正交加筋板聲透射特性研究

空間諧波展開法建立平面聲波傾斜入射下正交加筋板聲透射理論模型作為一種典型的結構單元，正交拉筋板廣泛應用于工程領域（如飛機設備、船舶和船舶）。該類結構的聲學性能,往往影響著飛機的乘坐舒適性及艦船的水下聲隱身性能。因此,開展正交加筋板的聲振特性研究,分析結構參數對其聲振特性的影響,對于提高飛機舒適度及艦船隱身性能具有重要意義。廣大學者針對連續周期性結構的隔聲性能和振動特性已經開展了廣泛的研究[5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17]。Mead和Pujara首先提出應用空間諧波展開法來研究聲波在周期支撐梁中的傳播問題。基于此,Lee和Kim通過先把加強筋對平板的作用等效成彈簧和扭簧的組合模型,然后將單向加筋薄板簡化成一維周期支撐梁,研究了其在平面聲波作用下的聲透射問題。由于這種采用周期支撐梁模型過于簡化,必然會使結果產生差異。為此,Mace提出采用周期性支撐板模型并結合傅里葉變換法來研究了單向加筋薄板在任意點激勵或線激勵作用下的聲輻射問題。不過他在考慮加強筋的影響時仍然采用的是彈簧和扭簧組合模型,沒有考慮慣性項的影響。隨后,Mace進一步拓展,研究了正交加筋薄板的聲輻射問題,通過分析加強筋的彎曲運動把慣性項的影響考慮進來了,但是卻忽略了扭轉運動的影響。因此,為了更好地揭示結構聲透射的物理規律,有必要建立更為準確的正交加筋板聲透射理論模型。本文在上述研究的基礎上,采用周期性支撐板模型,通過充分考慮加強筋的彎曲運動和扭轉運動計及其對平板的影響,再考慮流-固交界面處的邊界條件和波動方程,運用空間諧波展開法建立平面聲波傾斜入射下正交加筋板的聲透射理論板梁模型。基于此,首先研究單向加筋板的隔聲性能,比較理論結果與已有計算結果的一致性,驗證板梁理論模型的有效性;然后進一步研究聲波入射角、加強筋慣性矩及間距對正交加筋板聲振特性的影響。1正交和鋼筋混凝土的聲音傳播理論模型1.1透射異常的聲壓考慮如圖1所示的無限大正交加筋板,x和y方向均設置均勻分布的矩形截面加強筋,加強筋間距分別為lx和ly。當平面聲波從一側以角度φ和θ入射到平板上,將引起加筋板的振動,一部分入射聲波被反射回去,形成反射聲波。入射聲波(Pi)和反射聲波(Pr)的聲壓共同構成了入射域內的聲壓P1。其余部分則透射過平板傳播到正交加筋板另一側,形成透射聲波(Pt)。其聲壓構成了透射域內的聲壓P2。為便于分析,建立如圖1所示的笛卡爾坐標系,其中x-y平面和平板上表面重合。平板厚度為h,x向及y向加強筋的寬度和高度分別為tx,ty,hx和hy。平板和加強筋采用相同材料,其楊氏模量為E,泊松比為μ,密度為ρ。為反映加強筋在正交加筋板受迫振動中的作用,本文將加強筋視為平板的動反力及動反力矩;這樣,正交加筋板的聲振問題就可描述成:如何求解一塊受到動反力和動反力矩作用的均勻平板的聲振問題。1.2振動方程的建立由結構周期性理論可知,無限大正交加筋板可看成是由無限大平板被x和y方向等間距分布的加強筋劃分的無數基本單元組成,且基本單元在加筋邊界處將受到動反力和動反力矩的作用。這樣正交加筋板的聲振特性可通過分析基本單元的聲振特性得到,基本單元的受力分析如圖2所示。y方向上,板和加強筋交界處的動反力及動反力矩是指均勻分布的橫向力Qym=Qym(y,t)和扭矩MmΤymTy=MmΤymTy(y,t)。同理,x方向上,板和加強筋交界處的動反力及動反力矩是指均勻分布的橫向力Qnxnx=Qnxnx(x,t)和扭矩MnΤxnTx=MnTx(x,t)。假設:(1)忽略平板彎曲運動時的剪切變形和扭轉慣性距;(2)不考慮平板的面內運動。由經典薄板理論,受力平板的振動方程可表示為D(1+jη)?4W+ρh?2W?t2=-∞∑m=-∞[Qmyδ(x-mlx)+{ΜmΤyδ′(x-mlx)}]-∞∑n=-∞[Qnxδ(y-nly)+{ΜnΤxδ′(y-nly)}]+Ρ1(x,y,0)-Ρ2(x,y,h)(1)式中?4=(?2/?x2+?2/?y2)2;W(x,y,t),ρ和h分別表示板的橫向位移、密度和板厚。