高中物理解題方法之8：波函數法（解析版）江蘇省特級教師戴儒京內容提要：關于“振動和波”的題目，本文除了用傳統方法解以外，還用另一種方法——鮮為人知的“波函數法”去解，波函數法比傳統方法更“數學”一些，也是培養“用數學工具解決物理問題的能力”吧。關鍵詞：波函數，振動方程，波動公式，振動和波，一、什么是波函數？波函數的定義：為了定量地描述介質中波動的情況，必修求得介質中各質元的位移與該質元所處的平衡位置及時間的定量關系，這種定量關系就是波的表達式，也叫做波函數（wavefunction）。二、簡諧波函數的推導設有一波前為平面的簡諧波，在均勻介質中沿軸正方向傳播，波速為。由于這是一種平面波，所以在與軸垂直的平面上，各點的振動情況是一樣的。所以只要討論軸上各點的振動，就可以知道空間中各點的情況。以O點為波源，設該處質元做簡諧振動，其位移與時間的關系為式中A為振幅，為角頻率。考察波線O上的任一點P，它離O點的距離為，當波源O的振動傳到P點時，P點的質元將重復O點的質元的振動，角頻率也相同，但振動的相位要落后于O點。因為O點的振動傳到P點需要時間，所以P處質元在時刻的振動相位和O點質元在時刻的振動相位一樣，即其相位為因為平面簡諧波傳播時各質元的振幅相等，P處質元在時刻的位移為，這就是平面簡諧波的波函數。因為,,所以波函數也可以寫為當取某一確定值時，波函數便是某質點的振動方程，例如，便是振源O的振動方程。據此可以畫出該質點的振動圖象。當取某一確定值時，波函數便是某時刻的波動方程，例如，便是時刻的波動函數方程。據此可以畫出該時刻的波的圖象。三、波函數的應用：解高考“振動與波”題振動與波的問題，歷來是高考的熱點。不論原大綱高考，還是新課標高考，振動與波的問題，都占有一席之地。2010年高考的波的圖象問題，又有新動向。如2010年高考上海物理卷第20題，是一道關于波的圖象的難題，難在哪？難在兩點間的距離不是的整數倍，還難在波的傳播時間不是的整數倍，而以往的高考題往往都是的整數倍。筆者經認真研究，給出本題的不同于一般的解法：用波函數解，當然，也就給出了此類題的此種解法。因為2010年高考其它省市的理綜或物理試卷中，關于機械振動和機械波的題目，也有此類情況，這，就是高考題的發展與變化的規律。例1.如圖1，一列沿軸正方向傳播的簡諧橫波，振幅為，波速為，在波的傳播方向上兩質點的平衡位置相距（小于一個波長），當質點在波峰位置時，質點在軸下方與軸相距的位置，則圖1（A）此波的周期可能為（B）此波的周期可能為（C）從此時刻起經過，點可能在波谷位置（D）從此時刻起經過，點可能在波峰位置解法1圖象法：形象思維解題法對AB選項，根據題意，有兩種情況：第1種情況：波的圖象如圖2，從圖象得，，，根據，，所以波長，周期，A正確。圖2第2種情況：波的圖象如圖3，從圖象得，，，，根據，，所以，波長，周期。圖3因為只有以上兩種情況，所以B錯誤。對CD選項，根據以上兩種情況，也有兩種有兩種對應的情況：第1種情況：波長是的波，在波的圖象如圖4，從圖象知，b在波谷，所以C正確。圖4第2種情況，波長是的波，波的圖象如圖5，從圖象知，的在波峰，所以D正確。圖5綜上各圖，所以本題選ACD。解法2.波函數解法：抽象思維解題法波函數，在求出波長和周期后，第1種情況，振幅，周期，波長，所以具體波函數是，將和代入波函數得：，是波谷；所以C正確。第2種情況，振幅，周期，波長，所以具體波函數是，將和代入波函數得：，是波峰；所以D正確。