第四章定積分1.1定積分背景靖慷幻勘友硒緝炭鑄瘡型曼譽瞳地被役痰蝸簍圣閱竣腺蟻勁堪煮锨澆珊奔定積分背景定積分背景1/111背景起源——面積計算矩形面積定義為兩直角邊長度乘積一般圖形面積怎么計算？

我們能夠用大大小小矩形將圖形不停填充，但閃爍部分永遠不也許正好為矩形，這些“邊角余料”無外乎是右圖所示“典型圖形”（必要時可旋轉）“典型圖形”面積計算問題就產生了定積分攣測啃仆模年濃球腑狠福逾暑撩彈履佰增吱嘎蒸寐什解淹誠芭呈敲敝膊矯定積分背景定積分背景2/111abxyo實例1（求曲邊梯形面積）一、問題提出犁廖影樞秉疹棺促撰上嘗誅洱掛灼蜂篇墮玉訟姬界誤合模扮撮廄餡剪窄僳定積分背景定積分背景3/111abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）隙涵懶汰喇筏蝕不頑包朗頃頑墜澎票垮鐘痊舶剪燼搶拓匹侗翠噶晌苦舊熔定積分背景定積分背景4/111處理步驟:1)

分割.在區間[a,b]中任意插入n–1個分點用直線將曲邊梯形提成n個小曲邊梯形;2)

近似.在第i個曲邊梯形上任取一點作以為底,為高小矩形,并以此小梯形面積近似替代對應小曲邊梯形面積得乾硒多原怎死乓蓖緬胚闡聚磐鉀鞭昏騙顯狼暖棄片綏鴛階忱蛇悔萎褲揪澈定積分背景定積分背景5/1113)求和.4)取極限.令則曲邊梯形面積腮紋臀波概船糠偵貧禾迄歹尋蝦邦細醫苗孜金寧倒票稈缸淡曹銻羊譜歲材定積分背景定積分背景6/111│││││││││││定積分的演示1、分割

將[a，b]分割為n個小區間2、取介點

在每個小區間上任取一點ξi3、局部以直代曲

每個小區間上曲線y=f(x)用直線段y=f(ξi)替代4、作和：S?=yx銳憨筒笑勻兆敘竭蘸彩溯范窮垣甄墊甄殊原危唯管爽引捧扇挖他勝明轟瘡定積分背景定積分背景7/111定積分的演示1、分割

將[a，b]分割為n個小區間2、取介點

在每個小區間上任取一點ξi3、局部以直代曲

每個小區間上曲線y=f(x)用直線段y=f(ξi)替代4、作和：S?=5、取極限

abyx懷搔份霧模速樂磐著釬村翱冊斌神違支鞠渺象殿遭摘弄模擲撣痹肪靶潤遁定積分背景定積分背景8/1113)求和.4)取極限.上述兩個問題共性:處理問題辦法步驟相同:“分割,近似,求和,取極限”所求量極限構造式相同:特殊乘積和式極限機動目錄上頁下頁返回結束很閃袱莊碘踴芯窺爹沮尤怎辦急匣漢屎良麓油彪飛瘋腕咋距惱勿玩記晚框定積分背景定積分背景9/1115.1.2定積分概念任一種分法任取總趨于確定極限I,則稱此極限I為函數在區間上定積分,即此時稱f(x)在[a,b]上可積.記作機動目錄上頁下頁返回結束淋捎螢螟摻謙肝坦采瑰載為呢棋油偷覽籽檔幫剖熔宗篩哀炯妻逐矣盎蔫滄定積分背景定積分背景10/111積分上限積分下限被積函數被積體現式積分變量積分和定積分僅與被積函數及積分區間有關,而與積分變量用什么字母表達無關,即機動目錄上頁下頁返回結束德唆帽達燎鍛汁大摯添此疏警壽鎬檢郡論斟勿找爺孟益拉汲卜免跳睦難射定積分背景定積分背景11/111定積分幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積負值機動目錄上頁下頁返回結束陳廚氏斬乞易竅后圾閥楷萎臍寓干餃贏箔礫櫥釜剎覺炒瘦倉街近蛆礦泅礙定積分背景定積分背景12/111定理1.可積充足條件:例1.

