2021年上海市楊浦區(qū)高考數(shù)學二模試卷

一.填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分。考生應

在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果

1.（4分）己知復數(shù)z滿足z=2-2.為虛數(shù)單位），則z^=.

2.（4分）已知函數(shù)/（x）=x^7二T的反函數(shù)為尸（x）,則廣|（3）=.

137

3.（4分）在行列式。=25-2中，元素3的代數(shù)余子式的值為.

124

4.（4分）在（x-夜）8的二項展開式中，f項的系數(shù)是.

X+1..0

5.（4分）已知x,y滿足＜y-2?0，則z=x-2y的最大值為.

x-y-^0

6.（4分）方程log5（4'—ll）—l=log5（2'—3）的解為x=.

7.（5分）已知一組數(shù)據(jù)a,3,-2,6的中位數(shù)為4,則其總體方差為一.

8.（5分）已知函數(shù)，（x）=g（%）+|2%-l|為奇函數(shù),若g（-l）=7,則g（1）=.

9.（5分）直線/：5+2口一丁+2〃-1=0（〃￡"）被圓。:（工一1）2+〉2=16所截得的弦長為4，

則lim.

10.（5分）非空集合A中所有元素乘積記為7（A）.已知集合加={1,4,5,7,8},從

集合用的所有非空子集中任選一個子集A,則T（A）為偶數(shù)的概率是—.（結(jié)果用最簡

分數(shù)表示）

11.（5分）函數(shù)/（x）=sin（3x）+Gcos（＜ax）3＞0）,若有且僅有一個實數(shù)滿足:①噴帆—；

2

②x=是函數(shù)圖象的對稱軸，則。的取值范圍是.

12.（5分）如圖，在棱長為2的正方體A8CZ5-A4GA中，點P是平面ACGA上一動點，

且滿足DF?。戶=0,則滿足條件的所有點尸所圍成的平面區(qū)域的面積是—.

D

二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在

答題紙的相應編號上，填上正確的答案，選對得5分，否則一律得零分.

13.（5分）若"？，i是虛數(shù)單位，則""=〃"是"（m-〃）+（,〃+〃"為純虛數(shù)”的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.（5分）已知數(shù)列｛”,｝是無窮等比數(shù)列，若4＜生＜。，則數(shù)列｛4｝的前"項和5,（）

A.無最大值，有最小值B.有最大值，有最小值

C.有最大值，無最小值D.無最大值，無最小值

ABADAC

15.（5分）在四邊形中AB=DC=(3,y/3),且滿足則

|函\AD\~\7Z\'I/1=(

）

A.2B.6C.GD.2也

16.（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域為值域為A,函數(shù)/（x）具有下列性質(zhì)：（1）若x,

yeD,則,⑴-A:（2）若x,yeD,則/'（x）+「（y）wA.下列結(jié)論正確的是（）

f（y）

①函數(shù)/（x）可能是奇函數(shù)；

②函數(shù)/（X）可能是周期函數(shù)；

③存在xe。，使得=

2020

④對任意xeD,者B有f（x）GA.

A.①③④B.②③④C.②④D.②③

三、解答題（本大題滿分76分）本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)

定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.（14分）如圖，棱柱ABC-A4G中，AB=BC=AA,=2,8q_1_底面筋。，ABLBCD

是棱4?的中點.

（1）求證：直線8c與直線￡>G為異面直線;

（2）求直線力￡與平面ABC所成角的大小.

18.（14分）己知f（x）=or+；—,（a為實常數(shù)）

x+\

（1）當。=1時，求不等式/（x）+/d）<x的解集；

x

（2）若函數(shù)f（x）在（0,內(nèi)））中有零點，求”的取值范圍.

19.（14分）如圖，A,B,C三地在以O為圓心的圓形區(qū)域邊界上，/W=30公里，AC=10

公里，ABAC=60°,。是圓形區(qū)域外一景點，NDBC=90。,ZDCB=60°.

（1）。、A相距多少公里？（精確到小數(shù)點后兩位）

（2）若一汽車從A處出發(fā)，以每小時50公里的速度沿公路45行駛到。處，需要多少小時？

（精確到小數(shù)點后兩位）

20.（16分）焦點為F的拋物線G：V=4x與圓Cz：（x-1尸+丁=16交于A,B兩點,其中

A點橫坐標為4，方程的曲線記為「，P是曲線「上一動點.