所以本題選ACD。例2.有兩列簡諧橫波a、b在同一媒質中沿x軸正方向傳播，波速均為v＝2.5m/s。在t＝0時，兩列波的波峰正好在x＝2.5m處重合，如圖所示。（1）求兩列波的周期Ta和Tb。（2）求t＝0時，兩列波的波峰重合處的所有位置。（3）辨析題：分析并判斷在t＝0時是否存在兩列波的波谷重合處。 某同學分析如下：既然兩列波的波峰存在重合處，那么波谷與波谷重合處也一定存在。只要找到這兩列波半波長的最小公倍數，……，即可得到波谷與波谷重合處的所有位置。 你認為該同學的分析正確嗎？若正確，求出這些點的位置。若不正確，指出錯誤處并通過計算說明理由。分析：本題考查機械波的圖象和用數學方法解決物理問題。（1）從圖象可以直接讀出波長，然后根據波速公式求周期。（2）根據兩列波的波峰重合處的已知的一個位置，求兩列波的波長的最小公倍數，可求兩列波的波峰重合處的所有位置，因為每經過一個波長就是一個波峰。原解答：（1）從圖中可以看出兩列波的波長分別為λa＝2.5m，λb＝2.5+1.5=4.0m，因此它們的周期分別為s＝1s s＝1.6s（2）兩列波的波長的最小公倍數為 S＝20m在t＝0時，兩列波的波峰重合處的所有位置為 x＝（2.520k）m，k＝0，1，2，3，…… （3）該同學的分析不正確。要找兩列波的波谷與波谷重合處，必須從波峰重合處出發，找到這兩列波半波長的奇數倍恰好相等的位置。設距離x＝2.5m為L處兩列波的波谷與波谷相遇，并設L＝（2m－1） L＝（2n－1），式中m、n均為正整數只要找到相應的m、n即可將λa＝2.5m，λb＝4.0m代入并整理，得由于上式中m、n在整數范圍內無解，所以不存在波谷與波谷重合處。本人原創解法：波函數解法（1）從圖中可以看出兩列波的波長分別為λa＝2.5m，λb＝2.5+1.5=4.0m，因此它們的周期分別為s＝1s s＝1.6s（2）從圖中可以求出在t＝0時兩列波的波函數分別為：，兩列波的波峰所有位置分別為：，，，（m=0,1,2,3…），，，（n=0,1,2,3,…）兩列波的波峰重合處的所有位置為，即=，，當（k=0,1,2,3…）時,m為整數，所以當（k=0,1,2,3…）時兩列波的波峰重合（包括第1此重合處，即k=0，x=2.5m處）。(3)兩列波的波谷所有位置分別為：，，，（m=0,1,2,3…），，，（n=0,1,2,3,…）兩列波的波谷重合處的位置應該為，即+1.25=，，當n=0,1,2,3,4,5…時，m=,,,,,…即m無論取什么值，n都不能為整數，所以兩列波的波谷重合處是沒有的。該同學的做法是：假設存在一個兩列波的波谷與波谷重合處，尋找另外的重合處，可用該同學的方法，該同學錯誤之處在于假設不成立，因為沒有一個兩列波的波谷與波谷重合處。此題在解題方法上給我們深刻的啟示：從此題可以看出，解題方法不能生搬硬套。本題中，已知一個兩列波的波峰與波峰重合處，求其它重合處，可用求波長的最小公倍數的方法。而該同學生搬硬套，還用求這兩列波半波長的最小公倍數的方法，雖然他注意了把波長的最小公倍數改為半波長的最小公倍數，仍然是錯誤的，因為第1個波谷與波谷重合處的假設不成立。例3．圖甲為一列簡諧橫波在t=0.10s時的波形圖，P是平衡位置為x=1m處的質點，Q是平衡位置為x=4m處的質點，圖乙為質點Q的振動圖像，則（）A、t=0.15s時，質點Q的加速度達到正向最大B、t=0.15s時，質點P的運動方向沿y軸負方向C、從t=0.10s到t=0.25s，該波沿x軸正方向傳播了6mD、從t=0.10s到t=0.25s，質點P通過的路程為30cm【答案】AB【分析】本題考查振動圖像和波動圖像的綜合應用。