數學聽課心得首先對鄭亞芳、蔣聰兩位教師上的“植樹問題”同課異構課堂教學的具體點評：

一、課堂實錄：

師：同學們，在我們的身邊到處有數學。請你們伸出一只手張開手指，仔細觀察，你看到了什么？生：5個手指，4個空。師：4個“間隔”，5個手指之間有4個間隔，那4個手指之間有幾個間隔？3個手指之間呢？（請生在自己的手上指一指）

師：2個手指之間呢？（全班一起找）通過剛才我們找手指數和間隔數，你發現了什么？誰來說說。生：手指數比間隔數多1或間隔數比手指少1.師：你們真聰明！發現了手指數與間隔數之間的關系，像這類問題其實就是——植樹問題（揭示課題）。今天這節課我們就一起來研究植樹問題。師：課件出示在長100米的道一側栽樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽）。一共需要多少棵樹苗？師：我們一起來讀讀題。誰知道每隔5米栽一棵是什么意思？那共需多少棵樹苗，師：誰來猜一猜？師：你們的猜測正確嗎？下面我們就一起想辦法來驗證一下，假設路長只有20米，每5米栽一棵（兩端都栽），要栽幾棵呢？師：下面就請小組同學一起想辦法驗證一下你們的猜測是否正確？師：這個小組的同學真會想辦法，他們用一條線段表示這條小路，平均分成4份，這時出現了幾個間隔和幾個間隔點？生：4個間隔和5個間隔點。也就是把一條小路平均分成4份后，如果兩端都要栽樹的話，共要栽幾棵？（5棵）20÷5不是等于4嗎？怎么是5棵呢？多的這一棵是怎么來的？師：如果每隔4米栽一棵、每隔2米栽一棵又需要栽多少棵樹苗呢？請小組同學一起討論一下，并將你們解決的方法寫在練習紙上。根據學生的回答，師填寫表格：全班觀察表格尋找規律。師：同學們非常能干，通過猜測、討論、驗證發現了植樹問題中一個非常重要的規律，那就是在一條路上植樹，如果兩端都要栽的話，栽樹的棵數比平均分的份數也就是間隔數多1.（板書：棵數=間隔數+1.）二、對于“植樹問題”首先要明確下面兩個問題。1.“植樹問題”是一個什么樣的問題？在一條路上種樹，這些樹把一條路平均分成了若干段，若只考慮這條路的長度與分成的段數以及每一段的長度，則只是一個簡單的數量關系（簡單的乘法或除法）.若僅僅是這樣，植樹問題還沒有資格成為一個值得專門取個名字加以研究的問題，就像若干個小朋友平均分一些蘋果的問題一樣，不必專門取個叫“分蘋果問題”的名字來加以研究一樣。可我們關注的是種的樹的棵數，而棵數與分成的段數關系密切且往往不相等，于是就有了研究在各種植樹情況條件下，棵數與段數的關系問題的“植樹問題”，更因為一段段的路與一棵棵的樹間隔著排列，這種間隔計數是一個很重要的數學模型.不僅在解決“植樹問題”中有用，在其他很多現實生活問題和數學問題中同樣常見.于是，以植樹為載體來研究這類間隔計數模型就顯得重要了.2.學生在“植樹問題”的學習中應該獲得什么？“植樹問題”是“奧數”中的經典問題.有不少學生此前均學習過“植樹問題”，那么學生在通常的“植樹問題”學習中能獲得些什么呢？學生通常能得到兩個方面的收獲。一是知道“植樹問題”這個名字，并且知道大凡在“一條路上種樹”這樣的問題，往往就是“植樹問題”，并且知道“植樹問題”有很多種情。二是知道解決“植樹問題”的公式里經常有“加1”“減1”，有些學生能準確地記得什么情況下加1，什么情況下減1，有些學生記得不那么清楚。因此，學過“植樹問題”的學生解決這類問題的過程通常是進行模式識別：植樹問題嗎？兩端都種嗎？“加1”嗎？這些學生解這類問題的速度往往很快，題目看完即可動手，但也常常由于模式識別不清，“加1”“減1”之類記憶不準而犯錯誤，甚至把一些簡單的問題錯誤地識別為“植樹問題”加以解決，并且學生往往很少對自己的答案產生過懷疑，沒有能力（也沒有意識到）想辦法檢驗一下自己的答案。從“問題解決”的角度看，“植樹問題”只應該是載體，是提高學生解決問題能力的載體。于是，教學“植樹問題”的目的應該不僅僅是讓學生能很快對各類植樹問題的模式進行快速識別，并能準確地利用相應的公式解決之。解決問題的能力更多地體現在解決一個新的問題的過程中，即在面臨一個新問題時，誰有更多的手段來研究并解決它。三、對兩位老師只教學了“兩端都種”這一種情況的探討。我們認為，“植樹問題”的教學，首先要注重培養學生面對問題時的態度——研究的態度。有經驗的老師往往會有這樣的體會：很多學生在面臨一個問題時，首先就會在記憶中搜索：老師以前有沒有教過這類問題？如果得到否定的回答，就會認為這樣的題目是很難，并往往由此選擇放棄，即沒有解決一個新問題的勇氣和愿望。兩位老師在本課中沒有關注學生怎樣用研究的態度面對數學問題。這一點，從老師教學設計和教學過程中可以看出。第二因為兩位老師在“植樹問題”的教學時，只教“不封閉”的情況的部分類型——“兩端都種”一種情況，認為如果一節課涉及的情況過多，學生可能不能熟練的掌握，從而教學效果不好。這種觀點認為，研究一種情況比研究多種情況更能深入，教學一個例題比教學多個例題更為容易。事實上，有時候情況恰好相反。我們認為，兩位老師