2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【考點梳理】考點一：一元二次不等式的概念定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)考點二：一元二次函數(shù)的零點二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．考點三：二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??【題型歸納】題型一：一元二次不等式的解法1．（2023·高一課時）下列不等式中，解集為的是（

）A． B． C．D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式的解，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A,，故A不符合，對于B，,且開口向上，所以對任意的,都有,故B符合,對于C,得，故C不符合，對于D,由得，故D不符合，故選：B2．（2023·全國·高一專題練習）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)(7)；(8)；(9)；(10).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【分析】（1）（9）根據(jù)一元二次不等式的解法計算可得；（2）寫出不等式的等價形式，再根據(jù)一元二次不等式的解法計算可得；【詳解】（1），，，即不等式的解集為；（2），，解得或，即不等式的解集為；（3），或，解得或，即不等式的解集為；（4），整理得，即，解得，即不等式的解集為.（5）由可得，所以或，即不等式的解集為；（6）由可得，所以，即不等式的解集為；（7）可化為，解得，所以不等式的解集為.（8）可化為，即，解得，所以不等式的解集為.（9）可化為，解得或，所以不等式的解集為.（10）可化為，因為不等式對應(yīng)的方程的判別式，所以不等式的解集為．3．（2023·高一課時練習）求下列不等式或不等式組的解集：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用公式可求不等式的解；（2）利用零點分類討論的方法可求不等式的解；（3）利用公式和不等式的性質(zhì)可求不等式組的解.【詳解】（1）因為，故故，故不等式的解集為.（2）不等式，即為：或或，故或或即不等式的解集為.（3）不等式組即為，整理得到：，故，故原不等式組的解集為.題型二：含參數(shù)的一元二次不等式的解法4．（2023秋·高一課時練習）不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由一元二次不等式的解法求解．【詳解】原不等式可化為，而，故，圖象開口向下，故原不等式的解集為故選：C5．（2023·全國·高一專題練習）解下列關(guān)于的不等式：().【答案】答案見解析.【分析】分類討論求解一元二次不等式作答.【詳解】不等式化為：，當，原不等式化為，解得，當，原不等式化為，解得或，當，原不等式化為，當時，解得，當時，不等式無解，當時，解得，所以當，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.6．（2023秋·河南信陽·高一信陽高中校考階段練習）已知函數(shù)．(1)若時，對任意的都成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)求關(guān)于的不等式的解集．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）分、兩種情況討論，在時，直接驗證即可；在時，根據(jù)二次不等式恒成立，可得出關(guān)于的不等式組，綜合可得出實數(shù)的取值范圍；（2）由可得出，分、、三種情況討論，利用一次不等式、二次不等式的解法解原不等式，即可出原不等式的解集.【詳解】（1）解：因為對任意的都成立，當時，則有，合乎題意；當時，即對任意的都成立，則，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（2）解：由可得，即，當時，解得，則原不等式解集為；當時，即，可得，則原不等式解集為；當時，即，可得，則原不等式的解集為.綜上所述：當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為.題型三：由一元二次不等式來確定參數(shù)的范圍7．（2023·全國·高一專題練習）已知關(guān)于的不等式的解集是，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三個二次關(guān)系計算參數(shù)的關(guān)系，再解一元二次不等式即可.【詳解】由條件可知，的兩個實數(shù)根是和，且，則，得，，所以，即，解得：，所以不等式的解集為.故選：A8．（2023秋·湖北孝感·高一孝感高中校考階段練習）關(guān)于實數(shù)的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三個二次之間的關(guān)系結(jié)合韋達定理可得，且，代入所求不等式運算求解即可.【詳解】由題意可得：的解為，且，可得，解得，則不等式，即為，且，則，整理得，解得或，即解集為.故選：D.9．（2022秋·四川巴中·高一校考期中）若不等式的解集為，則值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，為方程的根，再利用韋達定理求解即可.【詳解】因為的解集為，所以，為方程的根.所以，所以.故選：B題型四：一元二次不等式恒成立問題10．（2023秋·云南大理·高一大理白族自治州民族中學校考開學考試）若不等式對一切恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分兩種情況討論，結(jié)合判別式求解即可.【詳解】當，即時，不等式為，對一切恒成立．當時，則，即，解得．綜上，實數(shù)的取值范圍是．故選：C11．