3.3矩陣的三角分解法我們知道對(duì)矩陣進(jìn)行一次初等變換，就相當(dāng)于用相應(yīng)的初等矩陣去左乘原來(lái)的矩陣。因此我們這個(gè)觀點(diǎn)來(lái)考察Gauss消元法用矩陣乘法來(lái)表示，即可得到求解線(xiàn)性方程組的另一種直接法：矩陣的三角分解。

Gauss消元法的矩陣形式

Doolittle分解Doolittle分解若矩陣A有分解：A=LU，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣，則稱(chēng)該分解為Doolittle分解，可以證明，當(dāng)A的各階順序主子式均不為零時(shí)，Doolittle分解可以實(shí)現(xiàn)并且唯一。A的各階順序主子式均不為零，即Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解例題例題例題例題例題Doolittle分解對(duì)稱(chēng)矩陣的Cholesky分解在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，線(xiàn)性方程組大多數(shù)的系數(shù)矩陣為對(duì)稱(chēng)正定這一性質(zhì)，因此利用對(duì)稱(chēng)正定矩陣的三角分解式求解對(duì)稱(chēng)正定方程組的一種有效方法，且分解過(guò)程無(wú)需選主元，有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。對(duì)稱(chēng)矩陣的Cholesky分解

A對(duì)稱(chēng)：AT=AA正定：A的各階順序主子式均大于零。即對(duì)稱(chēng)矩陣的Cholesky分解由Doolittle分解，A有唯一分解對(duì)稱(chēng)矩陣的Cholesky分解定理3.2.4設(shè)A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，則存在唯一分解A=LDLT，其中L為單位下三角陣，D=diag(d1,d2,…,dn)且di>0(i=1,…,n)對(duì)稱(chēng)矩陣的Cholesky分解證明：對(duì)稱(chēng)矩陣的Cholesky分解對(duì)稱(chēng)矩陣的Cholesky分解對(duì)稱(chēng)矩陣的Cholesky分解推論：設(shè)A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，則存在唯一分解其中L為具有主對(duì)角元素為正數(shù)的下三角矩陣。證明：

Cholesky分解的求法Cholesky分解的求法Cholesky分解的求法Cholesky分解法Cholesky分解法缺點(diǎn)及優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：可以減少存儲(chǔ)單元。缺點(diǎn)：存在開(kāi)方運(yùn)算，可能會(huì)出現(xiàn)根號(hào)下負(fù)數(shù)。改進(jìn)Cholesky分解法改進(jìn)的cholesky分解A=LDLT改進(jìn)Cholesky分解改進(jìn)Cholesky分解改進(jìn)的cholesky分解算法改進(jìn)的cholesky分解算法例題例題例題例題A=LDLT分解，既適合于解對(duì)稱(chēng)正定方程組，也適合求解A為對(duì)稱(chēng)，而各階順序主子式不為零的方程組而對(duì)A=LLT只適合于對(duì)稱(chēng)正定方程組追趕法追趕法追趕法追趕法例題例題3.5平方根法在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，線(xiàn)性方程組大多數(shù)的系數(shù)矩陣為對(duì)稱(chēng)正定這一性質(zhì)，因此利用對(duì)稱(chēng)正定矩陣的三角分解式求解對(duì)稱(chēng)正定方程組的一種有效方法，且分解過(guò)程無(wú)需選主元，有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。平方根法

A對(duì)稱(chēng)：AT=AA正定：A的各階順序主子式均大于零。即平方根法由Doolittle分解，A有唯一分解平方根法定理3.2.4設(shè)A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，則存在唯一分解A=LDLT，其中L為單位下三角陣，D=diag(d1,d2,…,dn)且di>0(i=1,…,n)平方根法證明：平方根法平方根法平方根法推論：設(shè)A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，則存在唯一分解其中L為具有主對(duì)角元素為正數(shù)的下三角矩陣。證明平方根法平方根法平方根法平方根法Cholesky分解法缺點(diǎn)及優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：可以減少存儲(chǔ)單元。缺點(diǎn)：存在開(kāi)方運(yùn)算，可能會(huì)出現(xiàn)根號(hào)下負(fù)數(shù)。改進(jìn)平方根法改進(jìn)的平方根法分解A=LDLT改進(jìn)平方根法改進(jìn)平方根法改進(jìn)的平方根法改進(jìn)平方根法例題例題例題例題A=LDLT分解，既適合于解對(duì)稱(chēng)正定方程組，也適合求解A為對(duì)稱(chēng)，而各階順序主子式不為零的方程組而對(duì)A=LLT只適合于對(duì)稱(chēng)正定方程組2.6范數(shù)與誤差估計(jì)用直接方法解n階線(xiàn)性方程組Ax=b，由于原始數(shù)據(jù)A、b的誤差及計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差，一般得不到方程的精確解，往往得到它的近似解x，為了討論解的精度，即誤差向量x-，的大小，也為了討論用迭代法解線(xiàn)性方程組的收斂性問(wèn)題，需要引入向量及矩陣的范數(shù)。向量的范數(shù)定義3.1設(shè)是n維向量空間，如果，實(shí)值函數(shù)‖x‖滿(mǎn)足條件

