等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教案一、教學(xué)目的1、理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；駕馭等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡潔問題．2、通過公式的推導(dǎo)過程，提高學(xué)生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的實(shí)力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類探討思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)．3、通過經(jīng)驗(yàn)對公式的探究，激發(fā)學(xué)生的求知欲，激勵學(xué)生大膽嘗試、勇于探究、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得勝利的體驗(yàn)，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡潔應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。教學(xué)關(guān)鍵：推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的關(guān)鍵是通過情境的創(chuàng)設(shè)，發(fā)覺錯位相減求和法。應(yīng)用公式的關(guān)鍵是如何從實(shí)際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，建立等比數(shù)列模型，運(yùn)用公式解決問題。三、教具、學(xué)具打算多媒體課件。運(yùn)用多媒體教學(xué)手段，增大教學(xué)容量和直觀性，提高教學(xué)效率和質(zhì)量。四、教學(xué)方法數(shù)學(xué)是一門培育和發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，因此在教學(xué)中不僅要讓學(xué)生“知其然”，還要“知其所以然”，為了體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)按部就班和啟發(fā)式教學(xué)原則，我進(jìn)行這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)：在老師的引導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)情景，通過開放式問題的設(shè)置來啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思索，在思索中體會數(shù)學(xué)概念形成過程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)方法和思想，使之獲得內(nèi)心感受。本節(jié)課將采納“多媒體優(yōu)化組合—激勵—發(fā)覺”式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)。該模式能夠?qū)⒔虒W(xué)過程中的各要素，如老師、學(xué)生、教材、教法等進(jìn)行主動的整合，使其融為一體，創(chuàng)建最佳的教學(xué)氛圍。主要包括啟發(fā)式講解、互動式探討、探討式探究、反饋式評價(jià)。五、學(xué)法指導(dǎo)“授人以魚，不如授人以漁”。教是為了不教，教給學(xué)生好的學(xué)習(xí)方法，讓他們會學(xué)習(xí)，并擅長用數(shù)學(xué)思維去分析問題和解決問題，受益終身。依據(jù)二期課改的精神，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式也是本次課改的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教化的核心學(xué)科之一，轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，變學(xué)生被動接受式學(xué)習(xí)為主動參加式學(xué)習(xí)，不僅有利于提高學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也有利于促進(jìn)學(xué)生整體學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。在課堂結(jié)構(gòu)上我依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知層次，設(shè)計(jì)了創(chuàng)設(shè)情景——視察歸納——探討探討——即時(shí)訓(xùn)練——總結(jié)反思——任務(wù)持續(xù)，六個層次的學(xué)法，他們環(huán)環(huán)相扣，層層深化，從而順當(dāng)完成教學(xué)目的。自主探究、視察發(fā)覺、類比猜想、合作溝通。抓住學(xué)生情感和思維的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的愛好，激勵學(xué)生大膽猜想、主動探究，剛好地給以激勵，使他們知難而進(jìn)；同時(shí)從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的學(xué)問特點(diǎn)入手，老師在學(xué)生主體下賜予適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。引導(dǎo)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，抽象出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，獲得解決問題的方法，扶植學(xué)生培育勇于探究、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)。六、教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)回顧，引舊導(dǎo)新（1）等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，。（2）等比中項(xiàng)：假如a,b,c成等比，則。（3）等比數(shù)列的一些結(jié)論：2、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題在古印度，有個名叫西薩的人，獨(dú)創(chuàng)了國際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國王大為贊許，對他說：我可以滿意你的任何要求．