數列的概念第一課時

1.課時教學內容

數列的概念

2.課時學習目標

(1)能準確說出數列的概念及其表示方法。

(2)會用通項公式寫出數列的任意一項；對于比較簡單的數列，會根據

給定的前幾項寫出它的一個通項公式。

3.教學重點與難點

重點：理解數列的概念，能從函數的觀點認識數列，理解數列的通項公式

及應用。

難點：數列與函數的關系的理解；根據數列的前幾項抽象、歸納出數列的

通項公式。

4.教學過程設計

環節一創設問題情境

問題1：請同學們觀察這兩個例子，看它們有何共同特點？

(1)從1984年至今，我國體育健兒共參加了八屆奧運會，獲得的金牌數

依次排成一列數：15,5,16,16,28,32,51,38.

(2)中國體育健兒從1984年開始共參加了七屆奧運會，我國獲得的金牌

數依次為15,5,16,16,28,32,51得到第一列數；

共同特點：它們均是一列數。

設計意圖創設情境，激發興趣，引入新課.以金牌數為例，調節課堂氣氛,

拉近師生間心與心的距離，增強了感性認識，調動學生學習新知識的積極性。

問題2：王芳從1歲到17歲每年的身高依次排成一列數：

75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168o

它們之間能否交換位置？具有確定的順序嗎？

記王芳第i歲時的身圖為h“則有：h尸75,h2=87,h3=96,h.,=103,

hi7=1450

形成結論：不能交換位置，具有確定的順序。

追問1：在兩河流域發掘的一塊泥版上就有一列依次表示一個月中從第1

天到第15天每天月亮可見部分的數：5,10,20,40,80,96,112,128,

144,160,176,192,208,224,240.它們之間能否交換位置嗎？具有確定的

順序嗎？

記第i天月亮可見部分的數為Si,那么s1=5,s2=10,…，S15=240O

形成結論：不能交換位置，具有確定的順序

2

追問2：-工的n次幕按1次嘉、2次幕、3次幕、4次嘉……依次排成一

2

列數：…你能仿照以上的敘述，說明這也是具有確定的順序的

24,816

一列數嗎？

追問3：上面三個例子的共同特征是什么？

1)75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,

153,158,160,162,163,165,1680

2)5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,

2222

084,40O

11l1

---_

3)4y

16

2-

共同特征：具有一定的順序的一列數。

【設計意圖】提出問題，思考歸納，形成概念.學生可進行自我表述、小組

討論、教師點撥，逐步歸納，形成共識一一這些具體例子的共同特點：它們均

是一列數，都有一定次序.學生嘗試歸納數列的定義，培養學生的抽象概括能

力。

環節二講授新課

問題3：數列的定義是什么？

一般的，我們把按照確定的順序排列的一列數叫做數列，數列中的每一個

數叫做這個數列的項。（教師板書）

追問1：按照數列定義判斷，1,3,5,7是一個數列，7,5,3,1也是一個數

列，這兩個數列是不是同一個數列？

追問2：1,1,1,1,1,…是不是一個數列？

追問3：請同學們結合數列的定義和上述具體實例，說說數列中的每一個

數和集合中的元素有什么區別？

區別：

1）數列中的數一定是“數”，而集合中的元素不一定是“數”。

2）數列中的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相

同而排列次序不同，那么它們就是不同的數列；而集合中的元素是無序的。

3）數列定義中并沒有規定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數

列中可以重復出現；而集合中的元素不能重復出現。

【設計意圖】實例辨別，加深概念理解.繼續利用實例，使學生把數列中

的數和集合中的元素區分開來。

問題4：如何用符號來表示數列？

數列的一般形式為:aba2,a3,?,,,a”，…簡記為｛aj

追問：數列中，符號｛aj與位所表示的意義相同嗎？

a”僅表示數列中的第n項這一個數值，

｛&,｝表示數列。

【設計意圖】本節課的重點是數列的概念及通項公式，因為數列的概念是

學生學習本章知識的基礎，數列的通項公式又是研究后面等差數列、等比數列

的靈魂。在此教師務必要放慢速度，花足時間，向學生講清講透，不能一帶而

過。

問題5：數列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關系?這一關系可

否用一個公式表示？

序號123n

——undefined

項?1Tla2

如果數列｛aj的第n項a.與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這

個公式就叫做這個數列的通項公式。

追問：你能寫出-LL-…數列的通項公式嗎？

24,816

【設計意圖】對剛才所講的概念進行及時鞏固與消化。教師巡視指導。

問題8:通過上述實例的研究，你對數列通項公式有什么樣的認識?你又是

如何理解數列的通項公式的？

1)并不是所有數列都能寫出(或方便寫出)其通項公式。

2)一個數列的通項公式的形式有時是不唯一的。

3)數列的通項公式具有雙重身份，它表示了數列的第n項，又是這個

數列中所有各項的一般表示。它反映了一個數列項與項數的一種對應關系

(函數關系)。

【設計意圖】讓學生在此對數列的通項公式有一個比較深刻的全面的認識.