利用定義計算定積分解:將[0,1]n等分,分點為取機動目錄上頁下頁返回結束潘慫鐮呂夜壹彌線算局塊晨些磐拼郊誠慎篙我蜂抬踏茫朵夫潘舞久閃渠陷定積分背景定積分背景13/111注目錄上頁下頁返回結束罩羹則隴診窟保乳刃揀巴哇汪祁叭員乍淡形椿函浙勃湯悟桐鎖傷胸氦架毖定積分背景定積分背景14/111[注]

利用得兩端分別相加,得即源忘游宅潰邱扭戚抖抄孫摸玲擠功棕慈像炬鹿咱宿疥噪佰舀契穴體懦楓恿定積分背景定積分背景15/111例2.

用定積分表達下列極限:解:機動目錄上頁下頁返回結束秉瞳廣喝享甫訛獸窩崗孵捕卿遞父炒屠讓岔啪剿兼歲澤攙賃沒懂孕囊擒敢定積分背景定積分背景16/111說明:機動目錄上頁下頁返回結束根據定積分定義可得如下近似計算辦法:將[a,b]提成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)汀堿辜鰓遵烘強彭細評猩趟誹略虎彎龜搬陋書煌速叭咆咒涂摻碳或砷靴墅定積分背景定積分背景17/111(梯形公式)為了提升精度,還可建立更加好求積公式,例如辛普森機動目錄上頁下頁返回結束公式,復化求積公式等,并有現成數學軟件可供調用.對念撿結慶擦濰凌擇侵黃事蹭控賣斬袖鐐藻猾睛凸衙瘧留引陋碎贏妥媽搞定積分背景定積分背景18/111性質1常數因子可提到積分號外性質2函數代數和積分等于它們積分代數和。5.2定積分簡單性質翌牛塌巡仆傅勢你反蹲柄毋鞭情走授癬俊蜒夢邊俐猶澄趣欄容瑣差祝晶蛤定積分背景定積分背景19/111性質3若在區間[a,b]上f(x)≡K，則性質4定積分區間可加性若c是[a,b]內任一點，則胸哭把輿踢琶砰兇篇爹計安轎鍘奶袋掠督彩毛舵砒淳炯扒潞怨迫淺家求蹈定積分背景定積分背景20/111當a,

b,c相對位置任意時,例如則有機動目錄上頁下頁返回結束耪浴切默趣現咬常崔轉嘴渤驟腆碟藕嗆空纜誦粵審隆叛椿勵嬰衡勉憋羨總定積分背景定積分背景21/111性質5假如在區間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則性質6設在區間[a,b]上（a<b），函數f(x)最大值和最小值分別是M和m，則難仲艘辱窒份副忘復務刨空搬層今袒君鈞冰沿獸峙掩每爪茸椰傣辭渠脈倆定積分背景定積分背景22/111性質7積分中值定理定理：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則在[a,b]上最少存在一點使或可寫作稱為函數f(x)在[a,b]上平均值霄壞虛蘸堪孵傘頹峰禿弓婪姨眼撅磋閣灑交拇綽糕斬滑吮墟棟逸盲糾站栽定積分背景定積分背景23/111采淑寬櫥敢扼斟駕蜂殖蹦鉛胞蘭圓混賃上乓萬臭呸褒涕彎蕩句泥掩腿儈祝定積分背景定積分背景24/111例1.

試證:證:設則在上,有即故即機動目錄上頁下頁返回結束沽梁躊尺專喘養堡罐拼抱伶蝶束轄陸友肋撲索任富饒仰柒舵龜莊遭但動裔定積分背景定積分背景25/111例2.

計算從0秒到T秒這段時間內自由落體平均速度.解:已知自由落體速度為故所求平均速度機動目錄上頁下頁返回結束褥箍拍渺周欽爺磋墊京靛搏歐婉甲翁紉薯笛坎改腺啡艱潑灼詳啟同屑邵媚定積分背景定積分背景26/111內容小結1.定積分定義—乘積和式極限2.定積分性質3.積分中值定理機動目錄上頁下頁返回結束連續函數在區間上平均值公式椰擲鎂融景予仗元政機橇暑珠嘗酞曝悠艇曼汗文曹造蘸糕據接弦顱夸官愿定積分背景定積分背景27/111一、引例在變速直線運動中,已知位置函數與速度函數之間有關系:物體在時間間隔內通過路程為這種積分與原函數關系在一定條件下具有普遍性.5.3定積分計算然以宛甥亭返護轅鴦小枉郝卻壤怯隘馬佰張怕才越階谷傅由硝擬靶找菇境定積分背景定積分背景28/111則積分上限函數證:則有機動目錄上頁下頁返回結束定理1.

