傳播動力學在疾病預防與免疫中的應用

隨著人類社會的發展，傳染病仍在繼續危害著人類的健康。從最初的自然災害到近年來的艾滋病、非典型性肺炎（ss）和屈原，每年的大流行都會造成巨大的生命和財產損失。此外，計算機病毒可以通過龐大的網絡更方便地穿越越南，在世界的每個角落上定期滲透，這使得人類社會的網絡化過程變得困難。因此，我們必須正確理解和設計傳染病的社會集體傳播規律，以及互聯網上醫療病毒的擴散。有效流行病的預防和控制策略是當前復雜系統和傳染病動態醫學領域研究的一個熱點問題，具有重要的理論意義和實際應用價值。對于經典傳染病的建模、分析,人們已經做了大量工作,提出了各種傳播模型,其中最著名的有基于常微分方程的SIS(susceptible-infective-susceptible)和SIR(susceptible-infective-removed)模型.這些模型指出各種傳染病都存在臨界行為和閾值特性,但它們都有一個共同的假設:均勻混合假設,總是假定個體之間具有相等的接觸概率、傳染性,沒有考慮接觸網絡拓撲結構、個體差異等對傳播行為的影響,這與真實情況不完全一致.事實上,傳統的基于常微分方程的傳播模型,等價于完全連通網絡上的傳播問題,而真實復雜系統表現出小世界效應、無標度特性和節點之間的連接相對稀疏,因此有必要考慮接觸網絡的拓撲結構對發生在真實系統上傳播動力學特性的影響.SARS在人群中的爆發、禽流感在動物中的傳播、層出不窮的計算機病毒在因特網上的蔓延等,都可以歸結為發生在網絡上的傳播行為.可以將生物種群和計算機網絡中的個體(單個生物體或單臺主機)抽象為節點,而將個體之間的聯系或相互作用定義為節點之間的邊,利用迅速發展的復雜網絡理論來研究大規模生物和計算機病毒流行的傳播機制.復雜網絡理論研究的進展為傳播動力學研究提供了新的理論、工具和方法,激發了大量相關的研究工作.本文致力于全面地總結目前國內外關于復雜網絡上疾病傳染、傳播問題的研究工作,為進一步深入開展復雜網絡上傳播動力學研究提供了有價值的線索.1傳播動力學網絡或改進網絡Watts和Strogatz(WS)、Barabási和Albert(BA)在真實世界復雜系統拓撲結構的開創性工作,激發了基于這2類典型復雜網絡(或改進模型)上傳播動力學的廣泛研究.1.1小世界網絡上傳播行為的研究Watts和Strogatz在提出Small-World(SW)網絡模型的開創性工作中就指出SW效應會加快傳染病的傳播過程.但是,Pastor-Satorras和Vespignani(PV)等人利用平均場理論,研究表明小世界網絡與較早的關于規則網絡、隨機網絡上的傳播行為類似,存在非零的傳染速率臨界值λc:當λ>λc,疾病能夠在接觸網絡中長期存在下去,演化為地方病(endemic)狀態;當λ<λc,疾病以指數的速率迅速消亡.目前,對于小世界網絡上傳播行為進行解析研究的主要手段就是將其等價為某種逾滲(percolation)問題.在文獻中,Newman和Watts(NW)研究了改進的小世界網絡上的SIR模型的傳播問題,將該問題等價為小世界網絡上逾滲概率為p的座逾滲(sitepercolation)問題,從而可以解析求出傳播持續時間和感染者數量之間的關系.結果顯示在NW網絡上這種傳播的時間特性由網絡平均距離決定.采用類似的思路,文獻研究了高維小世界網絡上的逾滲性質.同樣,還可以將一些傳播問題等價為鍵逾滲問題(bondpercolation)、座鍵混合逾滲(site-bondpercolation)問題.