η為材料的損耗因子。δ(·)為Diracdelta函數。D=Eh3/12(1-μ2)表示為平板的彎曲剛度。方程(1)右邊的第一項和第二項代表平板和加強筋的耦合作用部分,第三項代表聲固耦合作用部分。P1(x,y,0)表示入射域聲波的聲壓,P2(x,y,h)表示透射域聲波的聲壓。1.3加強筋的翹曲作用假設平板振動時忽略板面內和面外的耦合運動,只考慮平板的橫向彎曲運動。因此,伴隨著平板的彎曲振動,加強筋將產生彎曲變形和扭轉變形。為研究方便,假設加強筋具有垂直于平板的對稱矩形截面,因此,橫向運動和扭轉運動之間不存在耦合作用;忽略加強筋的翹曲作用。y方向上,做受迫彎曲運動和扭轉運動的加強筋的運動方程可以表示為EΙm?4W?y4+ρAm?2W?t2=Qmy(y,t)(2)-GJm?3W?x?y2-ω2ρΙm0?W?x=ΜmΤy(y,t)(3)式中EIm為加強筋的彎曲剛度,GJm為加強筋的圣維南扭轉剛度,ρAm為加強筋單位長度上的質量,ρIm0表示加強筋單位長度上的質量慣性距。x方向上,做受迫彎曲運動和扭轉運動的加強筋的運動方程可以表示為:EΙn?4W?x4+ρAn?2W?t2=Qnx(x,t)(4)-GJn?3W?y?x2-ω2ρΙn0?W?y=ΜnΤx(x,t)(5)式中EIn為加強筋的彎曲剛度,GJn為加強筋的圣維南扭轉剛度,ρAn為加強筋單位長度上的質量,ρIn0表示為加強筋單位長度上的質量慣性距。2正交和鋼筋混凝土聲音傳播理論模型的求解2.1入射域聲場的聲壓由于正交加筋板為無限大周期結構,因此,當其受到簡諧平面聲波激勵時,其橫向位移W(x,y,t)可表示成一系列空間諧波疊加的形式,即W(x,y,t)=+∞∑m=-∞+∞∑n=-∞Amn×e-j[(kx+2mπ/lx)x+(ky+2nπ/ly)y-ωt](6)式中系數Amn為結構振動的幅值。上式中,結構被表示成一系列關于正向波和反向波諧波的分量之和,且分別對應于m,n=0,±1,±2,±3,…。雖然對于某一空間諧波而言并不滿足邊界條件,但是它們之和卻被強制滿足邊界條件。由于入射域和透射域中的介質是理想流體,因此,聲壓P1和P2滿足如下波動方程c20?2Ρi=?2Ρi?t2(i=1?2)(7)式中入射域聲場的聲壓P1可以定義為Ρ1(x,y,z,t)=e-j(kxx+kyy+kzz-ωt)++∞∑m=-∞+∞∑n=-∞Bmn?e-j[(kx+2mπ/lx)x+(ky+2nπ/ly)y-kz,mnz-ωt](8)式中系數Bmn為反射波聲壓第(m,n)階分量的幅值。式中的第一項代表入射波的聲壓,第二項寫成一系列級數和的形式代表反射波聲壓。與此相類似,透射域聲場的聲壓P2可以表示成如下形式Ρ2(x,y,z,t)=+∞∑m=-∞+∞∑n=-∞Cmn×e-j[(kx+2mπ/lx)x+(ky+2nπ/ly)y+kz,mnz-ωt](9)式中系數Cmn為透射波聲壓第(m,n)階分量的幅值。上述兩式中的波數kx,ky和kz與入射角θ和φ有關,可以表示成如下:kx=k0sinφcosθ?ky=k0sinφsinθ?kz=k0cosφ(10)式中波數k0=ω/c0,ω為入射聲波的圓頻率,c0為聲波在空氣中的傳播速度。kz,mn為聲波的諧波分量在z方向上的波數,通過把等式(8)和(9)代入到等式(7)中,便可以導出kz,mn如下式kz,mn=√(ωc0)2-(kx+2mπlx)2-(ky+2nπly)2(11a)當(ω/c0)2<(kx+2mπ/lx)2+(ky+2nπ/ly)2時,相關的壓力波為耗散波。因此,此時kz,mn應該表示成如下形式kz,mn=j√(kx+2mπlx)2+(ky+2nπly)2-(ωc0)2(11b)由垂直流體介質和大平板交界面方向上的法線速度連續性條件可知?