第22節矩形、菱形、正方形1．(2021·河南)關于菱形的性質，以下說法不正確的是(B)A．四條邊相等B．對角線相等C．對角線互相垂直D．是軸對稱圖形2．(2021·瀘州)下列命題是真命題的是(B)A．對角線相等的四邊形是平行四邊形B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C．對角線互相垂直的四邊形是菱形D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形3．(2021·柳州)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC＝8，BD＝10，則△AOD的面積為(B)A．9B．10C．11D．12eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))4．(2021·陜西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，連接AC，BD，則eq\f(AC,BD)的值為(D)A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),3)5．(2020·懷化)在矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，若△AOB的面積為2，則矩形ABCD的面積為(C)A．4B．6C．8D．10eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))6．(2021·煙臺)如圖，在直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點B的坐標為(－1，0)，∠BCD＝120°，則點D的坐標為(D)A．(2，2)B．(eq\r(3)，2)C．(3，eq\r(3))D．(2，eq\r(3))7．(2020·煙臺)如圖，在矩形ABCD中，點E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處．若AB＝3，BC＝5，則tan∠DAE的值為(D)A．eq\f(1,2)B．eq\f(9,20)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,3)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))8．(2021·黑龍江)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件∠ABC＝90°(答案不唯一)，使平行四邊形ABCD是矩形．9．(2021·長沙)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E是邊AB的中點，若OE＝6，則BC的長為12．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10題圖))10．(2021·十堰)如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點．若AB＝5，AD＝12，則四邊形ABOM的周長為20．11．(2021·益陽)如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝6，∠DBC＝30°，求AC的長．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AC＝BD，∠BCD＝90°，又∵∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝2×6＝12，∴AC＝1212．(2021·菏澤)如圖，在菱形ABCD中，點M，N分別在AB，CB上，且∠ADM＝∠CDN，求證：BM＝BN.證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C.在△AMD和△CND中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,AD＝CD，,∠ADM＝∠CDN，))∴△AMD≌△CND(ASA).∴AM＝CN，∴AB－AM＝BC－CN，即BM＝BN13．(2021·恩施州)如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且DE∥AC，AE∥BD，連接OE.求證：OE⊥AD.證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴OA＝OD.∵DE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AODE為平行四邊形．∵OA＝OD，∴平行四邊形AODE為菱形，∴OE⊥AD14．(2021·海南)如圖，在菱形ABCD中，點E，F分別是邊BC，CD的中點，連接AE，AF，EF.若菱形ABCD的面積為8，則△AEF的面積為(B)A．2B．3C．4D．5【點撥】連接AC，BD交于點O，AC交EF于點G，根據菱形性質可得菱形面積公式，然后根據三角形中位線定理得EF與BD關系，最后根據三角形面積公式代入計算可得答案．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15題圖))15．(2021·泰州)如圖，P為AB上任意一點，分別以AP，PB為邊在AB同側作正方形APCD，正方形PBEF，設∠CBE＝α，則∠AFP為(B)A．2αB．90°－αC．45°＋αD．90°－eq\f(1,2)α【點撥】根據正方形的性質先表示出∠PBC的度數，然后利用“SAS”證明△APF≌△CPB，證得∠AFP＝∠PBC即可求得答案．16．(2021·貴港)如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB＝eq\f(1,2)，則tan∠DEC的值是eq\f(2,3)．【點撥】過點C作CF⊥BD于點F，設CD＝a，易證△ABE≌△CDF(AAS)，從而可求出AE＝CF＝eq\f(2,5)eq\r(5)a，BE＝FD＝eq\f(1,5)eq\r(5)a，然后根據銳角三角函數的定義即可求出答案．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第16題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第17題圖))17．(2021·銅仁)如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點A順時針旋轉30°到正方形AB1C1D1的位置，則陰影部分的面積是2－eq\f(2\r(3),3)．【點撥】連接AE，根據旋轉的性質推出Rt△AB1E≌Rt△ADE，再由含30度角的直角三角形性質得出DE＝eq\f(\r(3),3)，最后由圖可以得出S陰影部分＝2(S正方形ABCD－S四邊形ADEB1)，將相關數值代入求解即可．18．(2021·連云港)如圖，點C是BE的中點，四邊形ABCD是平行四邊形．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)如果AB＝AE，求證：四邊形ACED是矩形．證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD＝BC.∵點C是BE的中點，∴BC＝CE，∴AD＝CE，∵AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，∵AB＝AE，∴DC＝AE，∴四邊形ACED是矩形19．(2021·十堰)如圖，已知△ABC中，D是AC的中點，過點D作DE⊥AC交BC于點E，過點A作AF∥BC交直線DE于點F，連接AE，CF.(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的長.解：(1)在△ABC中，點D是AC的中點，∴AD＝DC，∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，∴△AFD≌△CED(AAS)，∴AF＝EC，∴四邊形AECF是平行四邊形，又EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形(2)過點A作AG⊥BC于點G，由(1)知四邊形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，∵AF∥EC，∴∠AEB＝∠FAE＝60°，∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠AGE＝90°，∴∠GAE＝30°，∴GE＝eq\f(1,2)AE＝1，AG＝eq\r(3)GE＝eq\r(3)，∵∠B＝45°，∴∠GAB＝∠B＝45°，∴BG＝AG＝eq\r(3)，∴AB＝eq\r(2)BG＝eq\r(6)20．(2021·荊門)如圖，點E是正方形ABCD的邊BC上的動點，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH.(1)求證：BE＝CH；(2)若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的長．解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC，∵FH⊥BH，∴∠H＝90°＝∠B，∠F＝90°－∠FEH，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＝90°－∠FEH，∴∠AEB＝∠F，在△ABE和△EHF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠H，,∠AEB＝∠F，,AE＝EF，))∴△ABE≌△EHF(AAS)，∴EH＝AB＝BC，BE＝FH，∴EH－EC＝BC－EC，即CH＝BE