文獻研究了WS小世界網絡上的SIRS(susceptible-infective-recovered-susceptible)傳播模型,發現隨著重連概率p的增加,感染個體數量的時間序列ninf(t)將逐步從在一個不動點上下波動變成明顯的周期振蕩;并且在重連概率p較大時,存在明顯的同步相變對象,即很多人同時感染,或同時康復.文獻利用一個略帶修正的SIR模型,研究在給定的(p,N)條件下,穩態的免疫型(R型)節點數目NR的分布情況,計算得到K=2時相變點的位置在pc=0.19±0.01,當K增大時,臨界值pc變小,但非零.由此可見,小世界網絡上的傳播行為仍然存在明顯的相變特性,并且相變臨界值非零,沒有改變經典傳染病動力學的閾值特性;但是,真實復雜系統的小世界效應會加快病毒在網絡上傳播的動態過程,促進傳染病的爆發.1.2基于無標度網絡的傳播行為研究根據經典的疾病傳播理論,疾病若是持續存在,必然波及較大的范圍,可實證研究表明,計算機病毒、麻疹、性傳播疾病等一般僅波及少數個體,但能長期存在.這一問題在很長時間內困擾著傳播動力學的研究.最近關于許多真實復雜系統的拓撲結構的研究表明,這些網絡節點的度分布呈現明顯的無標度特性.這些疾病傳播網絡的無標度特性會不會是上述問題產生的原因呢?PV首先考慮了網絡無標度特性的影響,得到了一系列關于復雜網絡傳播臨界值理論的新的研究成果.以SIS傳播模型為基礎,發現疾病的波及范圍(穩態感染密度)ρ與有效傳播速率λ的關系為ρ≈e-1/λm.由此,對任何有限的λ,都有ρ>0,所以有λc=0.這一結果很好地解釋了傳統理論無法解釋的實際傳播現象,極大地改變了傳統流行病傳播理論中所得到的許多結果,具有突破性的意義,并引發了對無標度網絡上傳播行為的研究熱潮.更進一步,他們發現復雜網絡的傳播臨界值為λc=<k>/<k2>,對2<γ≤3的無標度網絡,在網絡規模趨于無窮大時,<k2>發散,有λc=0,即缺乏臨界傳播閾值,與前面的分析一致.上述分析都是針對非關聯網絡而得到的.然而,研究發現節點度的關聯性是包括社會網絡、Internet等許多復雜網絡的一個重要特征.文獻研究了關聯網絡上的傳播特性,用條件概率P(k′|k)來表示度為k的節點與度為k′的節點相連接的概率,定義矩陣Ckk′={kP(k′|k)},研究結果顯示關聯網絡的傳播臨界值為λc=1/Λm,其中Λm為Ckk′的最大特征值.對于非關聯網絡,Ckk′只有惟一的特征值Λm=<k2>/<k>.另外,真實網絡都是有限規模大小的,有限尺度效應對網絡上的傳播行為的影響具有一定的實際意義.文獻首先研究了無標度網絡上傳播行為的有限尺度效應,指出在有限規模的網絡上SIR模型存在正的非零傳播臨界值.PV給出了有限尺度效應下SIS傳染模型臨界值的解析結果.臨界值理論只考慮傳播的最終穩態情況,而對于在傳播過程中出現的如震蕩等動態行為的研究較少.文獻分析了最簡單的SI傳播模型在具有高度非均勻度分布特性的復雜網絡中傳播爆發的時間演化過程,發現非均勻網絡中病毒傳播具有遞階動態行為:病毒首先感染網絡中度大的節點,然后層層入侵,直至網絡中度很小的節點.文獻詳細研究了SIS傳播模型在典型復雜網絡模型中傳播爆發的時間演化過程,有類似的結論,并且SI模型的結果是研究的一個特例情況.此外,以經典的SIS/SIR模型為基礎,研究更復雜、更現實的傳播模型值得進一步嘗試.文獻研究了帶有直接免疫機制的SIRS傳染模型的傳染臨界特性,發現直接免疫作用可以大大增加傳播的臨界閾值,降低疾病的波及范圍.此外,基于因特網上計算機病毒爆發的特征,提出了一個新的分階段傳播模型,很好地刻畫了典型的計算機病毒在因特網上的傳播行為.當前研究表明,高度異構化的網絡具有中心節點,會促進疾病的傳播,當網絡規模趨于無窮大時傳染臨界值為0.