西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格．國王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚．為什么呢？師：同學(xué)們，你能說明這是為什么嗎？本節(jié)課我們探討《等比數(shù)列前n項(xiàng)和》，通過學(xué)習(xí)，我們就可以很簡潔說明這個問題了。（板書課題）2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和一般地，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和用表示，即：。設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這個情境目的是在引入課題的同時(shí)激發(fā)學(xué)生的愛好，調(diào)動學(xué)習(xí)的主動性．故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn)。此時(shí)我再問：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥粒總數(shù)。帶著這樣的問題，學(xué)生會動手算了起來，他們想到用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和．這時(shí)我對他們的這種思路賜予確定．設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)際教學(xué)中，由于受課堂時(shí)間限制，老師舍不得花時(shí)間讓學(xué)生去做所謂的“無用功”，急連忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，老師為什么不相加而立刻相減呢？在整個教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過彎來，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時(shí)間營造學(xué)問形成過程的氛圍，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙．同時(shí)，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，迫使學(xué)生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆。3、師生互動，探究問題在確定他們的思路后，我接著問：是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？探討1：設(shè)，記為（1）式，留意視察每一項(xiàng)的特征，有何聯(lián)系？（學(xué)生會發(fā)覺，后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍）探討2：假如我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，（1）式兩邊同乘以2則有，記為（2）式．比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)覺？經(jīng)過比較、探討，學(xué)生發(fā)覺：（1）、（2）兩式有很多相同的項(xiàng)，把兩式相減，相同的項(xiàng)就消去了，得到：。老師指出：這就是錯位相減法，并要求學(xué)生縱觀老師推導(dǎo)全過程。師：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？生：乘以2后使得（1）式與（2）式出現(xiàn)相同的項(xiàng)，從而可以實(shí)現(xiàn)兩式相減，消去相同的項(xiàng)。設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過繁難的計(jì)算之苦后，突然發(fā)覺上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學(xué)生在探究過程中，充分感受到勝利的情感體驗(yàn)，從而增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好和學(xué)好數(shù)學(xué)的信念。4、類比聯(lián)想，解決問題這時(shí)我再順勢引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，如何求前n項(xiàng)和呢？在此讓學(xué)生自主完成，并叫一名學(xué)生上黑板，然后對每個學(xué)生在自覺探討時(shí)遇到的難題進(jìn)行指導(dǎo)點(diǎn)拔。設(shè)計(jì)意圖：在老師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深化，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的開心和成就感。在學(xué)生推導(dǎo)完成后，我再問：由得，對不對呢？這里的q能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)（這里引導(dǎo)學(xué)生對q進(jìn)行分類探討，得出公式，同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ)．）即：再次追問：結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，如何把用、、表示出來？（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式）即：設(shè)計(jì)意圖：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對學(xué)問的相識，完善學(xué)問結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡潔地仿照和接受，變?yōu)閷W(xué)問的主動相識，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的實(shí)力．這一環(huán)節(jié)特別重要，盡管時(shí)間有時(shí)比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點(diǎn)睛之妙用。