（2023·全國·高一專題練習）不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分和兩種情況討論，當時，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】①當時，成立，②當時，只需，解得，綜上可得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：B．12．（2023·全國·高一專題練習）若不等式對任意實數(shù)x均成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡已知不等式，對進行分類討論，結(jié)合一元二次不等式的知識求得的取值范圍.【詳解】依題意，不等式對任意實數(shù)x均成立，即不等式恒成立，當時，不等式可化為恒成立，當時，，解得，綜上所述，的取值范圍是.故選：B題型五：一元二次不等式在某個區(qū)間有解或者成立問題13．（2023·高一單元測試）已知命題函數(shù)與x軸有兩個交點；恒成立．若p和均為真命題，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出命題或和或，再利用p和均為真命題即可求出結(jié)果.【詳解】因為與x軸有兩個交點，所以，得到或，故或，又恒成立，所以，整理得到，得到，所以或，又因為p和均為真命題，故或，得到或.故選：C.14．（2023秋·高一單元測試）不等式，對于任意及恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由于在不等式中出現(xiàn)兩個變量，對其進行變形令則轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的不等式，在上恒成立的問題，然后進行分離參數(shù)求最值即可.【詳解】由，則不等式兩邊同時乘以不等式可化為：，令，則不等式轉(zhuǎn)化為：，在上恒成立，由可得即，又，當且僅當時取等號，所以當時，取得最小值，故可得.故選：A．15．（2023·江蘇·高一專題練習）已知不等式的解集為，且對于，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由不等式的解集為知可用表示，代入中并用參數(shù)分離與基本不等式求得的取值范圍.【詳解】由不等式的解集為，可知為方程的兩個根，故且，即，則不等式變?yōu)椋捎冢瑒t上式可轉(zhuǎn)化為在恒成立，又，當且僅當時等號成立，故.故選：B.題型六：一元二次方程根分布問題16．（2023·全國·高一）關(guān)于x的方程至少有一個負根的充要條件是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布以及判別式、韋達定理得關(guān)系求解.【詳解】當方程沒有根時，，即，解得；當方程有根，且根都不為負根時，，解得，綜上，，即關(guān)于x的方程沒有一個負根時，，所以關(guān)于x的方程至少有一個負根的充要條件是，故選:B.17．（2023·全國·高一專題練習）已知一元二次方程的兩根都在內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)零點分布可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，由題意可得，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.18．（2022秋·江蘇常州·高一常州市第一中學校考階段練習）關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根且，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由一元二次方程根的分布可得，解不等式組可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，解得：，即的取值范圍為.故選：D.題型七：一元二次不等式的應(yīng)用19．（2023·全國·高一專題練習）某小型雨衣廠生產(chǎn)某種雨衣，售價（單位：元/件）與月銷售量（單位：件）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件的成本（單位：元）.若每月獲得的利潤（單位：元）不少于元，則該廠的月銷售量的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，建立利潤函數(shù)，列出不等式，可得答案.【詳解】由題意，得，，令，得，，，.故選：D.20．（2023秋·高一課時練習）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長（單位：m）的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形相似列出方程，將矩形的另一邊用表示，再根據(jù)矩形的面積不小于300m2列出不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)矩形的另一邊長為m，則由三角形相似知，，所以，因為，所以，即，解得.故選:C【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是建立數(shù)學模型，解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題.21．（2022秋·江蘇連云港·高一校考階段練習）某地每年銷售木材約20萬立方米，每立方米價格為2400元，為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬立方米.為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)列不等式為，整理并解一元二次不等式求解集即可.【詳解】由題設(shè)且，整理得，可得.故選：B題型八：一元二次不等式的綜合問題22．（2023秋·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學校考期末）已知函數(shù)．(1)解關(guān)于x的不等式；(2)若對任意的，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）將化為，分別研究、、時不等式的解集即可.