由圖乙可知t=0.15s時，質點Q到達波谷，其加速度達到正向最大，A選項正確；圖甲表示0.10s時的波形圖，t=0.10s時由圖乙可知質點Q正經過平衡位置向下振動，結合圖甲可知這列波向左傳播（因為波向左傳播，Q才處在“上坡”的位置，其運動方向才向下）。又由圖甲可知波長為8m，由圖乙可知周期為0.20s，波速v=λ/T=40m/s,從0.10s到0.15s時間段內，波向左平移s=vt=2m。畫出此時的波形如下圖（將波向左平移2m）從圖可以發現，此時質點P的運動方向沿y軸負方向，B選項正確；從t=0.10s到t=0.25s，該波沿x軸負方向傳播的距離s=vt=6m，C選項方向判斷錯誤；從t=0.10s到t=0.25s，經過的時間為0.15s，等于即0.05s的3倍，質點P做變速運動，通過的路程不能用來計算（從平衡位置或正負最大位移處開始計時，才能這樣算），實際路程不等于30cm（此處有的同學禁不住問：不是30cm,是多少呢？且往下看）。答案選擇AB。【進一步研究】此題可用波函數定量地解。本題的波函數解法：因為時刻波方程是，波函數基本函數式是（因為本題波向左傳播，所以式中負號改為正號）由圖甲可知波長為8m，振幅為A=10cm,由圖乙可知周期為T=0.20s，所以本題波函數可以寫為==1\*GB3①A選項：Q點的振動方程是=2\*GB3②對=2\*GB3②式求導數得速度函數==3\*GB3③對=3\*GB3③式求導數得加速度函數1000=4\*GB3④將t=0.15s代入=4\*GB3④式得1000，是正最大，所以A正確；B選項：P點的振動方程是=5\*GB3⑤對=5\*GB3⑤式求導數得速度函數==6\*GB3⑥將t=0.15s代入=6\*GB3⑥式得=，為負，所以B正確；C選項：t=0.10s時的波函數可以寫為=cm===7\*GB3⑦t=0.25s時的波函數可以寫為=cm===8\*GB3⑧根據=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧兩式，用電子計算機Excel分別畫出t=0.10s時和t=0.25s時的圖象如下圖：從圖可以看出，從t=0.10s到t=0.15s，該波的波形從y1變成y2，該波沿x軸負方向傳播了6m，例如波峰從10到4，所以C錯誤。D選項：從上圖可以看出，t=0.10s時刻，質點P（x=1）的位移為7cm，t=0.15s時刻，質點P（x=1）的位移為-7cm，因為t=0.10s時刻和t=0.25s時刻質點P的運動方向都是向上，所以t=0.10s到t=0.25s，質點P通過的路程為3+10+10+3cm=26cm，所以D錯誤。注意：此處算出了從t=0.10s到t=0.25s，質點P通過的路程，回答了同學的疑問。例4.在時刻，質點A開始做簡諧運動，其振動圖象如圖乙所示。質點A振動的周期是▲s；時，質點A的運動沿軸的▲方向（填“正”或“負”）；質點B在波動的傳播方向上與A相距16m，已知波的傳播速度為2m/s，在時，質點B偏離平衡位置的位移是cm答案：（2）4正10解法1：圖象法從振動圖象可直接讀出周期為4s，把圖象延長，可以看出，時，質點A的運動方向沿軸的正方向。