22

”［（x-1）+y=16,X>X4

（I）若P在拋物線上且滿足|尸尸|=3,求直線PF的斜率；

（2）T（肛0）是x軸上一定點.若動點P在「上滿足內(nèi),4的范圍內(nèi)運動時，|尸門,，|AT|恒

成立，求"?的取值范圍;

（3）。是曲線「上另一動點，且滿足尸PJ_FQ,若APFQ的面積為4,求線段P。的長.

21.（18分）已知無窮數(shù)列｛如｝與無窮數(shù)列｛兒｝滿足下列條件:①的C｛0,1,2｝,rtGN*；②

b

上!_=（-I）"?|lz/?-Xz?+i|,n6N*.記數(shù)列仍"｝的前〃項積為心.

L24

（1）若。1=歷=1,〃2=0,43=2,。4=1,求n；

（2）是否存在。1,。2,。3,。4,使得歷，歷，加，〃4成等差數(shù)列？若存在，請寫出一組

41,。2,。3,。4；若不存在，請說明理由；

（3）若=求炎021的最大值.

2021年上海市楊浦區(qū)高考數(shù)學二模試卷

參考答案與試題解析

填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分。考生應

在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果

1.(4分)已知復數(shù)z滿足z=2-i(i為虛數(shù)單位)，則zN=5.

(解答］解：因為z=2—i,所以三=2+i,

所以z?Z=(2-i)(2+i)=4+l=5,

故答案為：5.

2.(4分)已知函數(shù)/(x)=x^7=T的反函數(shù)為尸(x),則/?(3)=5.

【解答】解：令于(x)=JHi=3,解得x=5,

故尸(3)=5.

故答案為：5.

137

3.(4分)在行列式。=25-2中，元素3的代數(shù)余子式的值為_-10

24

137

【解答】解：在行列式。=25-2中，元素3的代數(shù)余子式的值為:

124

(-1)I+2[2X4-(-2)X1]=-10,

故答案為：-10.

4.(4分)在(x-0)8的二項展開式中，4項的系數(shù)是56

【解答】解：由己知可得展開式中含f的項為：

C；x6?(-夜尸=2x28x6=56x6,

所以展開式中x6項的系數(shù)為56,

故答案為：56.

X4-1..0

5.(4分)已知x,y滿足,y-2?0，則z=x-2y的最大值為9

x-y-4?0

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖,

由z=x-2y,得y=；-由圖可知，當直線y=過A時，直線在y軸上的截距最小,

z有最大值為9.

故答案為：9.

6.(4分)方程log<(4‘-11)-1=107(2--3)的解為x=2.

【解答】解：???1嗚W-11)-1=log5(2,-3),

4x-11>0

■2J-3>0，

解得x=2.

故答案為：2.

7.(5分)已知一組數(shù)據(jù)a,3,-2,6的中位數(shù)為4,則其總體方差為-

-2

【解答】解：因為數(shù)據(jù)”，3,-2,6的中位數(shù)為4,

所以生0=4,故。=5,

2

所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為%(-2+3+5+6)=3,

11Q

故方差為^、[(一2-3)2+(3-3尸+(5—3)2+(6-3用=].

故答案為：

2

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=g(%)+|2%-l|為奇函數(shù),若g(-1)=7,則g(1)=_-11

【解答】解：根據(jù)題意,函數(shù)/(x)=g(x)+|2x-1|,

則/(1)=g(1)+1,f(-l)=g(-l)+3,

又由函數(shù)/(x)=g(x)+|2x-l|為奇函數(shù)，則/(-1)+/(1)=g(1)+g(-l)+4=0,

則g(1)=-11,

故答案為：T1.

9.(5分)直線/:("+2)x-y+2〃-l=0(〃eN*)被圓C:(x-l)2+y2=16所截得的弦長為d“，

則Iimd“=_2j7_.

【解答】解：圓C:(x-l>+y2=i6的圓心(1,0),半徑為4,

由點到直線的距離公式可得

9+

|〃+2+2〃-11

4=2.16-(16--

45

+2)~+11+

一n+Tn

?2

limdn=lim216----=2,6-9=2幣.

//-?+ooM-?+x>4.45

I>+-+—

Inn'

故答案為：2".