5、探討溝通，延長拓展在此基礎(chǔ)上，我提出：探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，還有其它方法嗎？方法二：我們知道,。則我們能否利用這個關(guān)系而求出呢？即：提取公比q，有：方法三：依據(jù)等比數(shù)列的定義又有，能否聯(lián)想到等比定理從而求出呢？即：利用等比定理設(shè)計(jì)意圖：以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，營造一個讓學(xué)生主動視察、思索、探討的氛圍.以上兩種方法都可以化歸到,這其實(shí)就是關(guān)于的一個遞推式，遞推數(shù)列有特別重要的探討價(jià)值，是探討性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用。6、例題講解，形成技能例1、口答下列各題：(1)求等比數(shù)列的前10項(xiàng)的和；(2)已知等比數(shù)列中，，，求；(3)請利用第(2)題的數(shù)據(jù)，自己編題，改求或求q，并求解．(自己擬題能鞏固和深化所學(xué)的學(xué)問)生：(口答)（1）（2）(3)生甲：已知：q=3，．求．解：，。生乙：已知：，。求q。解：，。例2、已知為等比數(shù)列，且，，(ab≠0)，求。師：要求，需知，q，而已知條件為和．能否進(jìn)一步挖掘題目的條件，使已知和未知溝通起來？生甲：（1）式除以（2）式得：，即將（3）式代入（1）式得：，則，以下再化簡即可．師：這位同學(xué)處理問題很奇妙．他沒有分別求得與的值，而改為求與的值，這樣使問題變得簡潔些，請問同學(xué)們，這樣解這個題目是否有問題呢？生乙：我認(rèn)為第（1）式就有問題，他附加了條件，而對狀況沒有考慮．師：對！運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要特殊留意適用條件，即時(shí)，；時(shí)，。(含字母已知數(shù)的等比數(shù)列求和題目，學(xué)生常忽視q=1狀況，要引起足夠重視，以培育學(xué)生思維的嚴(yán)密性)(學(xué)生演算習(xí)題，老師投影出正確答案)解：設(shè)數(shù)列的公比為。若(此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列)，則，，此時(shí)，，則。若，即，則由已知又因?yàn)椋杂桑?）式除以（1）式得：，即，所以將（1）式式變形后代入（3）式得：，于是數(shù)列的前3n項(xiàng)的和為：師：(小結(jié))這節(jié)課我們從已有的學(xué)問動身，用多種方法(迭加法、運(yùn)用等比性質(zhì)、錯位相減法)推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并在應(yīng)用中加深了對公式的相識．如已知，n，q，則選擇已知a1，q，an，則選擇對含字母的題目一般要分別考慮q=1和q≠1兩種狀況，不能附加條件，統(tǒng)一按去解題。小結(jié)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，從這五個量中，只要知道隨意三個量，均可求得其余兩個量。7、加強(qiáng)練習(xí)，深化相識（1）求的前n項(xiàng)和．（2）求的前n項(xiàng)和．（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和。（4）畫一個邊長為2cm的正方形,再將這個正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第2個正方形,依此類推,這樣一共畫了10個正方形,求這10個正方形的面積的和。8、總結(jié)歸納，加深理解以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，激勵學(xué)生主動回答，然后老師再從學(xué)問點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法方面總結(jié)：(1)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(2)公式的推導(dǎo)方法——錯位相減法(3)求和思路——構(gòu)造常數(shù)列或部分常數(shù)列。通過師生的共同小結(jié)，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有利于學(xué)生鞏固所學(xué)學(xué)問，也能培育學(xué)生的歸納和概括實(shí)力。進(jìn)一步完成認(rèn)知目標(biāo)和素養(yǎng)目標(biāo)。設(shè)計(jì)意圖：以此培育學(xué)生的口頭表達(dá)實(shí)力，歸納概括實(shí)力。9、故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)最終我們回到故事中的問題，我們可以計(jì)算出國王獎賞的小麥約為1.84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設(shè)一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459倍，明顯國王兌現(xiàn)不了他的承諾。設(shè)計(jì)意圖：把引入課題時(shí)的懸念賜予釋疑，有助于學(xué)生克服疲乏、接著主動思維。10、布置作業(yè)課本習(xí)題2.5第1、2題。11、教學(xué)信息反饋——五分鐘測驗(yàn)“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案應(yīng)當(dāng)是多少？教案說明本教案的內(nèi)容是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的第一節(jié)課，現(xiàn)將該節(jié)課設(shè)計(jì)意圖簡潔介紹如下：依據(jù)高二學(xué)生心理特點(diǎn)、教材內(nèi)容、遵循因材施教原則和啟發(fā)性教學(xué)思想，本節(jié)課的教學(xué)策略與方法我采納規(guī)則學(xué)習(xí)和問題解決策略，即“案例—公式—應(yīng)用”，案例為淺層次要求，使學(xué)生有概括印象。公式為中層次要求，由淺入深，重難點(diǎn)集中推導(dǎo)講解，便于突破。應(yīng)用為綜合要求，多角度、多情境中消化鞏固所學(xué)，反饋驗(yàn)證本節(jié)教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)。其中，案例是基礎(chǔ)，使學(xué)生感知教材；公式為關(guān)鍵，使學(xué)生理解教材；練習(xí)為應(yīng)用，使學(xué)生鞏固學(xué)問，舉一反三。在這三步教學(xué)中，以啟發(fā)性