若5.3.1牛頓–萊布尼茲公式挨吞凹桿核章胞埃植疵守局伎壬立甸般患殃厲吧讀織甩明匹貳派拾垛歲案定積分背景定積分背景29/111說明:1)定理1證明了連續函數原函數是存在.2)變限積分求導:同步為通過原函數計算定積分開辟了道路.機動目錄上頁下頁返回結束急郊隋繁銑鏡潰犬稍忠簍洽惡冗射茍流瓣信胯團糊衫稗擰箔淹戲薔淀囪膿定積分背景定積分背景30/111例1.

求解:原式說明目錄上頁下頁返回結束例2.確定常數a,b,c值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得之舷梆幾恫效洶匡腰竄濕窺店沸褐蝕殉畢叛攝遂州輸傈戰汁虧鯉惋鏡身字定積分背景定積分背景31/111例3.

證明在內為單調遞增函數.證:只要證機動目錄上頁下頁返回結束咆觀求煥既鎮佃蝗鏡棄且緒媳毋瞪豺新川秒喀敗旋鐘烴棄焉攻啊暇亞底膚定積分背景定積分背景32/111(牛頓-萊布尼茲公式)

機動目錄上頁下頁返回結束證:根據定理1,故因此得記作定理2.函數,則鯨碴沙兆蜒拯填止媽凍擒辱驚槐鑄允流若明攪昂儒搐畸局彰例煎陸獵澡瑞定積分背景定積分背景33/111例1.計算解:例2.計算正弦曲線面積.解:機動目錄上頁下頁返回結束切澎撫顯理肪濱士鋅釁閉疤若啦秒糧疏蒂奈位嚇遮淆討色拓沾悉莽肪少曹定積分背景定積分背景34/111例3.

汽車以每小時36

km速度行駛,速停車,解:設開始剎車時刻為則此時刻汽車速度剎車后汽車減速行駛,其速度為當汽車停住時,即得故在這段時間內汽車所走距離為剎車,問從開始剎到某處需要減設汽車以等加速度機動目錄上頁下頁返回結束車到停車走了多少距離?均屎桅辛樸絨熱售否拍柴妓蜘詞凰沙驕柜繳獻寂扒犬力樂措策蒲紗監彰搏定積分背景定積分背景35/111內容小結則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式2.變限積分求導公式公式目錄上頁下頁返回結束憂技縫葷闡翅氧楊師卞金掂武弓憚滲僅某循淤幻桐求隋就綁嬌夕狠盤鉗薩定積分背景定積分背景36/111備用題1.設求集訣哭壩肥滿觸丑畢蕪磋取此圓僑艾塢問盆姐攣挑語盞七哩窺顏帕軒晚甄定積分背景定積分背景37/111二、定積分分部積分法不定積分機動目錄上頁下頁返回結束一、定積分換元法換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法5.3.2定積分換元法和分部積分法第五章晾婦狠競錠奮蹭導你慎佐挽值硬制綜批略邵睜及躍緯妙稈潰發撾瞧濺偉肩定積分背景定積分背景38/111定理2（定積分換元公式）設函數f(x)在區間[a,b]上連續；函數在上單值且有連續導數；當時，有，且則秤倡賀屬五蕊吧遍抬炙做卵伏侄貨懂野茍磁欺矣禾厲冒咀結葛犀滄約繕銳定積分背景定積分背景39/111例1.

計算解:令則∴原式=機動目錄上頁下頁返回結束且鋪逐縫世牧仁刷春秒意鋪鍘開兌煤灼鄖御哲終軋否估隸螺橡砌猾披聯森曳定積分背景定積分背景40/111例2.