先求波長，所以B與A相距16m，為2個波長，波從A傳播到B的時間為2個周期，即8，在時，質點B振動了個周期，所以偏離平衡位置的位移大小等于振幅A，是10cm。解法2：波函數法本題的波函數為，其中，4s,，所以波函數為，對于A，，當時，，當時，，所以當時，質點A的運動方向沿軸的正方向。對于B，，當時，。點評：本題考查了振動圖象，振動方向，以及波的傳播。重要的是波傳播過程中時間與空間的對應關系，即每經過一個周期的時間，波傳播一個波長。本題是逆向應用，即波傳播2個波長，對應的時間是2個周期。例5.（1）圖1為一簡諧波在t=0時刻的波形圖，介質中的質點P做簡諧運動的表達式為y=Asin5t，求該波的速度，并畫出t=0.3s時的波形圖(至少畫出一個波長)。【解析1】分析法（1）由簡諧運動的表達式可知，所以，周期由波形圖讀出波長，代入波速公式得。t=0時刻質點P向上運動，故波沿x軸正方向傳播。t=0.3s時波向右傳播了，即，波峰由傳播到，所以t=0.3s時的波形圖如圖2所示。【解析2】波函數法因為在t=0時刻，振源0點運動方向向下，所以波函數，已知p點，即當時，y=Asin5t，所以,。并且，所以，所以波速當t=0.3s時，，所以t=0.3s時的波形圖如圖2所示。例6.一列波長大于1m的橫波沿著軸正方向傳播，處在和的兩質點、的振動圖像如圖所示。由此可知A．波長為mB．波速為C．末、兩質點的位移相同D．末點的振動速度大于點的振動速度答案A【解析1】分析法，由于波沿x正方向傳播，所以A先振動，又由于波長大于1m，所以，所以，，A對，波速，B錯；由振動圖像知，在3s末，、兩質點的位移不相同，C錯；1s末A點速度為零，B點速度最大，D錯。【解析2】波函數法從圖象知，A的振動方程為，B的振動方程為，因為A在前B在后，所以二者的相差是（不是）。根據波函數，對A，，對B，，所以有，解得，A正確。波速，所以B錯誤。CD判斷方法同上。例7．一簡諧振子沿軸振動，平衡位置在坐標原點。＝0時刻振子的位移＝-0．1m；＝時刻＝0．1m；＝4時刻＝0．1m。該振子的振幅和周期可能為(A．0．1m，B．0．1m，8C．0．2m，D．0．2m，8此為ACD)【解析】解法1：圖象法。對A，如圖1，知A正確。圖1對B，如圖2，知B錯誤，因，。圖2對C，有兩種可能情況：情況1，質點在時刻運動方向向上，如圖3，正確。圖3情況2。質點在時刻運動方向向下，如圖4，正確。圖4所以C正確。對D，情況1，質點在時刻運動方向向上，如圖5，正確。圖5情況2如圖6，質點在時刻運動方向向下，因為，。所以不正確。圖6綜合以上兩圖，D也選，因為選可能的。所以本題選ACD。解法2：公式法即波函數法波函數在x一定的情況下變為質點的振動方程。對A，=,根據＝0時刻振子的位移＝-0．1m，振動方程為：，當＝時刻＝0．1m；當＝4時刻＝0．1m，A正確；對B，=,根據＝0時刻振子的位移＝-0．1m，振動方程為：，當＝時刻=0．05m；B錯誤；對C，=,根據A=0．2m及