(1)正定性：‖x‖≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，‖x‖＝０；

(2)齊次性：λ∈R,‖λx‖=|λ|‖x‖；

(3)三角不等式：‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖，則稱(chēng)‖x‖為上的向量范數(shù)(或向量的模)。在數(shù)值計(jì)算中，常用的向量范數(shù)有三種。設(shè)，規(guī)定性質(zhì)證明：據(jù)式(3.25)，只要證明對(duì)“∞”范數(shù)結(jié)論成立即可。又據(jù)定義3.2知：矩陣的范數(shù)設(shè)常用的矩陣范數(shù)：(1)矩陣的列范數(shù)：(2)矩陣的行范數(shù)：(3)矩陣的歐氏范數(shù)：(4)矩陣的譜范數(shù)：例3.6已知，求A的常用范數(shù)。解：例題多元函數(shù)誤差估計(jì)3.7迭代法解線(xiàn)性方程組的直接法，如Gauss消去法、矩陣的三角分解等，適用于階數(shù)不高的線(xiàn)性方程組。而在實(shí)際應(yīng)用中，常會(huì)遇到一類(lèi)階數(shù)很高，非零元素很少的所謂高階稀疏方程組(零元素成片分布，數(shù)量上絕對(duì)占優(yōu))。對(duì)這類(lèi)方程組用迭代法求解，可以充分利用稀疏矩陣的特性減少計(jì)算工作量，節(jié)省存貯量。迭代法所要解決的幾個(gè)主要問(wèn)題是：

(1)構(gòu)造一種迭代格式，把所給方程組Ax=b化成同解的方程組x=Bx+d從而得迭代公式(k=0,1,2,…)只需要給出初始向量即可得一向量序列{},式中B叫迭代矩陣，B不同，則得不同的迭代方法。(2)研究迭代矩陣B滿(mǎn)足什么條件時(shí)，迭代序列必收斂于Ax=b的精確解。(3)討論如何估計(jì)誤差的大小以決定迭代次數(shù)N。Jacobi迭代法

Jacobi迭代法是最簡(jiǎn)單的一種迭代法，是從方程組(3.1)的各個(gè)方程中分別解出同序號(hào)的未知數(shù)。設(shè)系數(shù)矩陣A非奇異，且，則因此，得迭代公式例3.7用Jacobi迭代法求解方程組解：從原方程組中分別解出因此得迭代格式K=1,2,3,…。若取初始向量計(jì)算所得向量列于表3.1，其中小結(jié)本章主要介紹了解線(xiàn)性方程組的直接法和迭代法，以及向量、矩陣的范數(shù)和病態(tài)方程組的基本概念。直接法的基礎(chǔ)是Gauss消去法及其矩陣形式的LU分解。選取主元素是保證消去法計(jì)算穩(wěn)定性及提高精度的有效方法，列主元Gauss消去法以其算法組織簡(jiǎn)便，計(jì)算量不大等優(yōu)點(diǎn)見(jiàn)長(zhǎng)，比較常用，必須熟練掌握。利用三對(duì)角矩陣(對(duì)角占優(yōu))及對(duì)稱(chēng)正定矩陣的矩陣形式的特殊性，可以簡(jiǎn)化LU分解，得到追趕法及平方根法，這兩個(gè)方法不需選主元便數(shù)值穩(wěn)定，具有較高的計(jì)算精度，是解決兩類(lèi)