海淀區教師進修學校附屬實驗學校課程建設成果學科：數學單元名稱：斐波那契數列課時數：3課時年級：高一年級設計者：張國宏、張偉、牛慧敏單元主題:神奇的斐波那契數列【單元學習名稱】數列【參與教師】張國宏、張偉、牛慧敏【所教科目】數學【所教年級】高一年級【單元大約所需時間】3課時【單元設計背景】在學校里，什么才是值得學習的知識？教師通過立足學科本質的理解，進行穿越學科邊界的設計，激發學生思考與課程內容有關的現實世界，鼓勵學生關注與課程內容相關的現實生活，進行更深入的思考和創造，實現為未知而學。數學的知識和現實各個領域常常奇妙而出乎意料地聯系在一起:比如斐波那契數列是從兔子問題中抽象出來的，如果它在其它方面沒有應用，它就不會有強大的生命力．發人深省的是，斐波那契數列確實在許多問題中出現，并不斷激發學習者的靈感和創造力。斐波那契數列，又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞歸的方法定義：，而在美術、建筑、生物、物理、化學等領域，斐波納契數列都有遷移應用。這就需要學習者以整體多元的跨學科進行學習。跨學科學習是一種整體化學習，將各個學科聯結起來，培養一種寬泛的理解——所學習的概念、思想觀點和思考模式都與學生和社會息息相關，為學習者提供一種考察情況和問題的全球化觀點，學生可以將其運用于各種有意義的情境之中,是課程一體化或者是課程綜合。我們的課程的培養目標是把學生培養成終身學習者和能夠靈活解決問題的人，在過去的課程中，學生的學習脫離社會生活和個人經驗，學科之間缺乏溝通，學科內部的知識之間缺乏聯系。知識之間、學科之間、教學與生活之間的這種相互隔離嚴重地影響了學生素質的和諧發展。為改變這種現狀，我們立足學科本質，實施穿越學科邊界的課程，實現目的明確、基于各個學科、整體化的跨學科學習。新的數學課程標準中明確指出：要讓學生在參與特定的數學活動，在具體情境中初步認識對象的特征，獲得一些體驗。數學是人類生活的工具；數學是人類用于交流的語言；數學能賦于人創造性；數學是一種人類文化等等。因此，新課程體系首先要求加強學科教學的綜合化。我們在進行斐波那契數列單元教學的過程中，基于關注學生學習體驗和發生，基于發現和創造性教育，積極開發穿越學科邊界的課程，旨在引導學生成為學習的主體，讓學生經歷和體驗知識的探索--發現--經歷的過程，形成積極的內在學習動機，深刻理解學科本質，培養較高學科核心素養，實現利用整體化知識去解決現實問題的能力提升。數學核心素養的培養也需要整體性跨學科學習。數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學運算、數據分析等。數學核心素養可以理解為學生學習數學應當達成的有特定意義的綜合性能力，核心素養不是指具體的知識與技能，也不是一般意義上的數學能力。核心素養基于數學知識技能，又高于具體的數學知識技能。核心素養反映數學本質與數學思想，是在數學學習過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性。數學核心素養與數學課程的目標和內容直接相關，對于理解數學學科本質，設計數學教學，以及開展數學評價等有著重要的意義和價值,凸顯了情感、態度、價值觀的重要，強調了人的反省思考及行動與學習。我們研究的主題是《立足學科本質，穿越學科邊界，以不同的方式認識世界----以神奇的斐波那契數列為例》，并試圖進行穿越越學科的教學設計和探究。《斐波那契數列》是人教B版《普通高中課程標準實驗教科書·數學·必修5》中以兔子問題引入的，是旨在學生在學習完數列（主要是等差數列和等比數列）后安排的數列的應用課。