＝0時刻振子的位移＝-0．1m，振動方程為（對應圖3）：，當＝時刻＝0．1m；＝4時刻＝0．1m，正確；或者方程為（對應圖4）m，當＝時刻＝0．1m；＝4時刻＝0．1m，也正確；所以C正確。對D，=，根據A=0．2m及＝0時刻振子的位移＝-0．1m，振動方程為：，當＝時刻=0．1m，成立；當＝時刻=0．1m，成立；或者振動方程為：，當＝時刻==-0．2m，題干要求=0．1m，不成立；當＝時刻=0．1m，成立；因為題目要求選可能的，所以D也可選；所以本題選ACD。解法3：用Excel作圖法。對C，對應圖3為圖7，方程是：，圖7從圖7可以看出，當＝時刻＝0．1m；＝4時刻＝0．1m；對應圖4為圖8，方程是：，圖8從圖8可以看出，當＝時刻＝0．1m；＝4時刻＝0．1m；兩圖綜合說明，C正確。對D，對應圖5為圖9，方程是：，圖9從圖9可以看出，當＝時刻＝0．1m；＝4時刻＝0．1m；對應圖6為圖10，方程是：，圖10從圖10可以看出，當＝時刻＝-0．2m；＝4時刻＝0．1m；因為凡可能者皆選，所以D也選。綜合以上，本題選ACD。解法4：物理情境分析法對CD兩項，設一彈簧振子，振幅A=0．2m，初始位置即時刻，在的A處，如圖11所示。初速度指向O，則從A到平衡位置的O處，用時間為，從O到位移為的B處，用時間為，從B到位移為即振幅的C處，用時間為，從C到位移為的B處，用時間為，圖11如圖12所示。初速度指向D，則從A到位移為的D處，用時間為，從D回到A，用時間為，然后從A到平衡位置O處，用時間為，對于C，因為周期為，所以當＝時刻，即的時間內，彈簧振子從A經O、B．C又回到B，所以＝0．1m成立；當＝4時刻，即的時間即一個T又內，彈簧振子又回到B，所以＝0．1m成立；另一種情況，時刻，彈簧振子的初速度不是從A向O，而是從A向D，則當＝時刻，即的時間內，彈簧振子從A到D后，又經A．O到B，所以＝0．1m成立；所以C正確。對于D，因為周期為，所以當＝時刻，即的時間內，彈簧振子從A經O到B．所以＝0．1m成立；當＝4時刻，即的時間內，彈簧振子又經C回到B，所以＝0．1m也成立；另一種情況，時刻，彈簧振子的初速度不是從A向O，而是從A向D，則當＝時刻，即的時間內，彈簧振子只能從A到D，＝-0．2m，所以＝0．1m不成立；但當＝4時刻，即的時間內，彈簧振子從A到D后又經A．O到B，所以＝0．1m成立；雖然D項的兩種情況中只有一種情況成立，但因為題干中是“該振子的振幅和周期可能為”所以D也可選正確。因此，本題答案為ACD。本題考查波的圖象，出現非的整數倍的情況，難度：大。例7.一列橫波沿水平繩傳播，繩的一端在t＝0時開始做周期為T的簡諧運動，經過時間t(T＜t＜T)，繩上某點位于平衡位置上方的最大位移處。則在2t時，該點位于平衡位置的(A)上方，且向上運動(B)上方，且向下運動(C)下方，且向上運動(D)下方，且向下運動【解析】波函數公式。為確定起見，我設波長，設,符合條件(T＜t＜T)），則，則分別得到和時刻的波函數：=用Excel作圖如下，蘭線表示t時刻的波形，紅線表示2t時刻的波形。從圖象可以看出，在時刻位于平衡位置上方的最大位移處的某點（），在時刻位于平衡位置的上方。由于它前面的質點在它的下面，所以該質點向上運動，所以A正確。【答案】A【點評】本題考查波的傳播，難度：難例8.如圖，a.b,c.d是均勻媒質中x軸上的四個質點.相鄰兩點的間距依次為2m、4m和6m，一列簡諧橫波以2m/s的波速沿x軸正向傳播，在t=O時刻到達質點a處，質點a由平衡位置開始豎直向下運動，t=3s時a第一次到達最高點。下列說法正確的是(填正確答案標號。選對I個得3分，選對2個得4分，選對3個得6分。每選錯I個扣3分，最低得分為0分)A．在t=6s時刻波恰好傳到質點d處B．在t=5s時刻質點c恰好到達最高點C.質點b開始振動后，其振動周期為4sD.在4s<t<6s的時間間隔內質點c向上運動E.