Ρ1?z|z=0=ω2ρ0W(12)?Ρ2?z|z=h=ω2ρ0W(13)式中ρ0為流體介質的密度。因此,把式(6),(8)和(9)代入到邊界條件(12)和(13)中,可以確定Amn,Bmn和Cmn之間的關系如下Bmn={1+ω2ρ0A00jkz,當m=0且n=0ω2ρ0Amnjkz,mn,當m≠0或n≠0(14)Cmn=-ω2ρ0Amnejkz,mnhjkz,mn(15)2.2正交加筋板的虛功原理由上述各式可知,一旦求得平板的橫向彎曲波振幅Amn,則可通過式(14)和(15)進一步得到系數Bmn和Cmn。而系數Amn則可以通過對正交加筋板某一基本周期單元應用虛功原理得到。由虛功原理可知:系統的一個周期單元上所有外力在虛位移上所做的虛功之和為零,則有下式成立δΠp+δΠx+δΠy=0(16)式中δΠp為周期平板單元的虛功,δΠx和δΠy分別為x方向和y方向上單位長度加強筋的虛功。令虛位移取如下形式δW=δAmne-j[(kx+2mπ/lx)x+(ky+2nπ/ly)y-ωt](17)2.2.1虛功表達的描述在一個基本周期單元內,受到平面聲波激勵時無限大平板的振動方程如下式D1?4W+ρh?2W?t2-Ρ1(x,y,0)+Ρ2(x,y,h)=0(18)式中D1=D(1+jη)。基本周期平板單元所貢獻的虛功表達成如下δΠp=∫lx0∫ly0[D1?4W+ρh?2W?t2-Ρ1(x,y,0)+Ρ2(x,y,h)]δW*dxdy(19)式中δW*表示為虛位移的復數共軛形式。因此,通過把方程(6),(8),(9)和(17)代入到方程(19)中,則基本周期單元平板所貢獻的虛功可以進一步寫成如下形式δΠp={(D1[(kx+2kπlx)2+(ky+2lπly)2]2-ρhω2)Akl-2ω2ρ0Akljkz,kl}lxlyδA*kl-∫lx0∫ly02e-j(kxx+kyy)ej[(kx+2kπ/lx)x+(ky+2lπ/ly)y]?dxdyδA*kl(20)2.2.2[qnx+jn+kk+k/lx在加強筋和平板交界處,沿x方向上(取y=0)橫向作用力和力矩在虛位移上所做的虛功為δΠx=-∫lx0[Qnx(x,0)+j(ky+2lπ/ly)?ΜnΤx(x,0)]δA*klej(kx+2kπ/lx)xdx=δA*kllx?{[-EΙn(kx+2kπ/lx)4+ρAnω2]+(ky+2nπ/ly)(ky+2lπ/ly)(-GJn(kx+2kπ/lx)2+ρΙn0ω2)}∞∑n=-∞Akn(21)2.2.3[0,y+k.4+m/lx]a+k+am型在加強筋和平板交界處,沿y方向上(取x=0)橫向作用力和力矩在虛位移上所做的虛功為δΠy=-∫ly0[Qmy(0,y)+j(kx+2kπ/lx)?ΜmΤy(0,y)]δA*klej(ky+2lπ/ly)ydy=δA*klly?{[-EΙm(ky+2lπ/ly)4+ρAmω2]+(kx+2mπ/lx)(kx+2kπ/lx)(-GJm(ky+2lπ/ly)2+ρΙm0ω2)}∞∑m=-∞Aml(22)2.2.4未知系數amn的建立將方程(20～22)代入到方程(16),由虛位移的任意性可以得到正交加筋板的聲振如下{D1(αk2+βl2)2-ρhω2-2ω2ρ0jkz,kl}lxlyAkl+∞∑n=-∞{(ρAnω2-EΙnαk4)+βlβn(-GJnαk2+ρΙn0ω2)}lxAkn+∞∑m=-∞{(ρAmω2-EΙmβl4)+αkαm(-GJmβl2+ρΙm0ω2)}lyAml={2lxly當k=0＆l=00當k≠0‖l≠0(23)式中αk=kx+2kπ/lx,βl=ky+2lπ/ly,αm=kx+2mπ/lx,βn=ky+2nπ/ly。綜合考慮其他任意周期單元上的虛功,將會得到一系列相同形式的代數方程,最終構成一個關于未知系數Amn的無限大代數方程組。