但是,上述結果忽略了節點個體的差異,僅從網絡結構的角度來對疾病傳播進行建模,還不能完全刻畫真實流行病的傳播行為.1.3社團結構的層次結構對傳播的影響文獻提出一個結構化的scale-free(SF)網絡模型,該模型具有很大的聚集系數和度關聯性,針對SIS傳染模型,研究發現即使度分布的二階矩發散(<k2>→∞),疾病傳播也存在非零的傳染閾值,進而指出高度的聚集性(模塊性)和度關聯可以保護SF網絡、阻止病毒在網絡上的傳播.真實網絡如通信網絡、交通網絡等都是表現為含權網絡,它們的傳播行為有何特性?文獻首先研究BBV含權模型網絡上的SI傳播模型的動態特性,結果表明與無權網絡不同,動態傳播行為沒有遞階動態行為.另外,真實復雜系統如社會網絡,具有明顯的社團結構,在社團內部聯系緊密(如家庭成員、同事之間等),而不同社團的個體之間聯系較少.文獻提出一個簡化的帶有社團結構的復雜網絡模型,然后研究該模型上的疾病傳播,發現社區網絡與隨機均勻網絡相比,有較小的傳染臨界值,更大的穩態感染密度.文獻提出一個帶有社團結構的SF網絡模型,基于SI傳播模型研究發現,與標準SF網絡相比,社團結構的SF網絡上疾病的波及范圍會大大降低.此外,社會網絡經常表現出某種層次結構特性,這種層次結構對傳播行為的影響如何?文獻在Watts等提出的層次社會網絡模型基礎上,利用SIR模型研究了層次結構的維數(H)對傳播動力學的影響.如果H=1,隨著人群劃分為日益相似的局部組,存在從全局到局部傳播的轉變(相變);而如果H>1,不管個體所在組的相似程度如何,總是達到全局傳播(即大范圍流行),這對疾病的預防與控制來說不是好的消息.文獻提出一個基于小世界網絡的新穎的傳播模型,利用一定的控制策略來抑制疾病或病毒的傳播,研究帶有線性和非線性反饋控制器的時延控制傳播模型的穩定性和Hopf分叉特性,分析了WS模型的重連概率、控制器的反饋增益、時延等對不穩定振蕩行為的影響,結果表明時延依賴的小世界網絡中的傳播存在固有的振蕩行為.文獻利用SIS和SIRS模型,研究了帶有社區的網絡疾病傳播,發現隨著傳播速率的增加,感染密度具有穩定于一個固定的平衡點、不穩定振蕩或2-周期振蕩等特性.文獻提出一個自適應網絡演化模型,基于網絡中的健康個體在面臨傳染病爆發時主動避免與染病個體的連接,從連接邊(分為健康-健康、健康-染病、染病-染病3種類型的邊)演化的角度建立SIS傳播動力學方程.在每一個時間步內,染病個體以概率r治愈,與染病個體相連接的健康個體以概率p被感染,此外每一對健康-染病連接邊一端的健康個體以概率w切斷這條邊,并同時隨機選擇一個健康個體建立新連接.結果表明隨著w的變化,傳播過程存在Hopf分叉、跨臨界分叉以及鞍結分叉等動力學行為,染病個體密度呈現不連續躍遷、雙穩態、震蕩和滯環等現象.文獻基于SIS傳播模型研究了偏好連接和地理空間結構共同對疾病傳播的影響.新節點i與舊節點j(dij為兩節點間的幾何距離)建立連接的概率正比于kAjjA/dBijijB(A和B是2個固定常數),發現A=0時,再現通常的具有閾值的傳染行為;B=0時,僅在A=1時缺乏臨界行為.綜上所述,網絡拓撲結構對復雜網絡上的傳播動力學行為起決定性的作用;但是上述研究都假定節點的傳染能力等于節點的度,即存在“超級傳播者”的條件下得到的.如果修改這一假設條件,就可能出現一些新的現象.另外,對具有社區結構的加權網絡模型上的傳播行為的研究還是空白,網絡的層次結構、網絡拓撲結構的動態變化等對傳播動力學的影響研究較少.所以,將網絡的加權特性、社區行為、網絡結構的動態變化等結合起來研究它們對傳播行為的影響更能反映網絡上真實傳播行為,這值得深入研究.2節點概率si宏觀上,網絡拓撲結構決定了疾病傳播的相變過程或臨界行為,但具體的疾病感染機制對傳播行為的影響也不可忽視,研究這些機制對于疾病的預防和控制具有實際意義.