當質點d向下運動時，質點b一定向上運動【解析】A．在t=6s時刻波傳播的距離，，A正確；B．用波函數，其中因為，所以，又,所以，將t=5s代入得t=5s時刻的波的方程，用Excel作出t=5s時刻的波的圖象如下圖從同圖象可以看出，在t=5s時刻質點c（）恰好到達平衡位置，B錯誤。C．質點b開始振動后，其振動周期與a相等為4s，C正確D．用波函數將，，代入得質點C的振動方程為，用Excel作出質點C的振動圖象如下圖從同圖象可以看出，在4s<t<6s的時間間隔內質點c向上運動，D正確。E．b點的振動方程是，d點的振動方程是,用Excel在同一坐標系中作出質點b和d的振動圖象如下圖（蘭線為b,紅線為d）從圖象可以看出，當質點d向下運動時（例如從t=1到3），質點b不一定向上運動，所以E錯誤。綜上所述，本題選ACD。例9.甲乙兩列簡諧橫波在同一介質中分別沿軸正向和負向傳播，波速均為，兩列波在時的波形曲線如圖所示求（=1\*romani）時，介質中偏離平衡位置位移為16的所有質點的坐標（=2\*romanii）從開始，介質中最早出現偏離平衡位置位移為的質點的時間【解答：原解法】（i）t=0時，在x=50cm處兩列波的波峰相遇，該處質點偏離平衡位置的位移16cm.兩列波的波峰相遇處的質點偏離平衡位置的位移均為16cm。從圖線可以看出，甲，乙兩列波長分別為，=1\*GB3①甲，乙兩列波波峰的x坐標分別為，…=2\*GB3②,…=3\*GB3③由=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③式得，介質中偏離平衡位置位移為16cm的所有質點的x坐標為x=（50+300n）cm，，…=4\*GB3④【解析：波函數解法】寫出兩列波時的波函數如下：（）（）用Excel計算插入散點圖，可得到與題圖相同的圖象，如下：增加，得到的是一條兩列波疊加以后的圖象，從圖象可以看出，當時，兩列波的位移都是8，疊加后的波的位移是16.那么，這樣的點還有多少呢？把圖象延長，得到如下的圖象，從圖象中可以看出：當…可以寫出通式x=（50+300n）cm，，…兩列波波峰與波峰相遇，疊加后，偏離平衡位置的位移為32cm。（ii）【原答案】只有兩列波的波谷相遇處的質點的位移為-16cm.t=0時，兩波波谷間的x坐標之差為=5\*GB3⑤式中，和均為整數。將=1\*GB3①式代入=5\*GB3⑤式得=6\*GB3⑥由于，均為整數，相向傳播的波谷間的距離最小為=7\*GB3⑦從=0開始，介質中最早出現偏離平衡位置位移為-16cm的質點的時間為=8\*GB3⑧代入數值得=0.1s=9\*GB3⑨【波函數圖象解法】實際上，從圖象可以看出，當，甲波為波谷，當，乙波為波谷，二者相距最近，由于兩列波向向傳播，所以，時間【點評】本題考查兩列波的疊加，難度：難。例10.一簡諧橫波沿水平繩向右傳播，波速為v，周期為T，振幅為A。繩上兩質點M、N的平衡位置相距3/4波長，N位于M右方。設向上為正，在t=0時M位移為+A/2，且向上運動；經時間t（t<T），M位移仍為+A/2，但向下運動，則（A）在t時刻，N恰好在波谷位置（B）在t時刻，N位移為負，速度向上（C）在t時刻，N位移為負，速度向下（D）在2t時刻，N位移為-A/2，速度向下【波函數解法】因為是選擇題，原題只有答案C而沒有解法。