湖南省益陽市山口中學高二數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設則的關系是(

)A．

B．

C．

D．無法確定參考答案：C略2.函數f（x）=x3﹣x2﹣x（0＜x＜2）極小值是（）A．0 B．﹣1 C．2 D．1參考答案：B【考點】6D：利用導數研究函數的極值．【分析】求出函數的導數，解關于導函數的不等，求出函數的單調區間，從而求出函數的極小值即可．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1），（0＜x＜2），令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（0，1）遞減，在（1，2）遞增，故f（x）極小值=f（1）=﹣1，故選：B．3.甲、乙、丙三位同學上課后獨立完成5道自我檢測題，甲及格概率為，乙及格概率為，丙及格概率為，則三人中至少有一人及格的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】相互獨立事件的概率乘法公式．【分析】先求出甲、乙、丙三位同學不及格的概率，三人中至少有一人及格的對立事件為三人都不及格，求出三人都不及格則三人中至少有一人及格的概率為1減三人都不及格的概率．【解答】解：設甲及格為事件A乙及格為事件B，丙及格為事件C，則P（A）=，P（B）=，P（C）=∴P（）=，P（）=，P（）=格，則P（）=P（）P（）P（）==∴P（ABC）=1﹣P（）=故選D4.命題若，則是的充分而不必要條件；

命題函數的定義域是，則

（

）A．“或”為假

B．“且”為真

C．真假

D．假真參考答案：D略5.在平行六面體中，設，則等于（）A、

B、

C、

D、參考答案：D略6.運行如圖的程序框圖，則輸出s的結果是（）A．B．C．D．參考答案：B7.已知方程有兩個正根，則實數的取值范圍是（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D略8.從集合中隨機取出一個數，設事件為“取出的數為偶數”，事件為“取出的數為奇數”，則事件與（

）A．是互斥且對立事件

B．是互斥且不對立事件C．不是互斥事件

D．不是對立事件

參考答案：A9.若，則復數在復平面上對應的點在A.第一象限

B.第二象限

C.

第三象限

D.第四象限參考答案：D10.中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究.設a，b，m(m＞0)為整數，若a和b被m除得余數相同，則稱a和b對模m同余.記為.若，，則b的值可以是（

）A.2019 B.2020 C.2021 D.2022參考答案：A【分析】先利用二項式定理將a表示為，再利用二項式定理展開，得出a除以10的余數，結合題中同余類的定義可選出合適的答案。【詳解】，則，所以，除以的余數為，以上四個選項中，除以的余數為，故選：A.【點睛】本題考查二項式定理，考查數的整除問題，解這類問題的關鍵就是將指數冪的底數表示為與除數的倍數相關的底數，結合二項定理展開式可求出整除后的余數，考查計算能力與分析問題的能力，屬于中等題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若x>0,y>0且，則xy的最小值是

；參考答案：6412.將集合{|且}中的元素按上小下大，左小右大的順序排成如圖的三角形數表，將數表中位于第行第列的數記為（）,則=

.參考答案：14413.在二項式的展開式中，前三項的系數成等差數列，把展開式中所有的項重新排成一列，則有理項互不相鄰的概率為__________（用最簡分數表示）.參考答案：由題意可知，展開式的通項為：（0，1，2，…，），則有，得.則當時，為整數，即在展開式的9項中，有3項為有理項，則所求的概率為14.若是正數，且滿足，用表示中的最大者，則的最小值為__________參考答案：略15.已知向量a和b的夾角為60°，|a|＝3，|b|＝4，則（2a–b）a等于________參考答案：12，略16.數列的通項公式（N*），，試通過計算的值，推測出的表達式為