10.(5分)非空集合A中所有元素乘積記為7(A).已知集合知={1,4,5,7,8},從

集合M的所有非空子集中任選一個子集4,則T(A)為偶數(shù)的概率是—.(結(jié)果用

一3L

最簡分數(shù)表示)

【解答】解：因為集合用={1,4,5,1,8),

所以集合M的所有非空子集共有丁-1=31種，

若T(A)為奇數(shù)，則A中元素全部為奇數(shù)，

又{1,3,5}的非空子集個數(shù)，共有23-1=7種，

所以T(A)為偶數(shù)的共有31-7=24種，

故T(A)為偶數(shù)的概率是空.

31

故答案為：—.

31

11.(5分)函數(shù)/。)=$皿8)+。￡；(?(5)3>0),若有且僅有一個實數(shù)加滿足:①噴版—；

2

②X=〃2是函數(shù)圖象的對稱軸，則出的取值范圍是［1,-）.

-3—3

【解答】解：〈函數(shù)/（x）=sin（69x）+V3COS（（VX）（（V>0）=2sin（d>x+y）,

若有且僅有一個實數(shù)〃2滿足：①噫%-；②工二帆是函數(shù)圖象的對稱軸，

2

故函數(shù)的圖象的對稱軸只有一條在［0,-］±,

2

co-m+—=k/r+—^EPx=（krc+-）?—>kwZ,

3260

令人=0,可得函數(shù)的圖象的對稱軸方程元=二，

6（0

7C4口兀12〃"TC

——,，一，且——+----->—，

6a）2602G2

求得a）<-,

33

故答案為：［；,1）.

12.（5分）如圖，在棱長為2的正方體AB8-ABC〃中，點尸是平面ACGA上一動點,

且滿足麻?濟=0,則滿足條件的所有點尸所圍成的平面區(qū)域的面積是工.

一2一

【解答】解：因為印?麗=0,

所以RPLCP,

故尸在以CR為直徑的球面上，且P在平面ACGA上，

則「在面ACG4截球所得的圓上，設該圓半徑r,且正方體棱長為2,

則CL>=20,球半徑R」C￡>=0,

2

連接耳R,則4R_LAG，1A4,>

所以8a，平面ACGA，

所以R到平面ACGA的距離4=g尸血，

因為。為CR中點，

所以o到平面ACGA的距離d=L4=*，

所以圓半徑r=-屋=J|,

圓面積S=7tr~=—.

2

故答案為：—.

2

二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在

答題紙的相應編號上，填上正確的答案，選對得5分，否則一律得零分.

13.(5分)若"1,"wR,i是虛數(shù)單位，則""?=""是為純虛數(shù)”的(

)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：復數(shù)z=/n-〃+(〃?+"),,為純虛數(shù)，可得"°’解得《?=〃<().

[in+〃*0

um=nn是“復數(shù)z=m-n+(,"+〃)i為純虛數(shù)”的必要不充分條件.

故選：B.

14.(5分)已知數(shù)列是無窮等比數(shù)列，若4</<0,則數(shù)列｛4｝的前〃項和5,,()

A.無最大值，有最小值B.有最大值，有最小值

C.有最大值，無最小值D.無最大值，無最小值

【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列｛q｝是無窮等比數(shù)列，若4<生<0,

則其公比4=會>0,數(shù)列｛0“｝所有項為負，

q

則有的=Sz-S1<0,BPWst>s2,

同理可得S|>S2>>s?>,

故數(shù)列｛a?｝的前n項和S?有最大值，無最小值，

故選：C.

15.(5分)在四邊形A8CD中，瓶=反=(3,6),且滿足第■+生~=MlAC|=(

\AB\\AD\\AC\

)

A.2B.6C.gD.2+

【解答】解一.緇+尚二篇,

，AC為NSW的角平分線,

?.?A豆=￡>C,.?.四邊形A8CD是平行四邊形，

四邊形ABC。是菱形，

.\ZBAC=ZBCA,|A8|=,9+3=26,

故選：D.

16.(5分)已知函數(shù)/(x)的定義域為。，值域為4,函數(shù)/(x)具有下列性質(zhì)：(1)若x,

yeD,則(2)若x,y&D,則/(x)+/(y)eA.下列結(jié)論正確的是()

f(y)

①函數(shù)/(X)可能是奇函數(shù)；

②函數(shù)“X)可能是周期函數(shù)；

③存在xw。，使得八幻=圓4；

2020

④對任意xwD,都有r(x)eA.

