基于函數pdix表示的多維空間故障樹概率空間研究

0基于多因素影響下的故障概率認定目前，故障樹分析（ta）是系統安全評估的最佳方法之一，在化工、航空、電子等領域得到廣泛應用。多年來,國內外學者在眾多方面對事故樹進行了工程應用和改進,張小平等研究過故障樹分析在排樁基坑工程安全評價中的應用;吳學彬做了HAZOP故障樹綜合安全評價模型研究;牛世杰對建筑施工現場危險因素關聯故障樹與綜合安全評價體系進行了研究;邢冀做了復雜故障樹定性與定量分析算法研究。目前有人將模糊數學與故障樹相結合來處理系統的可靠性,得到了良好的效果,但是對基本事件的影響因素考慮過于單一。實際上,就系統中基本事件發生概率而言,其影響因素是多樣的。如電氣系統中的二極管,它的故障概率就與工作時間、工作溫度、通過電流及電壓等有直接關系。如果對這個系統進行分析,各個元件的工作時間和工作適應的溫度等可能都不一樣,隨著系統整體的工作時間和環境溫度的改變,系統的故障概率也是不同的。針對上述問題,筆者將經典故障樹擴展為多維空間故障樹,基本事件的發生概率在單一影響因素下定義為發生概率的特征函數;基本事件在多因素影響下的發生概率定義為發生概率空間分布;頂上事件的發生概率改為頂上事件發生概率空間分布;相應的概率重要度和關鍵重要度改為概率重要度空間分布和關鍵重要度空間分布。同時定義多維故障樹特有的對某一因素影響的頂上事件發生概率的空間分布趨勢(對某因素求導)。并將結合簡單的電氣系統對上述概念進行說明,并建立以時間和溫度為影響因素,系統故障概率為函數值的三維故障樹空間,從而將典型故障樹轉化為三維空間曲面通過數學方式研究。1基本事件發生概率的影響因素、重要度空間分布和頂設計方法為更好地對相關概念進行描述及構造論述,這里就簡單的電氣系統進行分析,該系統由二極管組成,二極管的額定工作狀態受很多因素影響,其中主要的是工作時間t和工作溫度c。筆者將由這2個因素影響的電氣系統作為研究對象。其經典事故樹如圖1所示。多維事故樹是由經典事故樹發展而來的,下列定義是在經典事故樹相關概念的基礎上提出的。1)多維事故樹:基本事件的發生概率不是固定的,是由n個因素決定的,這樣的事故樹稱為多維事故樹,用T表示。事故樹化簡得T=X1X2X3+X1X4+X3X5。2)基本事件的影響因素:使基本事件發生概率產生變化的因素。3)基本事件發生概率的特征函數(簡稱“特征函數”):基本事件在單一因素影響下,隨影響因素的變化表現出來的發生概率變化特征的表示函數。可以是初等函數,分段函數等,用Pid(x)表示,i表示第i個元件,d∈{t,c}表示影響因素。如該例第i個原件的時間特征函數Pit(t)=1-exp(-λt),溫度特征函數,其中,λ為單元故障率,A為溫度變化范圍。4)基本事件的發生概率空間分布:基本事件在n個影響因素影響下,隨他們的變化在多維空間內表現出來的發生概率的變化。n個影響因素作為相互獨立的自變量,基本事件發生概率作為函數值。用Pi(x1,x2,…,xn)表示,即,其中,n為影響因素個數,此例中為Pi(t,c)=1-(1-Pti(t))(1-Pci(c))。5)頂上事件發生概率空間分布:經過事故樹結構化簡后得到的頂上事件發生概率的表達式,在n維影響因素變化的情況下,在n+1維空間中表現出來的空間分布。用PT(x1,x2,…,xn)表示,此例為PT(t,c)=P1P2P3+P1P4+P3P5-P1P2P3P4-P1P3P4P5-P1P2P3P5+P1P2P3P4P5。6)概率重要度空間分布:第i個基本事件發生概率的變化引起頂上事件發生概率變化的程度,在n維影響因素變化的情況下,在n+1維空間中表現出來的空間分布。用表示,如該例的第1個元件的概率重要度空間分布為:7)關鍵重要度空間分布:第i個基本事件發生8)頂上事件發生概率空間分布趨勢:就頂上事件發生概率空間分布PT(x1,x2,…xn)對某一影響因素d求導后得到的針對d的n+1維的空間分布。用,如該例對頂上事件發生概率空間分布的時間趨勢為。2概率的空間分布2.1pitt,c的研究范圍和概率空間分布系統中的5個基本事件(X1~5)的發生概率(由于在電氣系統中的基本事件發生概率即是元件的故障概率,所以下文使用元件的故障概率表述,其他概念同),都是受到t和c的影響,即元件的故障概率Pi(t,c)是t和c作為自變量的函數。當t和c等2方面之一達到能夠引起故障的范圍時原件即故障,根據邏輯“或”的概念Pi(t,c)如式(1)所示。要確定Pi(t,c),首先要確定Pit(t)和Pic(c)。設系統中單個元件故障后不可修,系統故障的可修性是通過更換元件實現的。那么Pit(t)可以認為是不可修系統的單元故障概率,并設故障概率達到0.9999時更換元件,如式(2)所示。對于Pic(c),電氣元件的正常工作一般都要有適合的工作溫度范圍,高于該溫度范圍和低于該溫度范圍元件都要發生故障,將該規律近似為變形的余弦曲線,如式(3)所示。注:相關參數見第一節定義。