（2）運用分離參數(shù)及基本不等式求最值即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，，①當時，或；②當時，；③當時，或.所以①當時，不等式解集為或；②當時，不等式解集為；③當時，不等式解集為或.（2）對任意的，恒成立，即對任意的，恒成立，則對任意的恒成立，所以，，又，當且僅當時等號成立．故.23．（2023·江蘇·高一專題練習）（1）已知不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；（2）若不等式對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）分和兩種情況，結(jié)合一元二次不等式在實數(shù)集上的恒成立問題運算求解；（2）先求的最大值，再根據(jù)恒成立問題分析求解.【詳解】（1）當時，不等式恒成立，所以符合題意；當時，則，解得；綜上所述：實數(shù)k的取值范圍；（2）因為，當時，取到最大值4，可得，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍.24．（2023秋·高一單元測試）已知函數(shù)．(1)若，試求的最小值；(2)對于任意的，不等式成立，試求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得，然后利用基本不等式可求得結(jié)果，（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，則只要即可，從而可求出的取值范圍【詳解】（1）依題意得，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以，當且僅當，即時取等號，所以當時，的最小值為，（2）因為，所以要使對于任意的，不等式成立，只要在上恒成立，設(shè)，則，即，解得，即的取值范圍為【雙基達標】一、單選題25．（2023·全國·高一）不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】由，可得，所以或，所以不等式的解集為或.故選：C.26．（2023·全國·高一專題練習）若關(guān)于x的不等式在時有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】問題等價于當時，，數(shù)形結(jié)合求出二次函數(shù)在時的最大值即可.【詳解】不等式在時有解，等價于當時，.由二次函數(shù)的圖象知，當時，，所以.故選：A.27．（2023·全國·高一專題練習）若不等式對任意實數(shù)均成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得不等式對任意實數(shù)均成立，分和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因為不等式對任意實數(shù)均成立，即不等式對任意實數(shù)均成立，當，即時，有恒成立，滿足題意；當，即時，則有，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：B.28．（2023·全國·高一專題練習）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系利用韋達定理求解系數(shù)，然后解不等式即可；【詳解】由不等式的解集為，知是方程的兩實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得：，所以不等式可化為，解得：或，故不等式的解集為：.故選：D.29．（2023秋·高一課時練習）若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)得到，從而求出不等式的解集.【詳解】因為，所以，即，則，解得：，所以不等式的解集為，故選：D.30．（2023秋·全國·高一專題練習）已知關(guān)于的不等式.(1)若不等式的解集為，求、的值；(2)若，解不等式.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）分析可知、是方程的兩根，利用韋達定理可求得、的值；（2）將所求不等式變形為，對、的大小進行分類討論，結(jié)合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【詳解】（1）解：原不等式可化為，由題知，、是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得.（2）解：當時，所以原不等式化為，當時，即時，解原不等式可得；當時，即時，原不等式即為，解得；當時，即時，解得，綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.31．（2023·全國·高一專題練習）設(shè)命題：實數(shù)滿足，命題：實數(shù)滿足.(1)若，且為真，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，且是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法分別求出兩個命題為真時的范圍，再根據(jù)為真即可得解；（2）由是的充分不必要條件，得對應(yīng)的集合是對應(yīng)集合的真子集，進而可得答案.【詳解】（1）當時，，即，，若為真，即，所以實數(shù)x的取值范圍為；（2）若，，即；或q：，且q是?p的充分不必要條件，則對應(yīng)的集合是對應(yīng)集合的真子集，則或，即或，故實數(shù)m的取值范圍為.【高分突破】一、單選題32．（2023秋·高一）若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由于，所以問題轉(zhuǎn)化為有解，再由可求得結(jié)果.【詳解】因為恒成立，所以原不等式等價于有解，即有解，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為，故選：C33．