我們在單元設計中側重學生自主探索、合作交流的學習能力，培養學生學習數學的興趣，提高學習者解決問題的整體化多元化意識，引導學生做最親近現實世界的學習者。【單元學習目標】通過“觀察、發現、抽象”來認識數列次序產生美，體會斐波那契數列的廣泛應用。通過兔子問題抽象出斐波那契數列，了解數列的發展史和應用。探究斐波那契數列的遞推關系和性質，利用性質闡釋美術中黃金分割美的奧秘。在經歷感知、分析、抽象、歸納和應用的過程中培養學生的思維能力。能有意識用生物的光合作用效率等角度研究樹枝排列規律，從美術設計的角度體會數列的次序在繪圖中的作用，體會穿越數學學科體現應用價值，激發學習靈感和興趣，提升學生學科核心素養。【單元學習活動及評估】單元學習活動設計持續性評估設計意圖導入活動（挑戰性任務）單元學習大任務：（挑戰性學習任務）：根據斐波那契數列為學校校園開放日設計符合斐波那契數列的美麗logo。任務說明：斐波那契數列是以什么特性支撐“美”？次序支撐美麗在美學、建筑學、生物學等等都有廣泛的應用，請同學們做出細致的研究后設計出自己的產品。活動1：通過大家提前的研學和短視頻觀看，匯報并回答問題：這些現象中找出了什么規律？樹枝為什么按照斐波那契數進行排列？思維點撥：注意其中的數字產生的次序及其規律，并用寬泛多學科的知識思考其原因。活動2：鑒賞蘋果Logo的美學設計原理并討論完成問題：蘋果Logo的設計有其規律，把這些圓弧的半徑按次序排列在一起，有什么規律？為什么用斐波那契數來作為半徑設計？1.能夠積極領會任務，體會到綜合學科整體化學習的必要性；學生能夠展示在看視頻的驚訝和激動后發現數學問題；2.能夠通過鑒賞蘋果logo的設計活動了解美麗的設計往往有其獨特的設計原理。正是因為這些規律支撐了它的美麗。3.能夠用數學思維觀察、抽象、探究、發現花朵瓣數、樹枝等是斐波那契數。深度把握學生認知元認知，引導學生審美觀，通過感官刺激激發學生學習欲望，利用任務引領透過現象看本質。學生美的體驗，體驗其中的美，導入學習主題。探究活動（自主、探究、激發靈感、創新）活動3：探究數列次序規律問題1：兔子問題（學生自主研究）：設計兔子問題分組討論分享：假設一對初生兔子要一個月才到成熟期，而一對成熟兔子每月會生一對兔子，那么，由一對初生兔子開始，12個月后會有多少對兔子呢？問題2：你能用數學語言和公式表示出來斐波那契數列嗎？例1：有一段樓梯有10級臺階，規定每一步只能跨1級或2級，要登上10級臺階，有多少種走法？完成方式：獨立思考，自主完成。解：我們嘗試觀察樓梯級數不同時走法的規律假設樓梯有n級，則有時，有種走法；時，有種走法；時，有種走法；時，有種走法；時，有種走法；···類似的，我們能得到，那么數列是斐波那契數列。我們可知，當時，，所以有89種走法可以登上10級臺階。例2：觀察下列各式：…求的值問題3：你對斐波那契數列和斐波那契了解多少？教師點撥：講解斐波那契數列發展史和斐波那契本人生平，并鼓勵學生自己多查閱相關資料進行進一步了解學習。活動4:：探究數列性質問題1：:從哪些方面研究數列的性質呢？通項公式前n項和公式數列中的前n項和與項的關系數列中相鄰兩項的比的變換趨勢數列中項的平方和的變化規律數列中相鄰兩項的差的變化規律……問題2：探索斐波那契數列的前n項和與項的關系，用數學式子進行證明問題3：請你探究斐波那契數列中相鄰兩項的關系（1）后一項與前一項的差的變化有什么規律？（2）計算數列的每一項與前一項的比值，你發現了什么規律？---------0.618例3：已知數列的第一項是1，以后的各項由公式給出，寫出該數列的的前5項，探究的變化趨勢。