按照實際情況,不同類型的元件有著不同的使用時間t和使用的溫度c的范圍,假設了他們的使用范圍,并根據式(2)和式(3)計算得到Pit(t)和Pic(c)在該范圍內的具體函數關系見表1。從表1可以看出,Pit(t)和Pic(c)在他們各自研究范圍內不是連續的,是分段函數。其研究范圍的分段函數表示見表2。由表2和式(1)可構造出系統元件X1~5的故障概率空間分布(基本事件發生概率空間分布),圖2為X1和X3分布圖。圖2中,故障概率空間分布是不一樣的,這是由于其t和c的影響造成的。故障概率空間分布圖中有2個或3個區域的故障概率明顯降低,是由于更換新元件造成的。2.2結構故障概率函數由圖1系統故障樹化簡得,式(4)如下:由經典故障樹理論得到系統故障(頂上事件)發生概率,如式(5)所示:由式(5)可知,PT(t,c)是反映結構故障樹的電氣系統故障概率的函數,該函數由P1~5(t,c)決定,又由式(1),可知PT(t,c)是由Pt1~5(t)和Pc1~5(c),即PT(t,c)是由t和c的函數,由PT(t,c)、t和c構成的三維概率空間分布如圖3所示。從圖3中看出,在整個研究區域的大部分的系統故障率都是100%,這顯然是不能接受的,究其原因,因為研究區域比X1~5元件的適應工作區域大得多,導致疊加后整個系統適應工作區域較單個元件進一步減小。3重要空間的分布3.1x的概率重要度根據定義第i元件故障發生概率變化引起的電器系統發生故障概率的變化程度,在t和c因素的影響下構成概率重要度空間分布,它是分析元件與系統變化關系的重要參考之一。根據定義對于元件的概率重要度空間分布如式(6)所示。就X1的概率重要度空間分布如下(其他不列出):分別將Ig(1)到Ig(5)和t、c構成三維空間,形成概率重要度空間分布。圖4為X1的分布圖。根據圖4的概率重要度分布,這里研究在整個范圍內的X1~5的概率重要度排序。顯然概率重要度的大小決定了其排序,但在整個研究區域內的重要度排序并不是一致的,如圖5所示。圖5中右側的1,2,3,4,5對應的顏色分別表示X1,X2,X3,X4,X5在某個區域內處于最大概率重要度的分布。所以對于整個研究區域,采取對曲面進行積分的方法,即計算概率重要度分布曲面與概率重要度為0的曲面,在20~30°C,0~100天的范圍內的體積,得到的概率重要度X1=224.2744,X2=8.3744,X3=174.4662,X4=120.7763,X5=94.8089,其排序為X1>X3>X4>X5>X2。這個結果與圖5的結果不完全一致,是由于概率重要度的大小不是按照占有的區域多少決定的,而是由積分高度和區域形成的體積大小決定的。3.2關鍵重要度空間分布根據定義對于元件的關鍵重要度空間分布如式(7)所示。對于X1的關鍵重要度空間分布如下(其他不列出):分別將Icg(1)到Icg(5)和t,c構成三維空間,形成關鍵重要度空間分布。圖6所示為X1的分布。同樣整個研究區域內的關鍵重要度排序也不是一致的。根據3.1節概率重要度分布計算方法,計算得X1=228.3626,X2=8.7888,X3=182.2204,X4=121.2681,X5=94.7605,計算出的值與上節的值差別很小,排序順序與上節相同X1>X3>X4>X5>X2。4時間t和溫度c的變化對于該研究對象,電氣元件系統的元件故障概率是t和c的函數,所以整個電氣系統的故障發生概率也是t和c的函數。系統故障概率的三維空間曲面,在整個研究域內是連續的,局部可導。因為在整個研究區域內X1~5對時間t和溫度c的表達式是連續的分段的,對于時間t的分段點為:0,35,45,50,60,70,90,100天;對于溫度c的分段點為:0,5,10,40,45,50℃,所以對整個曲面采取先分割后組合的方式進行研究,將整個區域劃分為35個子區域,如圖7所示。不同區域的函數解析式參見表2。子區域內曲面對c和t變量都可導,子區域之間的鏈接“縫”連續不可導,這個“縫”通過前后2個節點的自變量和函數值通過導數定義求導。這樣將三維空間曲面對時間t和溫度c求導,可以直觀的表現出系統故障發生概率隨時間和溫度變化的程度,從而防止如溫度或時間變化很小,卻造成較大故障發生概率變化的情況。系統故障發生概率空間分布對t和c趨勢如圖8所示。5系統故障概率空間分布將經典故障樹擴展到多維空間故障樹,對相關的概念進行了定義,并將其轉化為空間曲面問題,以便于使用數學方法對系統故障特征進行研究。主要得到的結論如下:1)理論方面基于經典故障樹理論定義了多維空間故障樹,并建立了在多因素影響情況下單一事件發生概率的空間分布和頂上事件發生概率的空間分布。文中通過對某電氣系統的研究得到了,在主要因素工作時間t和工作溫度c影響下,將元件受單一因素影響的故障率表示成函數,進而通過疊加構造了元件在多因素影響下的故障概率空間分布和系統故障概率空間分布,為進一步的實際應用和利用數學方法進行研究提供基礎。2)將經典故障樹擴展成多維空間故障樹,進而表示為空間曲面,從而運用數學方法對該