泰勒展開式及其在命題中的應用本講主要研究以泰勒展開式為背景的導數命題模式.泰勒展開式應該是高中導數命題中最常用的高等背景，以其為背景的一階導數（切線）放縮，二階放縮等活躍于高考試題和各地模考試題中.本節，我們將通過一些典型例題來展示其中的泰勒身影，探析其中常見的命題手法.一．基本命題原理泰勒展開式（泰勒級數）：多項式：公式：泰勒公式時的麥克勞林公式：幾個重要的不等式由泰勒公式，我們可以得到幾個重要的不等式：3.1；3.2；3.3.3.4，3.5.，二．命題手法展示1.不等式放縮與恒成立例1.（2013新課標Ⅱ）已知函數（1）設是的極值點，求,并討論的單調性；（2）當時，證明．命題手法分析：第二問考察泰勒一階展開式：，所以可得：，這就是第二問的命題背景.例2.（2021八省新高考適應考試）已知函數，.（1）略；（2）若，求.命題手法分析：由泰勒展開：將上述三個式子相加，甩掉二次以上的項，就可以得到不等關系：因此，此題的背景就出來了，結果就是.下面我們嘗試對對數的泰勒展開式進行變形處理：將代入上式，可得：，這就是下面這道高考試題的命題背景.例3.已知函數，，當時，證明：當時，；當時，恒成立，求的取值范圍．解析：（2）即,嘗試泰勒展開，有,化簡得,所以.例4.已知函數，其中為自然對數的底數，為正整數．若函數在處取得極值，且．（1）求的極值；（2）若時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．（參考數據：）解析：（2）問題轉化為時,恒成立因為在處的泰勒展并式為在處的泰勒展開式為,故有,根據題意,得,故實數的范圍是例5.（2015北京）已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求證：當時，；（3）設實數使得對恒成立，求的最大值．由上述結論易得結論，此處不再贅述.2.泰勒展開處理極值問題下面我們再用泰勒公式來分析2018年全國三卷的命題背景，這道題目當年是全國卷中最難的一道導數題目，現在用泰勒公式來加以分析.例6.（2018全國卷Ⅲ）已知函數．（1）若，證明：當時，；當時，；（2）若是的極大值點，求．命題手法分析：由泰勒展開式可得[1]：①可以看到，在附近，的函數值變化主要依賴于展開式中3次項，于是可以得到近似估計：，這樣的話，欲使得在處取得極大值，就必須使得，否則，由可知，不是函數的極大值點.此時，將代入①中可得：顯然，是函數的極大值點，于是此題的結果就出來了.注：此做法如果清楚命題背景，那就應該明白前兩次導函數在處為零，即三階以上的導數才能求得參數.例7.已知是函數的極大值點，則的取值范圍是A．B． C． D．解析：知在零處的泰勒展開為即,因為是的一個極大值點,所以二次項系數必須小于零，即,在處（帶有佩亞諾余項）的泰勒展開式為,一般應用前兩項即可.當時，也滿足最低偶次項即系數小于零，所以故答案為故選.例8.已知函數，．（1）若，證明：當時，；（2）若是的極大值點，求正實數的取值范圍．解析：(1)由題意,易證,詳細證明請看切線章節,所以,故原式得證;(2)由泰勒展開式得,當時,有,故,即,故3.比較大小例9.（2022全國甲卷）已知，試比較三個數的大小.解析：根據題意，構造函數.則可以看到：，由于較小，所以對上述三個函數在處進行四階泰勒展開：；，.顯然，在時，，故.（公眾號：凌點數學）習題演練練習1.（2017清華領軍計劃）已知函數，且，恒成立.則的取值范圍為_______.解析：由于令，，故對進行二階泰勒展開可得：故，在的右臨域內，函數的性態由其一次項決定，若，那么在內，與題干矛盾，故.（公眾號：凌點數學）練習2.（2021山東模擬）已知函數.（1）證明：時，；（2）設，若對任意實數，都有，求的值.解析：（2）記，注意到時，.由于恒成立，故即為函數的極小值點（最小值點）.下面我們將與進行泰勒展開：，，代入的表達式，于是可得：，故在處的泰勒展開：.可以看到，若，則存在實數使得在的鄰域滿足，這與為函數的極小值點（最小值點）矛盾，故得到.練習3．已