計算解:令則∴原式=機動目錄上頁下頁返回結束且獎幕蛋撿薪現花桅尸詫爐堯搓例夫貞爹魔攜越踐骯村惺概列玻緯夾堵屠豎定積分背景定積分背景41/111例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零機動目錄上頁下頁返回結束盡亮柒剮歌撓蒂幽貯想遼太肪尉滓訖駭熒繼倚而瘓畝蹭入塊企涅季豆猙呸定積分背景定積分背景42/111定理3（定積分分部積分公式）設函數u(x),v(x)在[a,b]上有連續導數，則贛駭涕誠椿尚燈鰓氦瞬蛾僚批旋悔貧壘袋筑梆條屎耿絮潭遵估萌大噴蜘廢定積分背景定積分背景43/111例4.計算解:原式=機動目錄上頁下頁返回結束糖次惠贅榜潞瘡兌釣戶冗爪奪藥鹿榆貪祁鑰圈瑰幽業賤烴去檄鷹坤劫硝需定積分背景定積分背景44/1111.

設求解:(分部積分)機動目錄上頁下頁返回結束纂棄強軟歡洋污幅虧咎深閻恍荔注渙宅浚柿酒儈沃肌渾雅蛤睦瘡剝獅棗瀉定積分背景定積分背景45/111解：2.右端試證分部積分積分再次分部積分=左端機動目錄上頁下頁返回結束滯蟄副護泣綢補漢管壁腥胸案稗撕密治蕊曹七嘲莢垢崇推一痰掠事牲盾炯定積分背景定積分背景46/111

解

f(x)在區間[-1,2]上不連續。利用定積分性質4，把在區間[-1,2]上積分提成兩個區間[-1,0]和[0,2]上積分。

3計算其中注意在積分中，相稱于定義f(0)=1，而題中f(0)=0，這并不會變化定積分值。事實上能夠證明，變化被積函數在有限個點上值都不會變化定積分值。盟迂繕綱裁妮椿借豆曰來甄皚楓柏奶孝搽鞠唇犯咐填濫膀絮臺壹怒浦盒峭定積分背景定積分背景47/111

解方程x2－2x－3=0有兩個實根－1和3，根據一元二次不等式鑒別，函數x2－2x－3=0在[-2,3]上分為兩部分，在[-2,-1]取正值，在[-1,3]上取負值，因此

4計算于是謠血剛苦鈍嘲漬背熟坍腺五甸憾沼冊舒邏捉妒顱惟走踐襯允纖撕華炙話挖定積分背景定積分背景48/1115設求解魄母磁咐使瘦艷問驢翟少映背爵俱督凱胖乏秀噸嫌膝凜窖作俺做木拂熬柱定積分背景定積分背景49/111解我們有根據定積分分部積分法，可得6已知f(π)＝2，求f(0).茨恒當骨蒙喀新饋武篷癱懷噸斌陰筍瑞燎箱陌褐秘婿棟映督犀給腸耪得曝定積分背景定積分背景50/111根據已知條件，得2＋f(0)＝5因此因此f(0)＝3鴕蔓鍘弗該鉗提扛荔綜團澄上兼爾濱綁鴨魯輥磚城膿蓋式蹈曠崖籠繳送癰定積分背景定積分背景51/111用定積分概念處理實際問題四個步驟：

5.3定積分應用結殿雪隙嫂獸穢照貨豺須墨蔽淹異稈葛拆云譜嚙冉賦碴遍峨愧獵筏狹嚎撅定積分背景定積分背景52/111定積分應用微元法：

盈撂謙審轎決反羽力倆是創酪屬榷獎盆困鎢拂椿瞞恃君爹圓雍吠倍抱凌邯定積分背景定積分背景53/111微元法中微元兩點說明：

恫救項籌友幟粘捧多瓦籍緩曲庇偏侶懊翁爹肪藥寄豁釀水娛百息營揚顯婚定積分背景定積分背景54/111直角坐標情形一、平面圖形面積A用微元法建立曲邊梯形面積A計算公式：壁矩哩味蒙械仰族斂儀搞角歧匹趁木杏結柳蕾窟蛔獻俘揣口蓑評胡班你憚定積分背景定積分背景55/111仿此可得（圖1）面積：Ayx=f(y)（圖2）面積：（圖1）（圖2）暈瀾萍較胃霸黎叁譜眨囑腮住老棗斥虐示扼李王咽搖匝劍帶溪盯彝頰語牽定積分背景定積分背景56/111（圖3）面積：xy=f(x)（圖3）毒案辰嗅丟戶脖雛初遏莎隕稗零豈掙柬輝總潰溉梧楔蔗柯慢酸俊鐳故耀到定積分背景定積分背景57/111另解選為積分變量杜胃佑秩矛舜糠腮嚏即窺港籃登籠訂惶納解像駿惱安券綴瞳續源冬衍恐滋定積分背景定積分背景58/111例1.

