湖南省邵陽市板橋學校2021年高二數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過橢圓內的一點P（2，﹣1）的弦，恰好被P點平分，則這條弦所在的直線方程是(

)A．5x﹣3y﹣13=0 B．5x+3y﹣13=0 C．5x﹣3y+13=0 D．5x+3y+13=0參考答案：A考點：橢圓的簡單性質；中點坐標公式．專題：計算題．分析：設過點P的弦與橢圓交于A1，A2兩點，并設出他們的坐標，代入橢圓方程聯立，兩式相減，根據中點P的坐標可知x1+x2和y1+y2的值，進而求得直線A1A2的斜率，根據點斜式求得直線的方程．解答：解：設過點P的弦與橢圓交于A1（x1，y1），A2（x2，y2）兩點，則，且x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，∴kA1A2==．∴弦所在直線方程為y+1=（x﹣2），即5x﹣3y﹣13=0．故選A．點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質和直線與橢圓的位置關系．涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化2.我們把底面是正三角形，頂點在底面的射影是正三角形中心的三棱錐稱為正三棱錐。現有一正三棱錐放置在平面上，已知它的底面邊長為2，高為，在平面上，現讓它繞轉動，并使它在某一時刻在平面上的射影是等腰直角三角形，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．.

D．參考答案：【知識點】三垂線定理.【答案解析】C解析：解：圖(1)

圖(2)

圖(3)如圖（1）當繞BC旋轉至P點在底面的射影正好在BC中點D時,假如正三棱錐在平面上的射影正好是等腰直角,連接DA.,設P點在底面ABC上的射影點為H,其在DA上，連接PH，PH=h為正三棱錐的高，其中=1，,,,，而當時滿足題意，PH值再大就會使錐在底面的射影是四邊形了.當繼續旋轉至如圖（2）時，假如正好是三棱錐在底面的射影是等腰直角三角形且面垂直于底面，設點P在面的射影點為,取BC的中點為E，連接AE..,設P點在底面中的射影為O,連接PO,設PO=h，在中，，=所以，如果PO值再大，三棱錐在面內的射影就又是四邊形了，再小可繼續旋轉直到側面PBC為等腰直角三角形時就成了圖（3）狀態，也合題意，此時如圖E為BC中點，O仍為P在底面三角形ABC射影，連接AE.PE.PO,,PE=1,則，所以綜上，的取值范圍是.

故選：C．【思路點撥】由題意可知變化過程中，圖形為三種情況，依次考慮即可.3.一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先求球半徑，再求球體積.【詳解】因為，所以,選B.【點睛】本題考查球表面積與體積，考查基本求解能力，屬基礎題.4.下列函數中與為同一函數的是（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：C略5.雙曲線的離心率是2，則的最小值為（）A、1

B、2

C、

D、參考答案：C6.橢圓的中心，右焦點，右頂點，右準線與軸的交點依次為，則的最大值為

（

）

不能確定參考答案：．解析：.（時取等號）7.下列函數是偶函數，且在上單調遞增的是A．

B．

C．

D．參考答案：D8.某校高一、高二年級各有7個班參加歌詠比賽，他們的得分的莖葉圖如圖所示，對這組數據分析正確的是

()．A．高一的中位數大，高二的平均數大B．高一的平均數大，高二的中位數大C．高一的中位數、平均數都大D．高二的中位數、平均數都大

參考答案：A

高一的中位數為93，平均數為91；高二的中位數為89，平均數為92.4.9.三棱柱中，側棱底面，底面三角形是正三角形，是中點，則下列敘述正確的是（

）． A．與是異面直線 B．平面 C．，為異面直線，且 D．平面參考答案：C選項中，和共面于，故項錯誤；選項中，與成角，所以不可能直面于平面，故項錯誤；選項中，∵是正三角形，是中點，∴，又∵，∴，故正確；選項中，，與平面相交，所以與平面相交，故錯誤．綜上，故選．10.已知雙曲線：與雙曲線：，給出下列說法，其中錯誤的是（

）A.它們的焦距相等 B.它們的焦點在同一個圓上C.它們的漸近線方程相同 D.它們的離心率相等參考答案：D由題知．則兩雙曲線的焦距相等且，焦點都在圓的圓上，其實為圓與坐標軸交點．漸近線方程都為，由于實軸長度不同故離心率不同．故本題答案選，二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若圓B:x2＋y2＋b＝0與圓C:x2＋y2－6x＋8y＋16＝0沒有公共點，則b的取值范圍是________________．參考答案：－4＜b＜0或b＜－64略12.給出下面類比推理命題(其中Q為有理數集，R為實數集，C為復數集)：①“若a、b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若a、b∈C，則a－b＝0?a＝b”；②“若a、b、c、d∈R，則復數a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出；“若a、b、c、d∈Q，則a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”；③“若a、b∈R，則a－b>0?a>b”類比推出“若a、b∈C，則a－b>0?a>b”；④“若x∈R，則|x|<1?－1<x<1”類比推出“若z∈C，則|z|<1?－1<z<1”．其中類比結論正確的命題序號為________(把你認為正確的命題序號都填上)．參考答案：①②13.一組數據2，x，4，5，10的平均值是5，則此組數據的標準差是．參考答案：【考點】BC：極差、方差與標準差．【分析】由一組數據2，x，4，5，10的平均值是5，求出x=4，由此能求出此組數據的標準差．【解答】解：∵一組數據2，x，4，5，10的平均值是5，∴（2+x+4+5+10）=5，解得x=4，∴S2=[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（10﹣5）2]=，此組數據的標準差S==．故答案為：．【點評】本題考查一組數據的標準差的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意平均數、標準差的定義的合理運用．14.若平面α的一個法向量為=（4，1，1），直線l的一個方向向量為=（﹣2，﹣3，3），則l與α所成角的正弦值為．參考答案：【考點】空間向量的夾角與距離求解公式．【分析】設l與α所成角為θ，由sinθ=|cos＜＞|，能求出l與α所成角的正弦值．【解答】解：∵平面α的一個法向量為=（4，1，1），直線l的一個方向向量為=（﹣2，﹣3，3），設l與α所成角為θ，則sinθ=|cos＜＞|===．∴l與α所成角的正弦值為．故答案為：．【點評】本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．15.命題“x∈R，x≤1或x2＞4”的否定是