結合對應關系，回顧函數概念，揭示數列與函數的關系。這是一個難點，講解

必須清楚、透徹，樹立從函數觀點看待數列問題的意識。

問題9：數列與函數有什么關系？

數列可以看成以正整數集N*(或它的有限子集｛1,2,3,????，n｝)

為定義域的函數akf(n),當自變量從小到大依次取值時可得到對應的一列

函數值.反過來，對于函數v=f(x),如果f(i)(i=l,2,3,…，n,??-)

有意義，那么我們可以得到一個數列f(1),f(2),f(3),f(4),…，f(n)…

因此，數列可以看作特殊的函數，項數是其自變量，其定義域是正整數集

或正整數集的有限子集，其解析式就是數列的通項公式。

問題10：數列有哪些表示方法

通項公式法、列表法、圖象法。(結合實例總結)

問題11:數列有哪些分類？

(1)根據數列項數的多少劃分：

有窮數列：項數有限的數列。

無窮數列：項數無限的數列。

(2)根據數列項的大小劃分：

遞增數列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列，即an>an-|,

(n22)o

遞減數列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列，即anT<an,

(n22)o

常數數列：各項相等的數列，即an+l=am或an=c,(neN*,c為常數)。

擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項

的數列。

環節三例題練習，鞏固知識

例1根據下面數列｛&｝的通項公式，寫出其前5項，并畫出它們的圖像。

(1)Z(2)a.=cos?"史

n2

解答:(1)1,3,6,10,15(2)1,0,-1,0,1

追問：你能判斷兩個數列的單調性嗎？

【設計意圖】以上兩道習題體現的是數列的函數思想。

例2根據數列的前4項，寫出數列的一個通項公式。

(1)1,—I，]—]...;(2)2,0,2,0,...;

234

解答：⑴勺=旦二(2)%,=(-1嚴+1

n

【設計意圖】根據數列的前幾項抽象、歸納數列的通項公式.這是本節課

的重點.教師適時引導，讓學生先自己解決，然后教師重點講解.重點強調常用

的思考方法，寫通項公式時，就是要去發現項an與序號n之間的關系，對各

項進行多角度、多層次觀察，找出這些項與對應序號之間的對應關系，必要時

還需對給定的表達式作適當變形。

環節四課堂小結

問題12：回顧本節課所學知識，思考一下問題

1)什么是數列？數列的本質是什么？

2)我們學習了數列的哪些知識？

本節課學習的主要內容有：數列的定義；數列的通項公式。

通項公式的學習要求是：會由通項公式求數列的特定項；會由數列

的前幾項求數列的一個通項公式。

對通項公式的理解：不是所有的數列都有通項公式；同一個數列可

以有不同的通項公式；給我們數列的前幾項求數列的一個通項公式，答

案可能不唯一。

環節五作業

第5頁練習第1,2,3,4題。

【鞏固練習】

1+(-1)

1.已知數列｛斯｝的通項公式為為=---2---------，則該數列的前4項依次為()

A.1,0,1,0B.0,1,0,1

C.；,0,0D.2,0,2,0

答案A

2.若數列｛4｝滿足的=3",則數列｛喇是()

A.遞增數列B.遞減數列

C.常數列D.擺動數列

答案A

3.數列1,3,6,10,…的一個通項公式是（）

n（〃一1）

A.a”="—〃+1B.Q〃--2

n（H+1）

2

.afi2D.an=n+1

答案c

4.給出以下通項公式：

、巨.----------------[J2,〃為奇數，

①斯=個”一（一Di②為=3—（一1）”；③。“=彳3田%其中可以

210,〃為偶數，

作為數列吸，0,y/2,0,&0,…的通項公式的是（）

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

答案D

1719319^42

5.已知數列La7,5余7,p泉i，…,則㈱該數列的（）

A.第127項B.第128項

C.第129項D.第130項

答案B

二'填空題

6.323是數列｛〃（〃+2）｝的第項.

答案17

7.觀察數列的特點，用一個適當的數填：1,小，小，巾，

y[Tl,

答