文獻將飽和效應加入到SIS感染傳播模型,其中感染傳輸概率與度相關,但不是線性相關,而是引入飽和函數C(k),從而限制hub節點的傳染能力,即使度指數2<γ≤3的SF網絡也存在正的有限閾值.同樣,文獻的研究也表明疾病傳播臨界值不僅與網絡結構有關,而且也依賴于具體的感染機制,他們設計了一種與度相關的感染與傳播方案,使得閾值為λc=<k>/∑kA(k)T(k)k2p(k)λc=<k>/∑kA(k)Τ(k)k2p(k)(其中A(k)代表度為k的易感節點通過感染邊實際被感染的概率,而T(k)表示感染節點實際傳染給其他節點的概率).即使對SF網絡,選擇特定的A(k)和T(k)也能使λc不為0(如只要A(k)T(k)=1/k,則對任何復雜網絡λc都為1).文獻提出一個新的具有完全相同傳染性的SI模型,即每個節點只能接觸有限個恒定的鄰居;然后在SF網絡上實現該模型,發現被感染人群指數增長,但其時間尺度要遠大于標準SI模型.基于SIR模型,文獻還研究發現這種具有相同傳染性的傳播模型即使在BA無尺度網絡上也存在正的臨界閾值(λc=1/A,其中A代表節點的感染能力),與標準SIR模型完全不同.文獻提出一個新的傳播機制,假定個體的傳染性與其度呈非線性的關系(λ(k′)=λ0k′α,其中α∈(0,1)),研究SIR模型的傳播臨界值,發現標準SIR模型和文獻的結果恰好是其2種極限情況.在此基礎上文獻研究了具有非線性傳染性的SIS和SIRS模型,發現這一新的傳播機制會顯著影響疾病傳播的臨界值.文獻將節點之間傳染能力建模為度的分段線性函數,更加符合實際傳播情況,發現即使在高度異構的SF網絡上,也可能存在正的傳播閾值.文獻考慮到受傳染病的影響,個體盡可能減小與外界接觸的機會,從而改變了網絡的拓撲結構,他們利用反饋機制代表這一行為,將其引入到傳播動力學中,研究了指數網絡(包括ER和WS模型)中帶反饋的傳染、傳播行為,發現這一機制能夠減小網絡中感染個體的最終密度,但并未改變疾病傳播的臨界閾值.文獻提出了一個帶有媒介的SIS傳播模型,符合一類傳染病如瘧疾、黃熱病與登革熱等的傳播特性.疾病不僅可以通過感染個體傳播,而且還可以通過感染媒介(如蚊子)等傳播,發現在復雜網絡上的傳染閾值與標準SIS模型類似,但按比例免疫的策略對這一新的傳播模型非常有效.文獻提出一個新的傳播模型,易感個體被感染的概率不是依賴于它的度,而是關于暴露程度?的一個函數F(?).結果表明有效平均感染速率存在臨界閾值λc=1,該閾值與治愈率、傳染機制和網絡拓撲有關.根據傳染函數和治愈率的關系,疾病傳播可能處于地方病狀態、無病狀態或介于這兩者之間.由此可見,具體的微觀感染機制也會顯著影響疾病復雜網絡上的傳播行為.因此,結合某種具體的傳播行為,提出一些符合實際的微觀感染機制,得到的結果可能與已有的結論截然不同(如在高度異構的SF上也存在正的傳播臨界值).目前這方面研究剛剛起步,很多研究只能捕獲真實傳播行為的某一方面,有待進一步深入.3“熟練者”免疫策略在理解流行病傳播規律的基礎上,研究如何配置和優化醫療資源,從而迅速抑制傳染病大規模的爆發,是傳播動力學研究的首要、也是最重要的應用.基于復雜網絡理論,分別提出了目標免疫、環狀接種以及“熟識者”免疫等策略,結果表明這些新的策略都比隨機免疫策略的效果要高得多.在“熟識者”免疫基礎上,文獻提出一個新的免疫策略,隨機選擇一個節點,然后詢問它的鄰居的度是否大于特定的值或節點自身的度,如果滿足這個條件就免疫這個鄰居,免疫的效果基本上接近目標免疫,但不需要了解網絡的全局拓撲信息.另外