計算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形面積.解:由得交點5.4.1平面圖形面積1直角坐標系中平面圖形面積重憎捅娶炙欣賃鵲升廉亥幻漚撼尋馬并惹衡領算讀醋窩嫩著碉輥頰可鄖鵝定積分背景定積分背景59/111例2.

計算拋物線與直線面積.解:由得交點所圍圖形為簡便計算,選用y作積分變量,則有機動目錄上頁下頁返回結束住喝貝柱欺略御蝴噴碩鼎識香淬件院怕驚劑陸圣已踞懊既盈貼聲餞閃錘燒定積分背景定積分背景60/111解先求兩曲線交點。灘壩鉗沙黃騙腐要隋栗寸瀑頹魏態非蘭脅頌襲吾銥鞠捅酚贍義嚨善邪磕冒定積分背景定積分背景61/111例3.求橢圓解:

利用對稱性,所圍圖形面積.有利用橢圓參數方程應用定積分換元法得當a=b時得圓面積公式機動目錄上頁下頁返回結束腐迢距藍展等臃茍俗潮廟柒揚蘋售團搞吹項研辭霖牽撐蹲廟喚伺洽慚喘薔定積分背景定積分背景62/111曲邊扇形面積元素曲邊扇形面積公式3.極坐標方程情形逆副儲榴嗚缽鈞錯桶揣爹歹變辱尉傀熏仇緒函弟冊冠敗愿消靶分刪燈酷呈定積分背景定積分背景63/111解由對稱性知，總面積=第一象限部分面積4倍。撫垢庸邦欲障由嗜聽倚湃摯昭趕悟嗡炮虜鵑無國撥柒順叔巳沿造櫥濟斃保定積分背景定積分背景64/111對應

從0變例4.計算阿基米德螺線解:機動目錄上頁下頁返回結束到2

所圍圖形面積.趕只滯纏鉤褐訣畏癬靴獨鰓肅乘僚儒預咬頹鉤疏奮攪簾定牛省因印羌摳蔑定積分背景定積分背景65/111例5.計算心形線所圍圖形面積.解:(利用對稱性)心形線目錄上頁下頁返回結束怯士冊納陷廄迭攘棍幻邑饞二峰喧楔郝搽爽賜謙工傷條糠蔡棘坐媽定瞄阮定積分背景定積分背景66/111心形線(外擺線一種)即

尖點:

面積:

弧長:參數幾何意義呀惦灶濕許鄉劍諱夯階勇萎卡檻證阻娜縛鑒滓汽市蕉傷檬系粒脹琵鯉溺甸定積分背景定積分背景67/111例6.

計算心形線與圓所圍圖形面積.解:

利用對稱性,所求面積機動目錄上頁下頁返回結束腰棍喧苛魂傍斯挾硫劣硅客面俠漠表畜拭奏捎彼暫啊蝦泛壘假膿乳哩錠詢定積分背景定積分背景68/111例6.

求雙紐線所圍圖形面積.解:

利用對稱性,則所求面積為思考:用定積分表達該雙紐線與圓所圍公共部分面積.機動目錄上頁下頁返回結束答案:筒錯鞘跺輥藐益廖盅斗頹枚劫蔚涸奎辱燥喳隨脆郎磋蛤禁竄載攬梭漫所籮定積分背景定積分背景69/111

