2.3平面向量的基本定理及坐標表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐標表示2.3平面向量的基本定理及坐標表示2.3.1平面向量基1問題提出1.向量加法與減法有哪幾種幾何運算法則？2.怎樣理解向量的數乘運算λa？

（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時，λa與a方向相同；λ<0時，λa與a方向相反；λ=0時，λa=0.問題提出1.向量加法與減法有哪幾種幾何運算法則？23.平面向量共線定理是什么？4.如圖，光滑斜面上一個木塊受到的重力為G，下滑力為F1，木塊對斜面的壓力為F2，這三個力的方向分別如何？三者有何相互關系？GF1F2非零向量a與向量b共線存在唯一實數λ，使b＝λa.3.平面向量共線定理是什么？4.如圖，光滑斜面上一個木塊受35.在物理中，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運算.力也可以分解，任何一個大小不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來，就會形成一個新的數學理論.5.在物理中，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運算.力也4平面向量基本定理和平面向量基本定理和5探究（一）：平面向量基本定理

思考1：給定平面內任意兩個向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？

e1e22e2BCO3e1Ae1D3e1＋2e2e1-2e2探究（一）：平面向量基本定理思考1：給定平面內任意兩個向量6思考2：如圖，設OA，OB，OC為三條共點射線，P為OC上一點，能否在OA、OB上分別找一點M、N，使四邊形OMPN為平行四邊形？MNOABCP思考2：如圖，設OA，OB，OC為三條共點射線，P為OC上一7思考3：在下列兩圖中，向量不共線，能否在直線OA、OB上分別找一點M、N，使？OABCMNOABCMN思考3：在下列兩圖中，向量OABCMNOABCMN8思考4：在上圖中，設=e1，=e2， =a，則向量分別與e1，e2的關系如何？從而向量a與e1，e2的關系如何？OABCMNOABCMN思考4：在上圖中，設=e1，=e2， =a9思考5：若上述向量e1，e2，a都為定向量，且e1，e2不共線，則實數λ1，λ2是否存在？是否唯一？OABCMNOABCMN思考5：若上述向量e1，e2，a都為定向量，且e1，e2不共10思考6：若向量a與e1或e2共線，a還能用λ1e1＋λ2e2表示嗎？e1aa=λ1e1+0e2e2aa=0e1+λ2e2思考6：若向量a與e1或e2共線，a還能用λ1e1＋λ2e211思考7：根據上述分析，平面內任一向量a都可以由這個平面內兩個不共線的向量e1，e2表示出來，從而可形成一個定理.你能完整地描述這個定理的內容嗎？若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，則對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.思考7：根據上述分析，平面內任一向量a都可以由這個平面內兩個12思考8：上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.那么同一平面內可以作基底的向量有多少組？不同基底對應向量a的表示式是否相同？若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，則對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.思考8：上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量e1，e2叫13探究(二):平面向量的正交分解及坐標表示

[0°，180°]思考1：不共線的向量有不同的方向，對于兩個非零向量a和b，作a，b，如圖.為了反映這兩個向量的位置關系，稱∠AOB為向量a與b的夾角.你認為向量的夾角的取值范圍應如何約定為宜？baabABO探究(二):平面向量的正交分解及坐標表示[0°，180°]14思考2：如果向量a與b的夾角是90°，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b.互相垂直的兩個向量能否作為平面內所有向量的一組基底？ba思考2：如果向量a與b的夾角是90°，則稱向量a與b垂直，記15思考3：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如圖，向量i、j是兩個互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30°，且|a|=4，以向量i、j為基底，向量a如何表示？BaiOjAP思考3：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分16思考4：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于平面內的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得a＝xi＋yj.我們把有序數對（x，y）叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y).其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，上式叫做向量的坐標表示.那么x、y的幾何意義如何？aixyOjxy思考4：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個17思考5：相等向量的坐標必然相等，作向量a，則(x，y)，此時點A是坐標是什么？AaixyOjA(x,y)思考5：相等向量的坐標必然相等，作向量a，則18理論遷移例1如圖，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.e1e2COA－2.5e1B3e2理論遷移例1如圖，已知向量e1、e2，求作向量－219例2如圖，寫出向量a，b，c，d的坐標.2452abcd－4－2－5－2xyOa=(2,3)b=(-2,3)c=(-2,-3)d=(2,-3)例2如圖，寫出向量a，b，c，d的坐標.2452abcd－20例3如圖，在平行四邊形ABCD中，=a，=b，E、M分別是AD、DC的中點，點F在BC上，且BC=3BF，以a，b為基底分別表示向量和.ABEDCFM例3如圖，在平行四邊形ABCD中，ABEDCFM21小結作業1.平面向量基本定理是建立在向量加法和數乘運算基礎上的向量分解原理，同時又是向量坐標表示的理論依據，是一個承前起后的重要知識點.2.向量的夾角是反映兩個向量相對位置關系的一個幾何量，平行向量的夾角是0°或180°，垂直向量的夾角是9