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長，進(jìn)行比較即可解答．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，∴AB＝≈＝15（m），∴此時(shí)云梯AB的長為15m；（2）在該消防車不移動(dòng)位置的前提下，云梯能伸到險(xiǎn)情處，理由：由題意得：DE＝BC＝2m，∵AE＝19m，∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），在Rt△ABD中，BD＝9m，∴AB＝＝