2021年安徽省合肥市肥西縣桃花初級中學高一數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，，則sin（2π﹣α）=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】GO：運用誘導公式化簡求值．【分析】由條件利用誘導公式求得cosα的值，再根據α的范圍求得sinα的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵=﹣cosα，∴cosα=．又，∴sinα=﹣=﹣，∴sin（2π﹣α）=﹣sinα=，故選：B．【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系、誘導公式的應用，以及三角函數在各個象限中的符號，屬于基礎題．2.如圖，直線l和圓C，當l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉（旋轉角度不超過90°）時，它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數，則這個函數的圖象大致是參考答案：D3.統計某校1000名學生的數學水平測試成績，得到樣本頻率分布直方圖如圖所示，若滿分為100分，規定不低于60分為及格，則及格率是（

）

A．20%

B．25%

C．6%

D．80%

參考答案：D略4.函數的零點是A、（1，1）；B、1；C、（2，0）；D、2；參考答案：D略5.在200米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為、，則塔高為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A6.已知點，，則直線的斜率是A． B． C．

D．參考答案：B7.已知角滿足，，且，，則的值為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據角度范圍先計算和，再通過展開得到答案.【詳解】，，故答案選D【點睛】本題考查了三角函數恒等變換，將是解題的關鍵.8.下列四個函數中,與表示同一函數的是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.如果兩個球的體積之比為8：27，那么兩個球的表面積之比為（）A．8：27 B．2：3 C．4：9 D．2：9參考答案：C【考點】LG：球的體積和表面積．【分析】據體積比等于相似比的立方，求出兩個球的半徑的比，表面積之比等于相似比的平方，即可求出結論．【解答】解：兩個球的體積之比為8：27，根據體積比等于相似比的立方，表面積之比等于相似比的平方，可知兩球的半徑比為2：3，從而這兩個球的表面積之比為4：9．故選C．10.一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．2π+2 B．4π+2 C．2π+ D．4π+參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】立體幾何．【分析】由三視圖及題設條件知，此幾何體為一個上部是四棱錐，下部是圓柱其高已知，底面是半徑為1的圓，故分別求出兩個幾何體的體積，再相加即得組合體的體積．【解答】解：此幾何體為一個上部是正四棱錐，下部是圓柱由于圓柱的底面半徑為1，其高為2，故其體積為π×12×2=2π棱錐底面是對角線為2的正方形，故其邊長為，其底面積為2，又母線長為2，故其高為由此知其體積為=故組合體的體積為2π+故選C【點評】本題考點是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對三視圖的理解與應用，主要考查三視圖與實物圖之間的關系，用三視圖中的數據還原出實物圖的數據，再根據相關的公式求表面積與體積，本題求的是組合體的體積，其方法是分部來求，再求總體積．三視圖的投影規則是：“主視、俯視長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視寬相等”．三視圖是高考的新增考點，不時出現在高考試題中，應予以重視．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，，若，則

；若，則m=

．參考答案：－4，1，，，，解得，

12.已知等差數列的首項及公差d都是整數，前n項和為（）.若，則通項公式

▲

.參考答案：13.設向量，且的夾角為鈍角，則實數k的取值范圍

；參考答案：

14.函數f（x）=ax﹣1+4的圖象恒過定點P，則P點坐標是

．參考答案：（1，5）【考點】指數函數的單調性與特殊點．【分析】根據指數函數y=ax的圖象恒過定點（0，1），即可求出P點的坐標．【解答】解：函數f（x）=ax﹣1+4，令x﹣1=0，解得x=1；當x=1時，f（1）=a0+4=5；所以函數f（x）的圖象恒過定點P（1，5）．即P點坐標是（1，5）．故答案為：（1，5）．【點評】本題考查了指數函數y=ax的圖象恒過定點（0，1）的應用問題，是基礎題目．15.已知等比數列、、、滿足，，，則的取值范圍為__________．參考答案：【分析】設等比數列、、、的公比為，由和計算出的取值范圍，再由可得出的取值范圍.【詳解】設等比數列、、、的公比為，，，，所以，，，.所以，，故答案為：.【點睛】本題考查等比數列通項公式及其性質，解題的關鍵就是利用已知條件求出公比的取值范圍，考查運算求解能力，屬于中等題.16.若函數f(x)滿足：對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數f(x)的定義域內，就有函數值也是某個三角形的三邊長.則稱函數f(x)為保三角形函數，下面四個函數：①；②；③④為保三角形函數的序號為___________．參考答案：②③任給三角形，設它的三邊長分別為，則，不妨設，，①，可作為一個三角形的三邊長，但，則不存在三角形以為三邊長，故此函數不是保三角形函數②，，，則是保三角形函數③，，是保三角形函數④，當，時，，故此函數不是保三角形函數綜上所述，為保三角形函數的是②③

17.函數的單調遞增區間為

參考答案：(3,6)

