絕密★啟用前

2022屆寧夏吳忠市高三模擬數(shù)學(xué)（文）試題

一、選擇題（（每小題5分，共60分））

1.已知復(fù)數(shù)z滿足1+廣（其中，為虛數(shù)單位），則2=（）

A.1+/B.-1+/C.1-ZD.-1-z

【答案】A

【解析】?*Z4=1,?*ZJ=1+『，??.z=l+j.故選:A.

2.已知集合力_2r<1卜5=｛xeR|d〉8｝，則4「1（€記）（）

平

A.{0,1,2)B.[0,2]C.{1,2}D.[1,2]

【答案】C

【解析】1={XGM|1-必％<1+0}={1,2},而5="€即%>2},故GB={%eR|xW2},

故力n(G/)={i,2}.

3.已知/方=（一5,4）,力心=（3,-2）,6。邊的中點為。，則40的長為（）

A,也

B.1C.2D.V2

2

【答案】D

【解析】方=（-5,4）,就=（3,-2）,6。邊的中點為。；如圖:

AD=^(AB+AC)=(-1,1)AD的長為：7(-l)2+l2=夜;故選:D.

藤

界

4.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等,

問各得幾何?”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相

同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列,”（“錢”是古代一種質(zhì)量單位），在這個問題中，甲得錢數(shù)

為（）

A5

A.-BD

31i

【答案】C

【解析】甲、乙、丙、丁、戊五人所得錢數(shù)依次記為4,%，%，/，%，依題意｛4｝（〃45,是等差

CJ54

2q+d=一

工即2」解得■3所以甲得3錢.

數(shù)列，設(shè)其公差為d,依題意有q+%=%+4+。5■，

253

3a)+9t/=—d=~-

6

故選:C

在等差數(shù)列｛《,｝中，%,.20是函數(shù)/⑴―/^+以-1的兩個不同的極值點，則唾心?！钡闹?/p>

為（）

A.-3B-4C.3

【答案】B

【解析】因為/（x）=3x2—12X+4,。2,。2020是該函函數(shù)的兩個不同的極值點，故可得。2,。2020是方

程3x2-12x+4=0的兩個不等實數(shù)根，故4+出020=4,又｛4｝是等差數(shù)歹U,故可得

Goll=:（生+。2020）=2,故log[=log|2=一力,故選：B.

288

6.某程序框圖如圖所示，若輸出的5=179,則判斷框內(nèi)為（）

A.左>3?B.左>4?C.〃>5?

【答案】B

【解析】k=T,s=\;k=2、s=5;k=3、s=18;Z=4,s=58;Z=5,s=179,滿足2>4,輸出

s=179.故選：B.

22

7.橢圓C：0+方=l（a〉b>0）的左、右頂點分別為4,8,左焦點為R,O為坐標(biāo)原點，若|4/|,

藤

\FO\,\OB\成等比數(shù)列，則。的離心率為（）

A.@U0Q>/3-1

B.D.與1

52

【答案】D

【解析】設(shè)/（一c,0）,則|力用=。一。,|用>|=c,|O8|=a,根據(jù)題意可得a（a—c）=c2,整理可得

e2+e-1=0?解得e=—―-

2

8.已知aABC的三邊為a,b,c,且6+c=16,/XABC面積為S,且S=/+c2_a2,則面積S的最大值為（）

第2頁，共10頁

.8>/17口16歷C128V17n64717

17171717

【答案】C

【解析】???/=62+c2-2bccos/，所以S=/+c2—/=2bccos4；bcsin力=26ccosZ,即

sinA=4cosA,顯然A為銳角，sin2A+cos2Z=1，解得cosA=可口；.S=2y.be由

1717

2癡—導(dǎo)—=8時，取等號士叫人早，即S…曙

平

故選:C

【答案】B

藤【解析】當(dāng)x=l時，/⑴=e>0,排除C選項；求導(dǎo)/'(x)=(x2+2xbe、，令/'(x)=0,得x=0或

果

x=-2,當(dāng)x<—2或x〉0時，/'(x)>0,當(dāng)-2<x<0時，/'(x)<o,所以f(x)在(-00,-2)和

(0,+8)上遞增，在(-2,0)上遞減，故選:B.