波函數設：振幅，波長，周期時的波函數為因為，所以在時刻的波函數是則在2t時刻，波函數是用電腦Excel作出3個波形圖象，如下圖，其中，蘭線為時的波形圖，紅線為時的波形圖，黃線為2時的波形圖.從圖象可以看出：在t時刻，N不在波谷位置；在t時刻，N位移為負，速度向下，在2t時刻，N位移為0，速度向上。所以答案為C.波函數是解決復雜、疑難的有關波的問題的利器，屢試不爽。大家知道，小學算術應用題難，學會代數就不難；初中平面幾何難，學會解析幾何就不難；同樣，高中物理振動與波題難，學會波函數就不難了。例11.由波源S形成的簡諧橫波在均勻介質中向左、右傳播。波源振動的頻率為20Hz，波速為16m/s。已知介質中P、Q兩質點位于波源S的兩側，且P、Q和S的平衡位置在一條直線上，P、Q的平衡位置到S的平衡位置之間的距離分別為15.8m、14.6m，P、Q開始振動后，下列判斷正確的是_____。（填正確答案標號。選對1個得2分，選對2個得4分，選對3個得5分。每選錯1個扣3分，最低得分為0分）A．P、Q兩質點運動的方向始終相同B．P、Q兩質點運動的方向始終相反C．當S恰好通過平衡位置時，P、Q兩點也正好通過平衡位置D．當S恰好通過平衡位置向上運動時，P在波峰E．當S恰好通過平衡位置向下運動時，Q在波峰【解析】根據題意信息，，根據，得波長為找P點關于S點的對稱點P’,根據對稱性可知P’和P的振動情況完全相同，P’Q兩點相距為半波長的整數倍，所以兩點為反相點，故P’Q兩點振動方向始終相反，則PQ兩點振動方向始終相反，A錯誤B正確；P點距離S點，當S恰好通過平衡位置向上振動時，P點在波峰，Q點相距S點，，當S恰好通過平衡位置向下振動時，Q點在波峰，DE正確。（以上的“解析”，不畫圖象，你信服嗎？）【易錯點】P、Q的平衡位置之間的距離為15.8+14.6=20.4cm，為個波長，所以P、Q兩質點運動的方向始終相反，則B正確，A錯誤。錯誤原因是P、Q在波源的兩側而不是同側。【用波函數和圖象研究】當S恰好通過平衡位置向上運動時，波函數：Y=SIN(2*3.1415926*(X+1.6)/0.8)()Y=-SIN(2*3.1415926*X/0.8)()波的圖象如下：從圖象可以看出，P(設x=1.4，位置與相同)在波峰。當S恰好通過平衡位置向下運動時，波函數：Y=-SIN(2*3.1415926*(X+1.6)/0.8)()Y=SIN(2*3.1415926*X/0.8)()波的圖象如下：從圖象可以看出，Q(設x=-1，因為位置與同相)在波峰。從以上兩個圖象都可以看出，P、Q兩質點運動的方向始終相反而不是相同，A錯誤，B正確。并且當S恰好通過平衡位置時，P、Q兩點都不通過平衡位置，C錯誤。【答案】BDE【點評】本題考查機械波的傳播，難度：中等。例12.甲、乙兩列橫波在同一介質中分別從波源M、N兩點沿x軸相向傳播，波速為2m/s，振幅相同；某時刻的圖像如圖所示。則（A）甲乙兩波的起振方向相反（B）甲乙兩波的頻率之比為3:2（C）再經過3s，平衡位置在x=7m處的質點振動方向向下（D）再經過3s，兩波源間（不含波源）有5個質點位移為零【解析】據題意，甲波向右傳播，乙波向左傳播，起振方向都向上，A正確；從圖可以看出，，；根據，得，，所以甲乙兩波的頻率之比為3:2，B正確；再經過3s，甲波波谷到達x=7m處，乙波是平衡位置與波峰之間某振動到達x=7m處，所以，該質點應該向上振動（語焉不詳），C錯誤；此時，除了波源還有x=9m，x=6-7m，x=6m，x=5-6m，x=2-3m處質點位移為0（語焉不詳且不太準確），D正確。