A.①③④B.②③④C.②④D.②③

【解答】解：①中，若.f(x)為奇函數(shù)，則由性質(zhì)(1)得，/(x)HO,所以當y=—x時，

f(x)+f(y)=f(x)+/(-x)=0￡A，性質(zhì)(1)(2)矛盾,①錯誤;

若/(x)為周期函數(shù)，則，(x)=/(x+T),T為周期，當Ae(fo,0)0(0,+oo)時，性質(zhì)

(1)(2)均成立，結(jié)論②正確；

由上述分析可知，當Ae(T?,0)O(0,*?)時/(x)的值域為A,所以一定存在與使得

/(x)=—,結(jié)論③正確；

02020

由性質(zhì)(2)可得當y=x時，/(x)+/()，)=2f(x)eA,故A為無窮集合，故/(x)€A,結(jié)

論④正確.

故選：B.

三、解答題(本大題滿分76分)本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)

定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.（14分）如圖，棱柱ABC-A4G中，AB=BC=AA,=2,8與，底面ABC,ABLBCD

是棱越的中點.

（1）求證：直線BC與直線。G為異面直線:

（2）求直線OG與平面ABC所成角的大小.

【解答】（1）證明：假設直線與直線0G共面，（2分）

,點B,C,平面ABC,

而過直線8c和直線BC外一點￡）有且只有一個平面，（2分）

：.C,e平面ABC,矛盾！（1分）

假設不成立故直線8c與直線QG為異面直線.（1分）

（2）解：如圖，以3為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，（1分）

則8（0,0,0）,C（2,0,0）,A（。，2,2）,BC=（2,0,0）,&<=（0,2,2）,（2分）

設平面ABC的一個法向量亢=（"，%卬），

2u=0

則，取為=（0」,一1）,（2分）

2v+2w=0

D（0,1,0）,G（2,0,2）,西=（2,-1,2）,（1分）

設直線DC,與平面A.BC所成角所成角為e,

\DC[-n\3V2

則sin0=，（1分）

|西H另I一亞F

所以6=45。.（1分）

18.(14分)已知/(x)=or+—>一,(a為實常數(shù))

x+1

(1)當a=l時，求不等式/'(x)+/d)<x的解集;

X

(2)若函數(shù)f(x)在(0,+oo)中有零點，求。的取值范圍.

【解答】解：(1)當a=l時，不等式/■(x)+/d)=x+1+l<x,化簡可得四<o,

XXX

所以x(x+l)<0,解得一1cx<0,

所以不等式的解集為(-1,0);

(2)因為函數(shù)/(X)在(0,”)中有零點,

2

所以ar+——=0，XG(0,+OO)有解，

x+\

X1

則a=一一---=-----(x>0),

r+1x+,1—

X

因為x+2的取值范圍是［2,+00),

X

故。的取值范圍是

19.(14分)如圖，A,B,C三地在以O為圓心的圓形區(qū)域邊界上，回=30公里，AC=10

公里，NB4c=60。，。是圓形區(qū)域外一景點，ZDBC=90°,ZDCB=60°.

(1)O、A相距多少公里？(精確到小數(shù)點后兩位)

(2)若一汽車從A處出發(fā)，以每小時50公里的速度沿公路45行駛到。處,需要多少小時？

(精確到小數(shù)點后兩位)

D

【解答】解：（1）在A4BC中，由余弦定理可得,

BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosZCAB=302+102-2-30-10-cos60°=700,

BC=T0出，

1BC=七四=匹。15.28（公里）.

貝!IOA=—X

2sinZBAC2sin6003

答：O、A相距約15.28公里;

(2)在RlACBD中，B￡>=BCtan60o=10^xV3=10V21.

ACBC

在AABC中，--------

sinZABCsinZBCA

日n1010a..―回

即--------=------，..sinNA8C=------,

sinZABCsin60014

cosNABD=cos(NABC+1o=_sinN48C=-吟，

AD2=AB2+BD2-2AB-BDCOSNABD=302+(10e>-2x30x100x(--—)=3900.

AD=\0yf39（公里）.

所需時間為U晅=叵。1.25小時.

505

答：從A行駛到。約需要1.25小時.

D

B

20.(16分)焦點為尸的拋物線6：y2=4x與圓。2：。-1)2+丁=16交于A,B兩點，其中

A點橫坐標為4，方程的曲線記為「，P是曲線「上一動點.