10.函數(shù)/(x)=sin2x+J5sinxcosx在區(qū)間號,5］上的最大值是()

B.1

C1+V3

,2

D.1+7§

【答案】A

r+nr，、l-cos2x>/3._1.兀、..%//乃一乃/->式/5兀.

【中『析】由/'(%)=---------+~sin2x=-+sin(2x——)>?"74x4:=一

八222642366

13

f()一"

J、X'rmaax-21-1=2

11.已知定義域為｛中40｝的偶函數(shù)/(X),其導(dǎo)函數(shù)為/'(X),對任意正實數(shù)x滿足礦(x)>2/(x),若

綽，貝懷等式g(x)<g(l)的解集是()

g(x)=

X

A.(-oo,l)

B.(-1,1)

C.(-8,0)50,1)

D.(-1,0)50」)

【答案】D

【解析】???/(X)是定義域為｛x|x#o｝的偶函數(shù)，二/(7：)=/(》).對任意正實數(shù)X滿足

xf'(x)>2f(x),即礦(x)—2/(x)>0,又8(萬)=華，.?.g(x)也是偶函數(shù).當(dāng)x>0時，

X

g'(x)=至1立3魚>0,:超仁)在(0,??)上單調(diào)遞增，在(-8,0)單調(diào)遞減，若g(x)<g⑴，則

X

國<l(xH0),解得0<X<1或一1<X<0,故g(x)<g⑴的解集是(-1,0)50,1).

12.已知三棱錐S—ZBC所有頂點都在球。的球面上，且SC_L平面Z8C,若SC=48=4C=1,

NB4C=120。，則球。的表面積為()

A.—B.5乃C.4%D.—

23

［答案］B______________________

【解析】4B=1,AC=\,NB4C=120。，；迎二Ji+1-2x1x1x(—今二述,???三

藤

角形N6C的外接圓直徑2r=2,r=bSC，面Z6C,SC=1,三角形OSC為等腰三角

sin120°

形，，該三棱錐的外接球的半徑兄=J1+理，???該三棱錐的外接球的表面積為

2

S=4兀R?=4"x(y)2=5〃，故選B.

二、填空題((每小題5分，共20分))

13.美好人生路車站早上有6:40,6:50兩班開往4校的公交車，若李華同學(xué)在早上6:35至6:50之間隨

機到達該車站,乘開往4校的公交車,公交車準(zhǔn)時發(fā)車,則他等車時間不超過5分鐘的概率為，

第4頁，共10頁

2

【答案】j

[解析】由題意,李華等車不超過5分鐘,則他必須在6:35-6:40或者6:45-6:50到達,則所求概率

(40-35)^(50-45)=2故答案為一

50-3533

x-y>-\

14.已知點4(4,1)和坐標(biāo)原點O,若點8(x,y)滿足，X+yNl,則方.麗的最小值是

3x-j^<3

平【答案】1

【解析】由約束條件作出可行域如圖,

z=OA-OB=4x+y,化為y=+z,

小，z=4x+y有最小值為1，故答案為：1.

15.已知數(shù)列｛凡｝的前〃項和為J,且S“=2%-2,〃eN*，則數(shù)列｛唾2叫的前項和q=.

!【答案】也刻

;2

藤:【解析】由數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”且S,=2勺-2,當(dāng)〃22時，S,T=2a,i-2,兩式相減，可得

果；

4,=，,一5"_1=2見一2。1,即勺=2?！癬|,”€⑼，令〃=1,可得4=2,所以數(shù)列｛4｝是首項為1,公

?比為2的等比數(shù)列,所以q=2",則log?a”=〃，所以7；=〃(；十0.故答案為：〃(；+1.