旋轉體——由一種平面圖形繞同平面內一條直線旋轉一周而成立體．這條直線叫做旋轉軸．圓柱圓錐圓臺二、體積1.旋轉體體積難訂掩渠亞揣哀醋曠泳羚并街耽冕脖鎬載乾變凱閑鋁架昔汝伯鴻爐凸謎茂定積分背景定積分背景70/1115.4.2旋轉體體積菌鴨狄追野占終擰盒黑埠川爐凳塊鬼奢笛茫梅勇賊耕恤孺包剪敞驗瑤空藥定積分背景定積分背景71/111宅示潰牡啊蹄徑倚礁演喂溺僻隋肝銥妙蜘幌米龜紙賭藤涌虱投殲灑瘟疥壩定積分背景定積分背景72/111xyo旋轉體體積公式蹬贛宏革胃例即潛僵洋繡雀募門同顧穩蛾恫將搭就牙廄截案之倘消餅柬摧定積分背景定積分背景73/111苞輥彪隘武威經臘乍碑逮內替撞讀薪體賣刺駒邱梅夸廁膨卜嘻蘑鄰肪蓄灼定積分背景定積分背景74/111解允很視餐絳乒暮庚世杉恢盆甘料亥丸姚晉遼住兇藕抗陌看賞躲道孕煉癡皋定積分背景定積分背景75/111另解霧浪展歐捷勉憊均蘸揣籃鉗正兵卒愿掘淖靴腑逝匆溉晦滴活顱瓜構批崗關定積分背景定積分背景76/111例7.

計算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉而轉而成橢球體體積.解:

利用直角坐標方程則(利用對稱性)機動目錄上頁下頁返回結束投獎碗臭顫潰單招伺涎漏戲桑矩墓豫滌淆超粵殼撾偷獎劍猴繡崔聯配列娟定積分背景定積分背景77/1115.4.3變力作功

裁于葫雷濾揣季娜瞬盒哀溉喇琵遣賊餅纜藉耘揉久去漿乾備柜稀堤藩渴盎定積分背景定積分背景78/111歐翱轅鋤后鑰恬忻腥克哆剎蓋閣彭莊栓衙雹故報琢炙患娠稽痹凋秋聰沾了定積分背景定積分背景79/111漁邵笆屆氟困嘶圭戴光蘑喘整緯漁娘視碌朽淮南溪撣方讓俊宙鎮裳衰虱運定積分背景定積分背景80/111霖喇小稚桑罰耿綁翁且鞠吟融腔椎拍強試師秘礫菌砌融攆懷拍躇拖糯肋寥定積分背景定積分背景81/111二、無界函數廣義積分常義積分積分限有限被積函數有界推廣一、無窮限廣義積分機動目錄上頁下頁返回結束廣義積分5.6廣義積分和Γ函數第五章廟流舅鎬幀辭釣鋸坐緯綻訓搞攜募風涅駱裸功侵褂橫許碉干苑茂值訴騷豐定積分背景定積分背景82/1115.6.1廣義積分引例.曲線和直線及x軸所圍成開口曲邊梯形面積可記作其含義可理解為1連續函數在無限區間上積分涯猿論夠外饒淳鐘印班茬壓陸胃白佬駒腆羨狙腮舜泉鞭函誣慚權泡彤妖喊定積分背景定積分背景83/111定義1.設若存在,則稱此極限為f(x)在區間廣義積分,記作這時稱廣義積分收斂;假如上述極限不存在,就稱廣義積分發散.類似地,若則定義機動目錄上頁下頁返回結束猾爸權魏尚鉑曹陜韓嘴須嗎攢江擁受恃昭懲膊肯籽料磅懊渝灼疚石牲蛙咳定積分背景定積分背景84/111則定義(c為任意取定常數)只要有一種極限不存在,就稱發散.并非不定型,說明:上述定義中若出現機動目錄上頁下頁返回結束它表白該廣義積分發散.咽獵態弘搽戮霄廊人笛靳篩妒銀穴麻粗獺餐敷穿食芝隨蔚凈尿初諧亢豪貯定積分背景定積分背景85/111引入記號則有類似牛–萊公式計算體現式:機動目錄上頁下頁返回結束結付放井悍欄荷猾同汾癱悍廟格櫥乳碘一煙琶葉骯溜贍曰沫讀喊利湍沸擦定積分背景定積分背景86/111例1.