實際計算時通常是對方程組采取截斷的辦法來求解,即將下標(m,n)限制在一個有限區間內(m=-?k～?k同時n=-?l～?l)。而方程項數m和n的具體取值則要通過收斂性分析來確定。最終,有限項方程組可表達成矩陣形式如下(其中Κ=2?k+1,L=2?l+1)。詳細的推導過程見附錄。ΤΚL×ΚL×AklΚL×1=FklΚL×1(24)一旦通過式(24)求得了所有的未知系數Amn,然后再由方程(14)和(15)逐個求出其他2個未知系數Bmn和Cmn,則平板的橫向位移W(x,y,t),入射域和透射域內的聲壓P1和P2就可以被確定下來。至此板梁理論模型就建立起來了,借助該模型就能研究結構的隔聲性能和振動特性。2.3正交加筋板振幅的計算由于聲波透射系數τ(φ,θ)是關于入射角φ和θ的函數。因此為了便于理解結構聲透射的物理過程,透射系數被定義為透射聲能與入射聲能的比值,具體如下式τ(φ,θ)=∞∑m=-∞∞∑n=-∞|Cmn|2Re(kz,mn)kz(25)因此,只要將上述過程確定的Cmn值代入式(25)中便可以得到聲波透射系數τ(φ,θ)。最后,透射損失可定義成ΤL=10lg(1τ(φ,θ))(26)為了便于分析正交加筋板的振動特性,定義單位面積上的均方振速為ˉV2=1lxly(∫lx0∫ly0ω2WW*2dxdy)(27)式中W*表示為正交加筋板橫向位移的復數共軛形式。將式(6)代入式(27)中可得下式ˉV2=ω2∞∑m=-∞∞∑n=-∞A2mn(28)最終,平均振動速度級(LV)可定義成LV=10lg(ˉVVref)(29)式中Vref為參考振速,取參考值1.0×10-5m/s。3正交加筋板聲透射板梁理論模型上述研究從理論角度給出了結構的聲透射計算公式,下面將具體討論正交加筋板聲透射板梁理論模型的收斂性及有效性問題。正交加筋板聲振系統計算所需參數如表1所示。3.1最高頻率的確定由于正交加筋板聲振方程的解最終被表示成有限項空間諧波級數之和的形式,故在計算中必須具有足夠的項數才能保證截斷結果的收斂性,保障計算精度的要求。由收斂性理論可知,一旦計算結果在某一給定頻率下收斂,則該結果對于低于該給定頻率的所有頻率都收斂。根據這一規律,在進行分析前需要首先確定為了使計算結果在所關心的最高頻率下收斂所需的最小項數。為了便于討論,本文分析的最高頻率取為5kHz。Lee和Kim指出,一旦前后相鄰兩次計算出來的結果之差的絕對值小于某一給定的容差(如0.01dB),則可認為結果已經收斂。由此,便可以得到計算低于5kHz時的透射損失所需最小項數。由于方程的解被截斷成有限項級數形式,同時本文板梁理論計算模型在x和y方向上具有對稱性,故在計算時可假設x和y上所取的項數一樣多,即m=-?k～?k,n=-?l～?l(其中?k=?l)。圖3給出了頻率為f=5kHz,入射角分別取φ=45°,θ=0°時,正交加筋板透射損失隨級數項數?k(=?l)的變化曲線。由圖3可知,當正交加筋板空間諧波級數解項數?k≥12(即m=-12～12,n=-12～12)時即可保證其解在f=5kHz時的收斂性。3.2單向加筋板結構聲透射損失曲線的比較由于正交加筋板聲透射問題的理論解析解研究較少,為驗證本文推導的正確性,本文采用正交加筋板聲透射的特殊情況進行驗證。作為特例,首先利用本文建立的板梁理論模型計算了無限大單向加筋板的透射損失;然后按照文獻給出的簡化模型計算了無限大單向加筋板的透射損失,同時按文獻給出的解析公式得到了無限大平板的透射損失,最后通過對比這兩種理論模型計算得到的透射損失的一致性來驗證本文正交加筋板聲透射板梁理論模型的有效性。為使兩對比模型保持一致,需先將正交加筋板縮減成單向加筋板,這里只保留y方向上的加強筋。計算時采用文獻的系統相關參數。單向加筋板幾何尺寸如下:h=0.00127m,ty=0.03m,hy=0.06m,lx=0.2m;頻率范圍為10Hz～100kHz。對比結果如圖4所示。