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學校考開學考試）已知不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化，然后利用換元法求最值，最后解不等式即可.【詳解】不等式恒成立，所以，則，令，，則，當時，取得最大值，最大值為1，所以，解得或.故選：C.34．（2023春·廣東深圳·高一校考期中）對任意的實數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】A【分析】通過轉(zhuǎn)換主參變量的方法來求得的取值范圍.【詳解】依題意，對任意的實數(shù)，不等式恒成立，整理得，令，則，解得或.故選：A35．（2023·江蘇·高一專題練習）若命題“”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由命題“”為真命題，即不等式在上恒成立，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選：A.36．（2023·全國·高一專題練習）若關(guān)于x的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)a的取值集合為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得對任意恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得的取值集合.【詳解】由題意可得對任意恒成立，由，可得，當且僅當，即時，取得等號，則，解得.故選：C.二、多選題37．（2023·全國·高一專題練習）不等式的解集是，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，以及二次不等式關(guān)系，列出不等式組，即可求解.【詳解】因為不等式的解集是，可得，且，所以，所以，所以A、C正確，D錯誤．因為二次函數(shù)的兩個零點為，且圖像開口向下，所以當時，，所以B正確．故選：ABC．38．（2023·全國·高一專題練習）下列說法正確的有（

）A．已知集合，全集，若，則實數(shù)的集合為B．“”是“”的必要不充分條件C．命題，成立的充要條件是D．“”是“”的必要不充分條件【答案】BD【分析】對A，先化簡集合，然后根據(jù)條件來解即可；對B，根據(jù)充分必要條件的定義來判斷即可；對C，問題轉(zhuǎn)化為求在區(qū)間有解即可；對D，由化簡即可判斷.【詳解】對A，，若，則，當時，；當時，由或，所以或，故實數(shù)的集合為，故A錯誤；對B，“”是“”的必要條件但不是充分條件顯然正確，故B正確；對C，，成立，則在區(qū)間有解，而，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，所以，故C錯誤；對D，因為，所以且，而由知其中至少一個為0，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：BD39．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學校考開學考試）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是（

）A．B．不等式的解集為C．不等式的解集為或D．【答案】AD【分析】由一元二次不等式的解法得關(guān)系，對選項逐一判斷，【詳解】由的解集為或得，故故A正確，，故D正確，對于B，，解得，故B錯誤，對于C，為，解得，故C錯誤.故選：AD40．（2023秋·高一單元測試）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)的值可以是（

）A．2 B．1C．3 D．5【答案】AD【分析】將“不等式有解”轉(zhuǎn)化為，利用“1”的代換的思想進行構(gòu)造，運用基本不等式求最值，最后解出關(guān)于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．【詳解】因為不等式有解，所以，因為，且，所以，當且僅當，即時，等號是成立的，所以，所以，即，解得或.故選：AD．41．（2023春·湖南衡陽·高一衡陽市一中校考期末）設(shè)區(qū)間的長度為.已知一元二次不等式的解集的區(qū)間長度為l，則（

）A．當時，B．l的最小值為4C．當時，D．l的最小值為【答案】AD【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法解出不等式，運用代入法，并結(jié)合基本不等式求解最小值即可.【詳解】因為一元二次不等式的解集為，所以，當時，，故A正確，C錯誤；因為，所以（當且僅當，即時，等號成立），所以l的最小值為，故D正確，B錯誤.故選：AD三、填空題42．（2023秋·全國·高一專題練習）若不等式對一切實數(shù)x都成立，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意，分和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】由不等式對一切實數(shù)都成立，當時，即，可得，此時對一切實數(shù)都成立；當時，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.43．（2023秋·重慶·高一開學考試）若一元二次不等式的解集是，那么不等式的解集是.【答案】或【分析】由題意可得方程的解是和，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，代入不等式，解不等式即可求出答案.【詳解】的解集是，所以方程的解是和，且，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，解得，，所以不等式變形為，即，其解集是或．故答案為：或44．（2023秋·浙江金華·高一浙江省東陽市外國語學校校考期末）已知函數(shù)，當時，恒成立，則的最大值為.【答案】2【分析】將函數(shù)化簡可得，結(jié)合題目要求的最大值，故考慮，得出關(guān)于的不等式，進而取特殊值判斷是否滿足滿足取等條件求解即可.【詳解】函數(shù)，對恒成立，令，則或，故，得