二項(xiàng)分布與超幾何分布的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.明確二項(xiàng)分布和超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系;2.具體情境問題中,會(huì)依據(jù)“四看”正確識(shí)別概率模型;3.能利用所學(xué)的概率知識(shí),解決相關(guān)概率問題,能夠從實(shí)際問題中抽象出實(shí)際概率模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.1.二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為【知識(shí)回顧】如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為:其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

2.超幾何分布【知識(shí)回顧】【知識(shí)回顧】【典例分析】二項(xiàng)分布和超幾何分布模型中的參數(shù)有哪些，其含義分別是什么？N—總體中的個(gè)體總數(shù)M—總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量k—樣本中的特殊個(gè)體數(shù)（如次品數(shù))超幾何分布二項(xiàng)分布n—試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)p—試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率【典例分析】例1.一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本．用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)．分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列.【典例分析】【教材79頁例6】【典例分析】解：對(duì)于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗(yàn)之間的結(jié)果是獨(dú)立的，因此X~B(20,0.4)，X的分布列為對(duì)于不放回摸球,各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立,X服從超幾何分布,X的分布列為n重伯努利試驗(yàn)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布隨機(jī)變量服從超幾何分布【典例分析】教材中對(duì)兩種分布模型的解釋：在N件產(chǎn)品中有M件次品，無放回地任取n件，其中次品數(shù)X服從超幾何分布，在N件產(chǎn)品中有M件次品，有放回地任取n件，其中次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布.從中可以看出，抽取方式是有放回還是無放回，是判斷超幾何分布與二項(xiàng)分布的一個(gè)關(guān)鍵條件：超幾何分布是無放回，二項(xiàng)分布是有放回.【典例分析】例2.某批n件產(chǎn)品的次品率為2％，現(xiàn)從中任意地依次抽出3件進(jìn)行檢驗(yàn)；（1）計(jì)算n=500,5000,50000時(shí)，分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？（2）根據(jù)（1）你對(duì)超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系有何認(rèn)識(shí)？解：(1)在放回的方式抽取中，每次抽取時(shí)都是從這n件產(chǎn)品中抽取，從而抽到次品的概率都為0.02．次品數(shù)X~B(3,0.02)，恰好抽到1件次品的概率為概率計(jì)算【典例分析】在不放回的方式抽取中，抽到的次品數(shù)X是隨機(jī)變量，X服從超幾何分布，X的分布與產(chǎn)品的總數(shù)n有關(guān)，所以需要分3種情況分別計(jì)算：【典例分析】【典例分析】（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果可以看出，當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布.這也是可以理解的，當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽出的產(chǎn)品較少時(shí)，每次抽出產(chǎn)品后，次品率近似不變，這樣就可以近似看成每次抽樣的結(jié)果是互相獨(dú)立的，抽出產(chǎn)品中的次品件數(shù)近似服從二項(xiàng)分布.超幾何分布和二項(xiàng)分布既有區(qū)別又有聯(lián)系，超幾何分布的極限是二項(xiàng)分布【典例分析】例3.寒假期間，我市某校學(xué)生會(huì)組織部分同學(xué)，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光花園”社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖所示記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)，若幸福度分?jǐn)?shù)不低于8.5分，則稱該人的幸福度為"幸福".(1)求從這16人中隨機(jī)選取3人，至少有2人為“幸福”的概率；(2)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“幸福”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.【典例分析】解解：(1)由表可知，抽取的16人中“幸福”的人數(shù)有12人，其他的有4人;記“從這16人中隨機(jī)選取3人，至少有2人是“幸福"為事件A.由題意得錯(cuò)解【典例分析】解(2)正解【準(zhǔn)確判斷】判斷依據(jù)1：抽樣方式判斷依據(jù)2：總體數(shù)量是多還是少判斷依據(jù)3：每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率相同還是不同超幾何分布是無放回抽樣，二項(xiàng)分布是不放回抽樣當(dāng)總體的數(shù)量比較大，抽取樣本的數(shù)量很少時(shí)，即使不放回,每次抽取，事件發(fā)生的概率幾乎不變，這樣就可以認(rèn)為每次抽取結(jié)果是相互獨(dú)立的，進(jìn)而將超幾何分布近似的看做二項(xiàng)分布來處理.二項(xiàng)分布在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不變的，超幾何分布是變化的.【課堂練習(xí)】例4.

某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495]，…，(510，515].由此得到樣本的頻率分布直方圖如下.(1)求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列.【課堂練習(xí)】解:(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件).(2)質(zhì)量超過505的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則質(zhì)量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的取值為0，1，2，X服從超幾何分布.∴X的分布列為【課堂練習(xí)】(3)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2重伯努利試驗(yàn)，質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，且∴Y的分布列為【課堂小結(jié)】做好"四看"，正確識(shí)別模型一看：總體數(shù)是否給出，未給出或給出總體數(shù)較大時(shí)，一般考查二項(xiàng)分布；二看：看抽樣方法，若是有放回抽樣，則是二項(xiàng)分布，若是不放回抽樣，則需要考慮總體數(shù)再確定；三看：看一次