福建省泉州市龍泉中學2022年高二數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在等差數列{an}中,若,則等于(

)A.

B.2

C.

D.4參考答案：A2.執行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D3.雙曲線和橢圓有相同的焦點，它的一條漸近線為，則雙曲線的方程為（

）A．

B．C．

D．參考答案：C略4.書架上有不同的語文書10本，不同的英語書7本，不同的數學書5本，現從中任選一本閱讀，不同的選法有()A.22種 B.350種 C.32種 D.20種參考答案：A【分析】從中任選一本閱讀，選擇的方法有三類，故選擇1本書的方法需要分三種情況討論，再利用加法原理解決問題.【詳解】解：由題意知本題是一個分類計數問題，解決問題分成三個種類，一是選擇語文書，有10種不同的選法；二是選擇英語書，有7種不同的選法，三是選擇數學書，有5種不同的選法，根據分類計數原理知，共有10+7+5＝22種不同的選法.【點睛】本題考查分類計數原理，本題解題的關鍵是看清楚完成一件事包含有幾類情況，計算出每一類所包含的基本事件數，進而相加得到結果.5.一動圓與兩圓：x2+y2=1和x2+y2﹣6x+5=0都外切，則動圓圓心的軌跡為（）A．拋物線 B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．橢圓參考答案：C【考點】軌跡方程．【分析】設動圓P的半徑為r，然后根據動圓與⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣6x+5=0都外切得|PF|=3+r、|PO|=1+r，再兩式相減消去參數r，則滿足雙曲線的定義，問題解決．【解答】解：設動圓的圓心為P，半徑為r，而圓x2+y2=1的圓心為O（0，0），半徑為1；圓x2+y2﹣6x+5=0的圓心為F（3，0），半徑為2．依題意得|PF|=3+r，|PO|=1+r，則|PF|﹣|PO|=（3+r）﹣（1+r）=2＜|FO|，所以點P的軌跡是雙曲線的一支．故選：C．6.執行如圖的程序框圖，如果輸入的n是4，則輸出的p是(

)

A．8 B．5 C．3 D．2參考答案：C【考點】循環結構．【專題】圖表型．【分析】根據輸入的n是4，然后判定k=1，滿足條件k＜4，則執行循環體，依此類推，當k=4，不滿足條件k＜4，則退出執行循環體，求出此時p的值即可．【解答】解：k=1，滿足條件k＜4，則執行循環體，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，滿足條件k＜4，則執行循環體，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，滿足條件k＜4，則執行循環體，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不滿足條件k＜4，則退出執行循環體，此時p=3故選：C【點評】根據流程圖計算運行結果是算法這一模塊的重要題型，處理的步驟一般為：分析流程圖，從流程圖中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數據建立數學模型，根據第一步分析的結果，選擇恰當的數學模型解模．7.設α，β為不重合的平面，m，n為不重合的直線，則下列命題正確的是 (

)A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥α

B．若m?α，n?β，m∥n，則α∥βC．若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β

D．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，則m⊥α參考答案：D8.命題p：?x＜0，2x＞x，命題q：?x∈R，x2+x+1＜0，則下列命題正確的是（）A．（￢p）∨q為真 B．p∨q為真 C．p∧（￢q）為假 D．（￢p）∧（￢q）為真參考答案：B【考點】2E：復合命題的真假．【分析】分別判斷出p，q的真假，從而判斷出復合命題的真假即可．【解答】解：命題p：?x＜0，2x＞0＞x，恒成立，故命題p是真命題；命題q：?x∈R，x2+x+1＜0，不成立，故命題q是假命題；故p∨q為真，故選：B．【點評】本題考查了指數函數的性質，考查二次函數的性質以及復合命題的判斷，是一道基礎題．9.已知且關于x的函數在R上有極值，則與的夾角范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.若函數在R上單調遞增，且，則實數m的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標系中，已知的頂點和，若頂點在雙曲線的左支上，則.參考答案：12.某醫療研究所為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把名使用血清的人與另外名未用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用列聯表計算得，經查對臨界值表知．對此，四名同學做出了以下的判斷：：有的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”：若某人未使用該血清，那么他在一年中有的可能性得感冒：這種血清預防感冒的有效率為