16.已知命題P:Vxe[1,2],x?-a20，命題4：*oeR，x：+2ax0+2—a=0,若命題P且<7是真命題,

則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】或a=l｝

【解析】要"使成立，由得aWx2,因為xe[l,2],所以.要使4成立，則有

△=4/-4(2-a)N0,即/+。一220,解得。？1或。4—2.因為命題夕且鄉(xiāng)是真命題，所以夕，鄉(xiāng)同

時為真，即｛言或a-2”故或a=L

三、解答題（（每小題12分，共60分））

17.研究顯示，越來越多的“996”上班族下班后通過慢跑強身健體，慢跑屬于一種有氧運動，可以消耗人

體大量熱量,堅持慢跑可以促進新陳代謝，增加肺活量以及增強心臟功能,提升人體免疫力，因此深受青年

天慢跑的時間情況（單位：分鐘）.

⑵如表是小明的同事小強本月前7次慢跑的時間情

況;由散點圖可知,小強的慢跑次數(shù)x和慢跑時間歹（單位:分鐘）之間線性相關(guān)，①求y關(guān)于x的線性回歸

方程學(xué)=蜃+3其中A*使用分數(shù)形式表示；②根據(jù)①，中的運算結(jié)果預(yù)測小強第9次的慢跑時間是否會

超過小明這100天慢跑的平均時間

次數(shù)X1234567

參考公式：在

慢胞時間（單位：分鐘）15182723202936

Z&-5）（乂一刃

線性回歸方程3=菽+方中，右=J------------,a=y-bx.

X（x,-x）2

/=1

【答案】見解析

【解析】⑴依題意，（0.005+0.012+m+0.034+0.015+0.003）xl0=l,解得：加=0.031（2）①依題意,

_1+2+3+4+5+6+715+18+27+23+20+29+36?

x=------------------------=4,y=-----------------------------=24

77藤

7

X(七一君(％-歹)=(-3)X(-9)+(-2)X(-6)+(-1)X3+IX(T)+2X5+3X12=78,

i=l

7

7Z（X，-T）（X-A）on

X區(qū)一亍>=（-3>+（-2）2+（-1）2+l2+22+32=28A=-----------=—,

I14

i=l

。=歹一八反=24-號39*4=把90,故所求回歸直線方程為，=139*+學(xué)90；②小明這100天慢跑的平均時間

3990

為：5x0.05+15x0.12+25x0.31+35x0.34+45x0.15+55x0.03=30.1;將x=9代入，=+7中，得

3990

y=￡r.x9+—?37.93>30.1,故可以預(yù)測小強第9次的慢跑時間會超過小明這100天慢跑的平均時

147

第6頁，共10頁

間.

18.如圖，在正三棱柱ZBC-44G(側(cè)棱垂直于底面，且底面是正三角形)中，ZC=CG=6,M是棱CC|

的中點.(1)求證:平面/耳例_L平面ABBtAt;(2)求4M與平面4片林所成

平

角的正弦值.

【答案】見解析；

【解析】⑴證明:連接48交于0,連接M0,易得。為48,的中點

???CC|_L平面Z6C,4Cu平面力6。，CG_L/C又M為CG中點,

藤!4C=CC\=6；.4M=j3?+62=36同理可得81M=36.MO_L叫連接,同理可得

果;

A[M=BM=3加：.MO±AB又4B[CAiB=O,ABt,u平面..MO_L平面又M。u平

面AB[M平面ABXMJ_平面ABB]A](2)易得40_L力片又由(1)平面AB}M_L平面/平面力用/D平

面=40U平面4。_1_平面二41MO即為4/與平面力片以所成的角在

R/Z\444中，/0=旭=」病行=3及在放“。例中，5出4附0=坐"=斗=巫故2附與平面

22A^M3\/55

所成角的正弦值為萼

19.在△/BC中，。為邊6c上一點，。。=28。,44。8=120°,/1。=2,且乙40。的面積為6.(1)

TT

求sin8的值；(2)求cos2B——的值.:

<3J

【答案】見解析

【解析】⑴由題意，△48。中，。為邊6。上一點，乙4。8=120°，所以乙60°，因為4。=2,：

且A/OC的面積為退，可得S=」ZO-OCsinN/r)C=Lx2-OCx且=解得OC=2,又：

因為8=28。,所以6。=1,BC=3,在△48。中，由余弦定理可得：

淅

力用=力￡>2+8。2一2/o-8￡)cosNZ￡)8=2?+12-2x2xlx(—;)=7,所以46=77,又由正弦定

理可得段=———，可得sin8=絲包幺絲=叵.(2)由(1)知sin8=Y*，且8為銳：

sinBsmZADBAB77

角，所以cosB=Jl—sin?B=冬夕,所以$吊28=25吊8?058=生亙，?0528=2以)528-1='，所

777

以cos(28--)=—cos28+—sin25=—x—+x=—?

322272714

出

2().已知函數(shù)/(x)=elnx-ac(aeR).⑴討論/(x)的單調(diào)性；⑵當(dāng)a=e時，證明：;

jtf(x)-ex+2ex<0.

【答案】見解析:

【解析】(1)f'(x)=--a(x>0),①若然<0,則/'(x)>0,/*)在(0,內(nèi))上為增函數(shù)；②若

x

睽》0,則當(dāng)x<￡時，/'(x)>0；當(dāng)x>g時，/'(x)<0.故在(0,與上，/(x)為增函數(shù);在(2,+oo)上，

aaaa

/(x)為減函數(shù).(2)因為x〉0,所以只需證/(x)<"-2e,由⑴知，當(dāng)q=e吐"X)在(0,1)上為增:

X

嫌

函數(shù)，在(1,+00)上為減函數(shù)，所以='")=一糕記g(x)=《—2e(x>0),則!

X\

g,(x)=(X-?gt,所以，當(dāng)0<x<l時，g'(x)<0,g(x)為減函數(shù)；當(dāng)x>l時，g'(x)〉0,g(x)為增函1

X2\

數(shù)，所以g(x)min=g6=-e.所以當(dāng)x>0時，/(x)〈g(x),即2e,即：

X\

xf(x)-ex+2ex<0.

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21.已知拋物線E:『=2px（p>0）上橫坐標(biāo)為3的點尸到焦點戶的距離為4.（1）求拋物線￡的方程;

（2）點力、8為拋物線E上異于原點0的兩不同的點，且滿足〃3+勺加=2.若直線AB與橢圓二+二=1

3m

恒有公共點，求功的取值范圍.

【答案】見解析

【解析】（1）因為拋物線E：/=2px（，>0）上橫坐標(biāo)為3的點P到焦點F的距離為4,所以

乎3+^=4,解得p=2,所以拋物線E的方程為/=4x;⑵由題意，直線川？斜率不為0,設(shè)

、fv?Ax=ty-￥n.

AB:x=ty+nfA,B--,^2>由"2，可得y—4ty—4n=0,所以

7I4Jy=4x

必-0?必-0_2

必+%=4，,必'2=一4”，因為％桃+勺加=2,即必22-，所以

———0———0

44

3+4=4（必+必）=2,所以弘％=2（必+8），即一4〃=8/,所以〃=一2/,所以直線

必先必力

f4?:x=W+〃=/（y-2）,所以直線48恒過定點（0,2）,因為直線48與橢圓《+《=1恒有公共

3m

n272

點，所以定點（0,2）在橢圓內(nèi)部或橢圓上，即土+二41,解之得mz4故切的取值范圍m>4.

3m

四、選做題（（每小題10分，共20分））

22A.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，以。為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點P的極坐標(biāo)為

藤

果x=2cosa

2瓜!，曲線C的參數(shù)方程為廠（a為參數(shù)）.（1）寫出點P的直角坐標(biāo)及曲線。的

\6y=73+2sina

直角坐標(biāo)方程；（2）若。為曲線。上的動點，求夕。中點M到直線/:2cos6+2