比較由板梁理論模型計算得到的單向加筋板的透射損失和簡化模型的結果,可以看出當頻率低于f1(單向加筋板共振頻率)時,兩條曲線之間存在一定差異,但是與簡化模型的結果相比,板梁理論模型的計算結果的變化趨勢更加接近無限大平板TL曲線的變化趨勢;兩種理論模型計算單向加筋板透射損失的差異主要是因為文獻采用彈簧和扭簧的組合簡化模型來模擬加強筋的實際彎曲運動和扭轉運動時,彈簧的等效剛度遠大于加強筋彎曲運動的真實動剛度,因此,導致簡化模型的結果在結構的整體振動剛度控制區域內遠大于實際結構的透射損失。而當頻率超過f1以后,由兩種理論模型計算得到的單向加筋板的透射損失TL曲線完全一樣,且與無限大平板具有相同的變化趨勢;當頻率超過頻率fc(吻合頻率)以后,由兩種理論模型計算得到的兩條TL曲線和無限大平板基本一致。由于加強筋的作用是使位移分布增加了周期性分量,并不能改變其大體趨勢。因此,無限大單向加筋板透射損失曲線的變化趨勢應當和無限大平板一樣。由于本文在建立結構聲透射計算模型時,準確考慮了加強筋的彎曲運動和扭轉運動,及加強筋和平板之間的相互作用。因此,本文提出的板梁理論模型更接近實際情況,特別是在結構的整體振動剛度控制區域內更能揭示結構聲透射的物理本質。4參數對板聲特性的影響對于正交加筋板結構而言,人們往往關心聲波入射角(φ,θ)、加強筋慣性矩及間距等參數對正交加筋板聲振特性的影響。為此,本文利用已建立的板梁理論模型,分別討論了聲波入射角(φ,θ)、加強筋慣性矩及間距對正交加筋板聲振特性的影響。4.1tl曲線的繪制為了研究聲波入射角(φ,θ)對正交加筋板隔聲性能的影響,固定正交加筋板的其他尺寸,只改變角度φ。圖5給出了φ分別等于30°,45°和60°且θ=45°時,透射損失TL隨頻率變化的曲線。由結構的受迫振動可知,當聲波入射頻率等于正交加筋板的固有頻率時,就會引發結構共振,這樣必然導致結構的聲輻射能力大大增加,隔聲性能明顯下降,體現在TL曲線上就是隔聲波谷。由于結構的周期特性,因此正交加筋板的TL曲線就會出現如圖5所示的一系列隔聲波谷和波峰。從圖5可知,隨著入射角度φ的增大,第一個隔聲波谷以后的所有波谷和波峰的位置逐漸向低頻偏移,其中第二個隔聲波谷隨著φ的增大向低頻推移的更快一些,并逐漸追趕上接近了第一個波谷。隨著φ的不斷增加,透射損失TL曲線整體趨勢下降,透射能量有所增加,也就是說,入射角度小時其TL平均值要比入射角度大的大。這說明加筋平板對入射角度大的聲波的隔聲效果不如入射角小的好,即當聲波垂直入射時加筋平板的隔聲效果最好。4.2透射損失曲線假設x和y向加強筋尺寸相同,并保持其他參數都不變的情況下,圖6給出了不同加強筋慣性矩(即高寬比hx/tx=hy/ty=4/3,8/3和12/3)下的正交加筋板透射損失曲線。當加強筋的高寬比從4/3增加到8/3時,正交加筋板的隔聲性能明顯提高。這是由于加強筋的慣性矩增大使得正交加筋板的剛度增大,而在低頻段又是剛度控制域,所以隨著結構剛度的增加其隔聲效果提高會比較明顯。但是,隨著加強筋的高寬比繼續增加到12/3時,隔聲效果的提升就不顯著了。由此可知,增大加強筋慣性矩能夠明顯提高加筋板在低頻段的隔聲性能,但是一味地增加加強筋慣性并不能取得更好預期效果。因此,在實際應用中可以采用聲學優化設計得到使正交加筋板隔聲性能最好的加強筋的高寬比。4.3加強筋間距對動力特性的影響工程設計中,加強筋的作用是用于減輕結構重量同時增加結構的穩性和強度。因此,可以預料到改變加強筋的間距必將影響加筋平板的隔聲性能和振動特性。假設x和y方向上的間距相同(即lx=ly),圖7表示改變加強筋的間距,正交加筋板單位面積上的平均振動速度級(LV)隨頻率變化的曲線。隨著加強筋間距增加,LV曲線的波峰和波谷都向低頻移動,LV值在低頻段大大增加;而且明顯改善了正交加筋板的整體振動性能。這是由于增加加強筋間距會使正交加筋板的剛度降低,因此將導致結構固有頻率