：這種血清預防感冒的有效率為

則下列結論中，正確結論的序號是

①；

②；

③；

④參考答案：①④略13.古希臘數學家把數1，3，6，10，15，21，······叫做三角數，它有一定的規律性，則第30個三角數減去第28個三角數的值為______參考答案：5914.在同一平面直角坐標系中，由曲線y=tanx變成曲線y′=3tan2x′的伸縮變換

．參考答案：【考點】HJ：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】把函數y′=3tan2x′化為=3tan2x′，由函數y=tanx變成函數=tan2x′，應滿足，即得變換公式x′與y′的表達式．【解答】解：函數y′=3tan2x′即=tan2x′，將函數y=tanx變成函數y′=3tan2x′，即=tan2x′，故有，即伸縮變換是．故答案為：．【點評】本題考查了函數的圖象變換問題，解題時應熟知坐標變換公式，是基礎題目．15.＝________.參考答案：16.已知冪函數f（x）的圖象過點（2，），則f（x）的單調減區間為

．參考答案：（0，+∞）【考點】冪函數的性質．【分析】設冪函數f（x）=xα（α為常數），由圖象過點（2，），可得=2α，解得α即可得出．【解答】解：設冪函數f（x）=xα（α為常數），∵圖象過點（2，），∴=2α，解得α=﹣2．∴f（x）=．則f（x）的單調減區間為（0，+∞）．故答案為：（0，+∞）．17.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；（2）證明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【分析】（1）由線面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，從而AB⊥平面PAD，進而∠APB是PB與平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．（2）由線面垂直得CD⊥PA，由條件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能證明AE⊥平面PCD．（3）過點E作EM⊥PD，AM在平面PCD內的射影是EM，則AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．【解答】（1）解：在四棱錐P﹣ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB與平面PAD所成的角，在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°，∴PB和平面PAD所成的角的大小為45°．（2）證明：在四棱錐P﹣ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，由條件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂線定理得CD⊥PC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，又AE?面PAC，∴AE⊥CD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA，∵E是PC的中點，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，綜上，AE⊥平面PCD．（3）解：過點E作EM⊥PD，AM在平面PCD內的射影是EM，則AM⊥PD，∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由已知得∠CAD=30°，設AC=a，得PA=a，AD=，PD=，AE=，在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM?PD=PA?AD，∴AM==，在Rt△AEM中，sin∠AME=．∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值為．19.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中．（I）求證：AC⊥BD1；（Ⅱ）是否存在直線與直線AA1，CC1，BD1都相交？若存在，請你在圖中畫出兩條滿足條件的直線（不必說明畫法及理由）；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與平面垂直的性質；平面的基本性質及推論．【分析】（Ⅰ）連結BD，推導出D1D⊥AC，AC⊥BD．由此能證明AC⊥BD1．（Ⅱ）作出滿足條件的直線一定在平面ACC1A1中，且過BD1的中點并與直線A1A，C1C相交．【解答】（本題滿分9分）（Ⅰ）證明：如圖，連結BD．∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1，∴D1D⊥平面ABCD．∵AC?平面ABCD，∴D1D⊥AC．∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BDD1．∵BD1?平面BDD1，∴AC⊥BD1．…（Ⅱ）存在．答案不唯一，作出滿足條件的直線一定在平面ACC1A1中，且過BD1的中點并與直線A1A，C1C相交．下面給出答案中的兩種情況，其他答案只要合理就可以給滿分．20.已知函數在點處取得極大值5，其導函數的圖象經過點(1,0),(2,0),如圖所示．（1）求及a，b，c的值；（2）求函數f(x)在區間[0,3]上的最大值和最小值．參考答案：（1），，，；（2），【分析】（1）根據導函數圖象可得原函數單調性，知在處取得極大值，求得；利用，，構造方程組可求得結果；（2）根據函數的單調性，可知，，求出函數值即可得到結果.【詳解】（1）由圖象可知：在上，；在上，；在上，在，上單調遞增，在上單調遞減在處取得極大值

又且，，得：，解得：，，（2）由（1）得，則可知：在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，，21.（1）的三邊倒數成等差數列，求證：

（2）證明：參考答案：（1）證明略

（2）證明略

略22.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講設函數.（Ⅰ）若解不等式；

（Ⅱ）如