第8講盈虧問題盈虧問題又叫盈不足問題，是指把固定數量的物品平均分給固定的對象，因為兩種不同的分配標準，導致兩種不同的分配結果：一種標準分配后有剩余（盈）；另一種標準分配后不夠分（虧或不足）。此類問題，要求通過兩種分配結果的比較，求出物品總數量和固定對象的個數。標準的盈虧問題就是兩次分配的結果一盈一虧，所以就叫盈虧問題?；镜臄盗筷P系是：（盈+虧）÷兩種分配標準的數量之差＝固定對象數量。廣義的盈虧問題一般還包括以下四種情況：一、兩次分配都有余（兩盈）；二、兩次分配都不夠分（兩虧）；三、一次有余，一次剛好夠分（盈適足）；四、一次分配不夠分，一次剛好夠分（虧適足）。

解決盈虧問題常用比較的解題策略：通過兩次分配盈虧總額與分配數量的比較，先求出固定對象的個數，再求出分配物品的總數量。此類問題基本數量關系有：①

盈適足問題：盈余部分÷兩種分配標準的數量之差＝固定對象數量。②

虧適足問題：虧欠部分÷兩種分配標準的數量之差＝固定對象數量。③

兩盈問題：（盈多－盈少）÷兩種分配標準的數量之差＝固定對象數量。④

兩虧問題：（虧多－虧少）÷兩種分配標準的數量之差＝固定對象數量。⑤

盈虧問題：（盈+虧）÷兩種分配標準的數量之差＝固定對象數量。比較常規的盈虧問題，一般可以直接套用上面的數量關系，解決問題。較復雜的盈虧問題，一般需要先對題中的條件進行適當的轉化，將相關問題先轉化成典型的盈虧問題，再求解。【例1】“雛鷹小隊”的同學們參加植樹活動，如果每人栽5棵樹，還剩12棵樹；如果每人栽7棵，就缺4棵。問這個小隊有多少人？一共要栽多少棵樹？【解析】：

可以畫出線段圖幫助理解題意，如下圖：

觀察上圖，比較每人栽7棵與每人栽5棵的兩種情況，雛鷹小隊總人數是不變的。雛鷹小隊栽樹總棵數多出：12＋4=16（棵）；而每個人多栽：7－5=2（棵）；所以小隊人數為：（12＋4）÷（7－5）=8（人）。由小隊人數和任意一種栽法，可以求出栽樹總棵數：5×8＋12=52（棵）或7×8－4=52（棵）。【例2】學生春游，租了幾條船讓學生們劃，每條船坐3人，則空2人的位置；如果每條船坐5人，則空出16人的位置，問有學生多少人？共租了多少條船？【解析】：這是兩虧問題，每條船坐3人，空2個位置即少2人，每條船坐5人空16個位置少16人，每條船坐5人比每條船坐3人多空出了14個位置，即每條船坐5人比每條船做3人，可以多坐14人。比較兩種坐船方案，租船總條數是不變的?？沙俗側藬迪嗖睿?6－2=14（人）；每條船乘坐人數相差：5－3=2（人）；所以共租船：14÷2=7（條）。根據船的條數和任意一種租船方案，可以求出學生人數，如：7×3－2=19（人）。注：如果解題時，該題需要把題中的一種分配方案進行轉化才能化為盈虧問題求解，通常在求題中的第二個未知數時，按另一種分配方案求解比較方便?！纠?】：解放軍某部調動一批戰士分乘一批車輛趕往汛地抗洪。原計劃每輛汽車乘32人，則多出5人，他們被安排乘坐在其中的某輛車上，行進中由于緊急任務調走一輛車，這時只好重新安排每輛車乘35人，這樣多出7人，他們被安排在其中的某輛車上，問原來共有多少輛車？共派出多少名戰士？【解析】：在重新安排時，每輛車35人，少了一輛車，多出7人。如果補上這輛車，可以坐上這7個人，還可以再坐：35－7=28（人）。所以這個條件可以轉化為：仍然是原來的車輛數，每輛車35人，少了28人。1.小朋友分蘋果，每人分18個，還多出2個；每人分20個，就有一位小朋友沒分到蘋果，問共有多少個小朋友？共有多少個蘋果？【解析】：轉化題中條件“每人分20只，就有一位小朋友沒分到蘋果”，即每人分20個蘋果，就少20個蘋果。可以畫出與上題相似的線段圖幫助理解題意，比較每人分20個蘋果和每人分18個蘋果兩種情況，小朋友總人數是不變的。分掉的蘋果總數相差：2＋20=22（個）；每人多分：20－18=2（個）；所以共有小朋友：22÷2=11（個）。由小朋友總人數和任意一種分法，可以求出蘋果總數，如：（11—1）×20=200（個）。2.全班同學分組勞動，每組8人。勞動中覺得每組人數太少，因而重新編組，每組改為12人，這樣減少了2組，問參加勞動的學生有多少人？【解析】：轉化題中條件“每組12人，少2組”，即按原定組數分組，每組12人，少了24人。轉化條件后，比較第二次編組與第一次編組情況，編的組數沒變?？側藬翟黾樱?2×2=24（人）；每組人數增加：12－8=4（人）；原定組數為：24÷4=6（人）。再根據第一次分組情況，可以求出學生人數為：8×6=48（人）。3.在一次大掃除中，老師分配若干人擦玻璃。如果其中2人各擦4塊，其余每人擦5塊，則余22塊；如果每人擦7塊，正好擦完。求擦玻璃的人數和玻璃的塊數?！窘馕觥浚旱谝环N方案中，有2人擦4塊玻璃，假定這兩人也擦5塊，就可以多擦：2×（5－4）=2（塊）。因此題中條件“如果其中2人各擦4塊，其余每人擦5塊，則余22塊；”可以轉化為：如果每人擦5塊，則余：22－2=20（塊）。從而把原題轉化為盈余問題求解：擦玻璃人數為：20÷（7－5）=10（人）；玻璃的塊數為：10×7=70（塊）。4.有若干個蘋果和梨，如果按1個蘋果配3個梨分一堆，那么蘋果分完時還剩2個梨，如果按半個蘋果配2個梨分一堆，那么梨分完時還剩半個蘋果，那么梨有多少個？【解析】：第二分配方案中，半個蘋果配2個梨就相當于1個蘋果配4個梨，還剩下半個蘋果，還需要添2個梨正好配完。因此題中條件“如果按半個蘋果配2個梨分一堆，那么梨分完時還剩半個蘋果，”可以轉化為：如果按1個蘋果配4個梨，就缺2個梨。從而把原題轉化為盈虧問題求解：共有蘋果：（2＋2）÷（4－3）=4（個）；共有梨：4×3＋2=14（個）。5.學而思學校買來一批體育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分給同學們，每組分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每組分羽毛球拍14副，則差30副，問：學而思學校買來羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？【解析】：因為羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后應余下15×2=30（副），因為14-5×2=4（副），分到最后還差30副，所以比每次分10副總共差30+30=60（副），所以有小組：60÷4=15（組），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=18