．參考答案：?x∈R，x＞1且x2≤4【考點】命題的否定．【專題】閱讀型．【分析】存在性命題”的否定一定是“全稱命題”．?的否定為?，x≤1或x2＞4的否定為x＞1且x2≤4【解答】解：析已知命題為存在性命題，故其否定應是全稱命題、答案?x∈R，x＞1且x2≤4【點評】本題考查了命題的否定，屬于基礎題16.下列幾個命題：①方程的有一個正實根，一個負實根，則．②函數是偶函數，但不是奇函數．③函數的值域是，則函數的值域為．④一條曲線和直線的公共點個數是，則的值不可能是1．其中正確的有_________________

參考答案：17.已知,：（）,若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為__________.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x﹣4．設圓C的半徑為1，圓心在l上．（1）若圓心C也在直線y=x﹣1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．參考答案：【考點】圓的切線方程；點到直線的距離公式；圓與圓的位置關系及其判定．【分析】（1）聯立直線l與直線y=x﹣1解析式，求出方程組的解得到圓心C坐標，根據A坐標設出切線的方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出切線方程即可；（2）設M（x，y），由MA=2MO，利用兩點間的距離公式列出關系式，整理后得到點M的軌跡為以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．【解答】解：（1）聯立得：，解得：，∴圓心C（3，2）．若k不存在，不合題意；若k存在，設切線為：y=kx+3，可得圓心到切線的距離d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，則所求切線為y=3或y=﹣x+3；（2）設點M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化簡得：x2+（y+1）2=4，∴點M的軌跡為以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，又∵點M在圓C上，C（a，2a﹣4），∴圓C與圓D的關系為相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【點評】此題考查了圓的切線方程，點到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關系的判定，涉及的知識有：兩直線的交點坐標，直線的點斜式方程，兩點間的距離公式，圓的標準方程，是一道綜合性較強的試題．19.已知函數f（x）=2ax3+bx2﹣6x在x=±1處取得極值（1）討論f（1）和f（﹣1）是函數f（x）的極大值還是極小值；（2）試求函數f（x）在x=﹣2處的切線方程；（3）試求函數f（x）在區間[﹣3，2]上的最值．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；函數在某點取得極值的條件；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）f'（x）=6ax2+2bx﹣6，在x=1處取得極值，則f′（1）=6a+2b﹣6=0；在x=﹣1處取得極值，則f′（﹣1）=6a﹣2b﹣6=0；解得a=1；b=0；所以f（x）=2x3﹣6x；由此能導出f（1）是極小值；f（﹣1）是極大值．（2）f′（﹣2）=6×22﹣6=18；在x=﹣2處的切線斜率為18．由此能求出切線方程．（3）f（x）=2x3﹣6x；，f′（x）=6x2﹣6；使f′（x）=6x2﹣6=0，得x=±1，由此能求出函數f（x）在區間[﹣3，2]上的最值．【解答】解：（1）f'（x）=6ax2+2bx﹣6，在x=1處取得極值，則f′（1）=6a+2b﹣6=0；在x=﹣1處取得極值，則f′（﹣1）=6a﹣2b﹣6=0；解得a=1；b=0；∴f（x）=2x3﹣6x；f′（x）=6x2﹣6，由f′（x）=6x2﹣6=0，得x=±1．列表：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑極大值↓極小值↑∴f（1）是極小值；f（﹣1）是極大值．（2）f′（﹣2）=6×22﹣6=18；在x=﹣2處的切線斜率為18；而f（﹣2）=2x3﹣6x=﹣4；∴切線方程y=18x+32；（3）f（x）=2x3﹣6x；f′（x）=6x2﹣6；使f′（x）=6x2﹣6=0，得x=±1，已經知道了f（1）=﹣4是極小值，f（﹣1）=4是極大值，下面考察區間端點：f（2）=2x3﹣6x=4；f（﹣3）=2x3﹣6x=﹣36∴最大值是f（﹣1）=f（2）=4；最小值是f（﹣3）=﹣36．20.設函數

的定義域為A，若命題與有且只有一個為真命題，求實數的取值范圍．參考答案：解：，……………1分若為真，則，即；……………3分若為真，則，即；……………5分若真假，則所以無解；……………8分ks5u若假真，則，所以或．……………11分綜上，……………12分21.本公司計劃2012年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為元/分鐘和200元/分鐘，甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？參考答案：解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得

目標函數為．…………………3分

二元一次不等式組等價于

作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域．

如圖：

………………6分

作直線，

即．

平移直線，從圖中可知，當直線過點時，目標函數取得最大值．

聯立解得．

點的坐標為．

…………10分答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