2

[(X-1)+/=16,X>XA

(1)若尸在拋物線上且滿足|PF|=3,求直線PF的斜率；

(2)T(m,0)是x軸上一定點.若動點P在「上滿足％,X,的范圍內(nèi)運動時，|PT|,,|AT|恒

成立，求機的取值范圍；

(3)。是曲線「上另一動點，且滿足若APFQ的面積為4,求線段P。的長.

【解答】解：(1)P是拋物線V=4x上滿足|P用=3的點,

過點P作7W，/于N,

由拋物線的定義可知，|Pf|=|PN|,

設尸(*,y),則*+1=3,解得才=2,

又因為點P在拋物線上，

所以y'2=8,得y'=±2>/2,

所以直線PF的斜率為無=絲也=±2&.

2-1

(2)設P(X],y),

由卜+得[=3

[y=4》[y=+3V3

所以A(3,26)，8(3,-26),x“=3,

由|PT|,,|AT|,得(%-%)2+4,,(3-附2+12,

2

HPx；-2mxi+m+4%”21-6m+m

因為X],,xA=3，

匚X2-211,、,12、

所以小，------=—（1一3+6-----）,

2x-62x-3

117

令/（X）=_（X—3+6-----）,則是增函數(shù)，且0,,x<3,

2x—3

2

當x=0時，r-21取得最小值7,，

2x-62

所以人工，

2

即|PT|?|AT|恒成立的范圍是（-00,夕.

（3）點P,。都是「上的動點，

①當尸，。都在圓弧上時,

\FQ\^FP\=4,PFLQF,

所以SAPF2=；X4X4=8,

不滿足SAWV=4的條件.

②當P在拋物線上，。在圓上,

由SM?FQ=4,得|尸尸|=2,

在RtAPFQ中，|PF『+|pQ|2=22+不=20,

③當P,Q都在拋物線上,

設P（X］，,），。（々，%），

所以|P尸|=%+1,尸|=匹+1,

因為尸p_LFQ,

所以=-1,即$_.4=7

-1%,-1

所以，X*2一=-1

（f

所以>汶-4（y；+￡）+16%必+16=0，①

因為APFQ的面積為4,

所以]PF||QF|=4,

所以（玉+1）（受+1）=8,

所以千天+(x,+x2)-7=0,

所以K■.支+(田+五)-7=0,

4444

所以>汶+4()；+￡)_112=0②,

①+②得，2y；y；+16y%-96=0,

所以+8乂必-48=0,

令/=b%>

則戶+8-48=0,

解得f=-12或f=4,

即乂%=T2或=4,

X%=T2乂必=4

代入②得（舍）或22

城+必2=-8M+力=24

若%必=4>0，則/，X同號，且丫產(chǎn)％，

由②可知-2傷丸26,-26覿2A/3,

所以+<24矛盾,

=4

所以…（舍），

城+

綜上所述，\PQ\=275.

21.（18分）已知無窮數(shù)列（的｝與無窮數(shù)列｛鳳｝滿足下列條件：①a.e｛0,1,2｝,n€N*;②

b

上L=（-1）"?|X,?-X7?+1|,n￡N*.記數(shù)列｛加｝的前〃項積為T".

124

（1）若41="=1,42=0,673=2,44=1,求方；

（2）是否存在。2,。3,。4,使得加，歷，加，區(qū)成等差數(shù)列？若存在，請寫出一組

a\,ai,。3,。4；若不存在，請說明理由；

（3）若bi=l,求T2021的最大值.

b,

【解答】解：(1)由上=-I11I[得]

b=-

bl2

由——=I—a?--aao1I>bn=~—>

b212a2232%4

由導一百a3—a/T得，b,喉

?,?T4=b1-b2-b3-b4=y|g5

(2)不存在.假設存在，設從，bl,b3,從公差為d,

若4>0,則用<0,〃3<0,h4>0,公差d=〃2-〃i<0,d=b4-b3>0,矛盾;

若bi<0,則歷>0,加>0,b4<0,公差d=b2-bi>0,d=h4-hi<0,矛盾,

假設不成立，故不存在;

(3)由題意，加=1>0,且/?4h3>0，b4k-2Vo,b4kl<0,b4k>0,

設%=18丁5/11知P11，'|bJ1=qn,得LfI編，

進一步得到|為+2|=如?他+1?|加|,

顯然WW+1的值從大到小依次為1,3,A1....

'5’‘

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ah⑵0)

qn=lan1tH

(z)若q/jqn+l=l,則,n,則,