解：數列的前5項是；；；；；不難發現前5項的分子分別是，，，，；分母分別是，，，，。由此，我們可以推想：數列的第n項的分子是，分母是，。則有---------0.618問題4：請你探究斐波那契數列各項的平方和的規律，并回答如何用圖形解釋性質，實現數形統一，并畫出圖形中蘊含的螺旋線。問題5：《蒙娜麗莎》這幅畫中用美術知識把線條抽取出來，解釋黃金分割比嗎？4.學生能夠根據兔子問題列表歸納出相應的規律；5.能夠通過合作探究、深度思考，并指向學科核心素養，發現數列的數學性質，并反復找到各種規律。6.能夠進一步明確和理解黃金分割比為0.618；7.通過前面的合作探究重復激發思維力，研究數列的其它性質。8.能夠獨立完成抽象出數列的遞推公式，并應用解決問題。9.能夠根據研究數列性質的一般方法遷移應用，解決斐波那契數列的性質。歸納斐波那契數列的規律，給出遞推公式，強調遞推公式的嚴謹性，并說明理解是給出數列的一種方法，提升學生數據分析能力，指向數學抽象的核心素養。斐波那契人物介紹，數學家即是商業家，說明數學不是孤立的，他聯系方方面面。了解斐波那契數列的發展史，體驗人類的思維認知規律，提升學生數學素養。通過及時的例題訓練學生的抽象建模能力，提升思維力。通過現象找出，再由規律找出它們的圖形，從數到行，從行到數，提升學習思維力。利用研究數列的通性通法研究斐波那契數列的性質。綜合展示活動（學以致用）完成單元任務，展示作品，并結合美術老師、數學老師的評價意見修改獲得學習成果。學過斐波那契數列后，你還有什么好的想法？1、用斐波那契數列次序美設計logo的評價標準：畫面美觀大方。在設計中能夠充分體現斐波那契數列的黃金分割比。體現你的穿越數學學科邊界的意識，有自己獨特的靈感和創造力。2、能有不局限于logo的其它符合這給數列的大膽猜想并積極付出行動實驗。讓學生成為整體化學習的主體，并在整體化學習中獲得多元的知識來解決了綜合問題。【綜合實踐活動1】1202年，意大利數學家斐波那契(LeonardoFibonacci)出版了他的《算盤全書(Liberabacci)》．在書中記載了一個有趣問題：如果一對兔子每月能生一對小兔(一雄一雌)，而每對小兔在它出生后的第三個月里，又能開始生一對小兔，假定在不發生死亡的情況下，由一對出生的小兔開始，分別寫出第1個月到10個月每月后會有多少對兔子？學習探究任務通過前10個月兔子對數你能發現什么規律？并用數學語言、公式描述出來；2、探究自然界中的斐波那契數:（要求實物或圖片并拍照用A4紙打印上交或制作ppt或短視頻也可）（1）自行找出至少2種花朵，例如蘭花、茉利花、百合花有個花瓣，毛茛屬的植物有個花瓣，翠雀屬植物有個花瓣，萬壽菊屬植物有個花瓣，紫菀屬植物有個花瓣,雛菊屬植物有個花瓣．（2）向日葵花盤內，種子是按對數螺線排列的，有順時針轉和逆時針轉的兩組對數螺線。兩組螺線的條數往往成相繼的兩個斐波那契數，你的發現一般是。3、探究斐波那契數列的幾個重要性質及簡單應用。（至少寫出2個以上性質，用A4紙書寫或打印上交，制作ppt或短視頻也可）【綜合實踐活動2：】閱讀材料：一名13歲兒童利用斐波那契數列制作了一棵太陽能樹，能源效率比普通光伏電池板高出20-50%。去年冬天AidanDwyer在樹林里玩耍，發現樹枝和樹葉的分布遵守一定規律。他想到了斐波那契數列，于是開始動手驗證自己的猜想。后來他把研究成果應用到太陽能領域，認為“根據特定方程式擺放太陽能電池可大大提高太陽能的效率”。這項研究讓Aidan獲得了一項美國專利，Aidan還被美國自然歷史博物館授予2011年度{年輕自然學家獎}。目前已經有人迫不及待地將他的發明進行商業化。開放性問題通過閱