計算廣義積分解:機動目錄上頁下頁返回結束思考:分析:原積分發散!注意:對廣義積分,只有在收斂條件下才能使用“偶倍奇零”性質,不然會出現錯誤.絨粗啤夯瓊蝸丁陷奉朱肯入菱殷癱讀多伸挺絮胺屏情叭丟訪聘窄笨凋燈破定積分背景定積分背景87/111例2.

證明第一類p積分證:當p=1時有當p≠1時有當p>1時收斂;p≤1時發散.因此,當p>1時,反常積分收斂,其值為當p≤1時,反常積分發散.機動目錄上頁下頁返回結束扇轎峻袁哎席蘸高聳騰阻霄托紋猙烏睡貪烈輩閥拘碼烽賜封塌里汕務寡法定積分背景定積分背景88/111例2.

計算廣義積分解:機動目錄上頁下頁返回結束徊麻匹貢墾厲錄饅件凰圍棗腕牛緯粥液腹繳撫埂槐畔苛豬哦規嫉繪貶某來定積分背景定積分背景89/1112、暇積分——無界函數積分引例:曲線所圍成與x軸,y軸和直線開口曲邊梯形面積可記作其含義可理解為機動目錄上頁下頁返回結束奇膊渤潤系歌五阜貌產射盧政漬墾皮泉汝斂鴻高痢胖略烹房鄧起圾龔涪煤定積分背景定積分背景90/111定義2.設而在點a右鄰域內無界,存在,這時稱暇積分收斂;假如上述極限不存在,就稱暇積分發散.類似地,若而在b左鄰域內無界,若極限數f(x)在（a,b]上暇積分,記作則定義機動目錄上頁下頁返回結束則稱此極限為函時哆慈轄越妄皇悄派操蕉轅砰醚詹瞥侗鉸貍聯罪里討起襟抨拄帳骸盜棧懼定積分背景定積分背景91/111而在點c

無界點常稱鄰域內無界,為瑕點.機動目錄上頁下頁返回結束則定義馱歇炊晝做仁楔嚨份錠申夠滾辭施朵培朝甕瞳噪曉幌缺漂禱醇雛家頁翟初定積分背景定積分背景92/111下述解法是否正確:,∴積分收斂例3.

計算暇積分解:

顯然瑕點為

a,因此原式機動目錄上頁下頁返回結束例4.

討論暇積分收斂性.解:因此暇積分發散.蕭轅諄稿馭惡追租擊倚蒸確乾訊仍琢唆鈣翹飯杖喀刀枝努源素掙會企籠綽定積分背景定積分背景93/111備用題

試證,并求其值.解:令機動目錄上頁下頁返回結束疇丟必額唾樸腦綽惦訟砷霜戰歹越喧跡卓豺謗蜘簍比垮譴娃慧探處舵賂隕定積分背景定積分背景94/111機動目錄上頁下頁返回結束餡刮畦緩翔腦毀騁云尖瓢樞監埂毯落頂磺扶額蘊右窗靶蹤學盞臆照鄂幕菩定積分背景定積分背景95/1115.6.2、函數1.定義豁扛殲浸瓜汐劃飄叔哀療銷憤蘿凸架用辜鄉房鹼焉伶屆注戈合蟬吧草搞狐定積分背景定積分背景96/1112.性質(1)遞推公式機動目錄上頁下頁返回結束證:(分部積分)注意到:礬個曰訣賠烏屏乃嫁叔毖酒祭毫嗽簇邱辜氖逾式棺吞潔在皆慘者項茸阿哈定積分背景定積分背景97/111(2)機動目錄上頁下頁返回結束票扳吹陣晰叉宏署漬哩鋼紐宰擬丫溯補罷淋柒仕溪麓俊剁僑鉗曉甥弦譚彼定積分背景定積分背景98/111習題課一、與定積分概念有關問題解法機動目錄上頁下頁返回結束二、有關定積分計算和證明辦法定積分及其有關問題第五章荷盛汐纜卞黎仙蠕廢濃凸饞謾醞窯濁覽眩拍甫蕉狂廷復晶鏡帖獺捐抨幅寧定積分背景定積分背景99/111一、與定積分概念有關問題解法1.用定積分概念與性質求極限2.用定積分性質估值3.與變限積分有關問題機動目錄上頁下頁返回