.參考答案：17.根據如圖所示的算法流程圖，可知輸出的結果i為________．參考答案：7三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.把半橢圓=1（x≥0）與圓弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲線稱作“曲圓”，其中F（c，0）為半橢圓的右焦點．如圖，A1，A2，B1，B2分別是“曲圓”與x軸、y軸的交點，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面積為．（1）求a，c的值；（2）過點F且傾斜角為θ的直線交“曲圓”于P，Q兩點，試將△A1PQ的周長L表示為θ的函數；（3）在（2）的條件下，當△A1PQ的周長L取得最大值時，試探究△A1PQ的面積是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請求出面積的取值范圍．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）由扇形FB1A1B2的面積為可得a，在△OFB2中，tan∠OFB2=tan60°=，又因為c2+b2=a2，可得c．（2）分①當θ∈（0，）；

②當θ∈（）；

③當θ∈（，）求出△A1PQ的周長；（3）在（2）的條件下，當△A1PQ的周長L取得最大值時P、Q在半橢圓：（x≥0）上，利用弦長公式、點到直線的距離公式，表示面積，再利用單調性求出范圍．【解答】解：（1）∵扇形FB1A1B2的面積為=，∴a=2，圓弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）與y軸交點B2（0，b），在△OFB2中，tan∠OFB2=tan60°=，又因為c2+b2=a2，∴c=1．（2）顯然直線PQ的斜率不能為0（θ∈（0，π）），故設PQ方程為：x=my+1由（1）得半橢圓方程為：（x≥0）與圓弧方程為：（x﹣1）2+y2=4（x＜0），且A1（﹣1，0）恰為橢圓的左焦點．①當θ∈（0，）時，P、Q分別在圓弧：（x﹣1）2+y2=4（x＜0）、半橢圓：（x≥0）上，△A1PO為腰為2的等腰三角形|A1P|=4sin，△A1PQ的周長L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4sin，②當θ∈（）時，P、Q分別在圓弧：（x﹣1）2+y2=4（x＜0）、半橢圓：（x≥0）上，△A1PO為腰為2的等腰三角形|A1P|=4cos，△A1PQ的周長L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4cos，③當θ∈（，）時，P、Q在半橢圓：（x≥0）上，△A1PO為腰為2的等腰三角形|A1P|=4sin，△A1PQ的周長L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=4a=8（3）在（2）的條件下，當△A1PQ的周長L取得最大值時P、Q在半橢圓：（x≥0）上，聯立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0y1+y2=，y1y2=．|PQ|=，點A1到PQ的距離d=．△A1PQ的面積s=|PQ|?d=12．令m2+1=t，t∈[1，]，s=12=12；∵g（t）=9t+在[1，+]上遞增，∴g（1）≤g（t）≤g（），；10≤g（t）≤，≤s≤3∴△A1PQ的面積不為定值，面積的取值范圍為：[]19.（12分）已知圓（其中O為圓心）上的每一點橫坐標不變，縱坐標變為原來的一半，得到曲線C。（1）求曲線C的方程；（2）若點P為曲線C上一點，過點P作曲線C的切線交圓O于不同的兩點A，B（其中A在B的右側），已知點。求四邊形面積的最大值。

參考答案：解：（1）設曲線上任意一點，則為上的點，，曲線。（2）易知直線的斜率存在，設，，，即，因為,設點到直線的距離為，則，，，由，，，，而，，易知，，，，。20.如圖所示，圓的兩弦和交于點，∥，交的延長線于點，切圓于點.（1）求證：△∽△；（2）如果=1，求的長.參考答案：（1）證明

.，.又

∽

…

4分（2）解∽，∴=..又切圓于，...

已知.

…

8分21.已知四棱錐的底面是正方形，底面，是上的任意一點。（1）求證：平面平面；（2）當時，求二面角的大小．參考答案：(1)底面,所以………2分底面是正方形,所以…………………4分所以平面又平面所以平面平面………………5分（2）證明：如圖所示建立空間直角坐標系，點為坐標原點，所在的直線分別為軸.設.由題意得，,…………………6分，又設平面的法向量為，則，令，則，…………8分，，設平面的法向量為，則，令，則，……………10分設二面角的平面角為，則.顯然二面角的平面角為為鈍角，所以，即二面角的大小為.……………12分22.