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=x2+2x|x﹣a|，其中a∈R．（Ⅰ）當a=﹣1時，在所給坐標系中作出f（x）的圖象；（Ⅱ）對任意x∈[1，2]，函數f（x）的圖象恒在函數g（x）=﹣x+14圖象的下方，求實數a的取值范圍；（Ⅲ）若關于x的方程f（x）+1=0在區間（﹣1，0）內有兩個相異根，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】函數的圖象；函數與方程的綜合運用．【專題】綜合題；分類討論；轉化思想；分類法；函數的性質及應用．【分析】（Ⅰ）依題意當a=﹣1時，，據此可作出圖象．（Ⅱ）由題意，對任意x∈[1，2]，只需（f（x）+x）max＜14．分類討論求得（f（x）+x）max，可得實數a的取值范圍．（Ⅲ）記F（x）=f（x）+1，考慮F（x）在區間（﹣1，0）內有兩個不同的零點即可．分類討論，求得a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）依題意當a=﹣1時，，據此可作出圖象如下：（Ⅱ）由題意，對任意x∈[1，2]，f（x）＜g（x），即f（x）+x＜14恒成立，只需（f（x）+x）max＜14．另一方面，f（x）=，即f（x）=．當a≥0時，f（x）在（﹣∞，a）和（a，+∞）上均遞增，∵f（a）=a2，則f（x）在R上遞增，當a＜0時，f（x）在（﹣∞，a）和上遞增，在上遞減，故f（x）在x∈[1，2]上恒單調遞增，從而y=f（x）+x在x∈[1，2]上也恒單調遞增，則（f（x）+x）max=f（2）+2=4+4|2﹣a|+2＜14，即|2﹣a|＜2，解得0＜a＜4，故實數a的取值范圍是（0，4）．（Ⅲ）記F（x）=f（x）+1，考慮F（x）在區間（﹣1，0）內有兩個不同的零點即可．此時，，即，則由（Ⅱ）可知，當a≥0時，F（x）=f（x）+1在R上遞增，方程f（x）+1=0在區間（﹣1，0）內至多有一個根，不符合要求，舍去；故a＜0．當x≤a時，令F（x）=0，可得（不符合x≤a，舍去）或，但，不在區間（﹣1，0）內．當x＞a時，F（x）=3x2﹣2ax+1在區間（﹣1，0）內必有兩個不同的零點，從而（﹣1，0）?（a，+∞），所以，解得．【點評】本題主要考查函數的圖象，函數與方程的綜合應用，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．19.（本大題滿分14分）（1）計算：；（2）已知用表示.參考答案：（1）原式=…………………（7′）

（2）∵∴∴…………（14′）20.函數是定義在（﹣1，1）上的奇函數，且．（1）確定函數的解析式；（2）證明函數f（x）在（﹣1，1）上是增函數；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．參考答案：【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】（1）根據奇函數性質有f（0）=0，可求出b，由可求得a值．（2）根據函數單調性的定義即可證明；（3）根據函數的奇偶性、單調性可去掉不等式中的符號“f”，再考慮到定義域可得一不等式組，解出即可．【解答】解：（1）因為f（x）為（﹣1，1）上的奇函數，所以f（0）=0，即b=0．又f（）=，所以=，解得a=1．所以f（x）=．（2）任取﹣1＜x1＜x2＜1，則f（x1）﹣f（x2）=﹣=，因為﹣1＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函數f（x）在（﹣1，1）上是增函數；（3）f（t﹣1）+f（t）＜0可化為f（t﹣1）＜﹣f（t）．又f（x）為奇函數，所以f（t﹣1）＜f（﹣t），f（x）為（﹣1，1）上的增函數，所以t﹣1＜﹣t①，且﹣1＜t﹣1＜1②，﹣1＜t＜1③；聯立①②③解得，0＜t＜．所以不等式f（t﹣1）+f（t）＜0的解集為．21.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=CD，點E是PC的中點，連接DE、BD、BE．（Ⅰ）（i）證明：DE⊥平面PBC；（ii）若把四個面都是直角三角形的四面體叫做直角四面體，試判斷四面體EBCD是否為直角四面體，若是寫出每個面的直角（只需寫結論），若不是請說明理由．（Ⅱ）求二面角P﹣BC﹣A的大小；（Ⅲ）記三棱錐P﹣ABD的體積為V1，四面體EBCD的體積為V2，求．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【專題】證明題；數形結合；數形結合法；立體幾何．【分析】（I）由PD⊥平面ABCD得PD⊥BC，由BC⊥CD得BC⊥平面PCD，故BC⊥DE，又因為PD=CD，E是PC中點，所以DE⊥PC，故DE⊥平面PBC；（II）∠PCD就是二面角P﹣BC﹣A的平面角，由△PDC是等腰直角三角形可知二面角P﹣BC﹣A的大小為45°；（III）由E為PC中點可知E到平面ABCD的距離h=PD，而兩個棱錐的底面積相等，故=2．【解答】解：（Ⅰ）（i）∵PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD為矩形，∴BC⊥CD，又∵PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，∴BC⊥平面PCD．∵DE?平面PCD，∴BC⊥DE．∵PD=CD，點E是PC的中點，∴DE⊥PC．又∵PC∩BC=C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，∴DE⊥平面PBC．（ii）∵BC⊥平面PCD，∴BC⊥CE，BC⊥CD，∵DE⊥平面PBC，∴DE⊥BE，DE⊥CE，∴四面體EBCD是一個直角四面體，其四個面的直角分別是：∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．（Ⅱ）∵BC⊥CE，CD⊥BC，∴∠PCD就是二面角P﹣BC﹣A的平面角，∵PD=CD，PD⊥CD，∴△PCD是等腰直角三角形，∴∠PCD=45°，即二面角P﹣BC﹣A的大小是45°．（Ⅲ）∵E是PC的中點，∴E到平面ABCD的距離h=，∵底面ABCD是矩形，∴S△ABD=S△BCD，∵V1=S△ABD?PD，V2=S△BCD?PD，∴=2．【點評】本題考查了線面垂直的判定與性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．22.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B={x|0≤x≤3}，求實數m的值；（2）若A??RB，求實數m的取值范圍．參考答案：【考點】交集及其運算；集合的包含關系判斷及