【答案】ABD（這最后一問的“解析”，不畫圖象，你更不信服吧！這幾個數據從何而來？）【用波函數和圖象研究】再經過3s時的波函數（M-N之間即0-12之間）如下：Y甲=SIN(2*3.1415926*X/4),()Y乙=SIN(2*3.1415926*X/6),()Y=Y甲+Y乙,()再經過3s時的波形圖像（M-N之間即0-12之間）如下從圖像可以看出，再經過3s，平衡位置在x=7m處的質點（黃色）在平衡位置以下。從以上圖像還可以看出，再經過3s，兩波源間（不含波源）有5個質點位移為零（黃線與x軸的交點）處，分別為x=9m，x=7-7.5m，x=6m，x=4.5-5m，x=2-2.5m處，（有2處與“解析”不同），所以D正確。為了進一步理解x=7的點的運動趨勢，我再畫再過0.5s后的波形圖象，先寫出波函數。因為，所以甲波向右傳播1m，乙波向左傳播1m，Y甲=SIN(2*3.1415926*(X-1)/4)，()Y乙=SIN(2*3.1415926*(X+1)/6)，（）再過0.5s后的波形圖象如下兩個圖象對比可以得到，在t=3s時，平衡位置為x=7的質點是向上運動的。這里需要指出的是，在兩個波合成的波中，不能像一個波那樣，按照“上坡下行，下坡上行”的土辦法判斷質點的運動方向了。【答案】ABD【點評】本題考查機械波的傳播，質點的振動，難度：較難通過波的前沿質點振動方向判斷波的起振方向，根據波長、波速與頻率關系計算兩列波的頻率，通過平移法畫出再經過3s時的波形，再進行分析問題。例13.在均勻介質中坐標原點O處有一波源做簡諧運動，其表達式為，它在介質中形成的簡諧橫波沿x軸正方向傳播，某時刻波剛好傳播到x=12m處，波形圖像如圖所示，則A、此后再經過6s該波傳播到x=24m處B、M點在此后第3s末的振動方向沿y軸正方向C、波源開始振動時的運動方向沿y軸負方向D、此后M點第一次到達y=-3m處所需時間是2s【解析】波的周期，波長，波速，則再經過6s,波傳播的距離為x=vt=12m,故該波傳到x=24m處，選項A正確；M點在此時振動方向向下，則第3秒末，即經過了0.75T,該點的振動方向沿y軸正向（語焉不詳），選項B正確；因波傳到x=12m處時，（波前）質點向y軸正向振動，故波源開始振動時的運動方向沿y軸正向，C錯；M點第一次到達y=-3cm位置時，振動的時間為（為什么？語焉不詳）D錯誤；選AB.【用波函數和圖象研究】某時刻（t=0）的波函數為Y0=5*SIN(3.1415926*X/4),()t=3s時刻的波函數為Y3=5*SIN(3.1415926*2*(X/8-3/4)),()t=0（蘭線）和t=3s（紅線）的波形圖：從圖象可以看出，M點在此后第3s末的位置約在y=4m處，其振動方向沿y軸正方向（下坡上行）.M點的振動方程如下，因為當時，，所以，，即或，則或1.58s所以振動方程為Y=5*SIN(3.1415926*2*(t+1.3)/4) 或Y=5*SIN(3.1415926*2*(t+1.6)/4)M點的振動圖象分別如下圖：從以上圖象可以看出，此后M點第一次到達y=-3m處所需時間約是2s，但是，次圖象表明，在t=0s時刻，M點是向上運動的，但原題，M點是向下運動的（見上圖之波形圖）.這兩個圖象判斷M點的運動方向，也體現了振動圖像與波形圖的不同，在振動圖像中，是“上坡上行，下坡下行”，波形圖中是“沿波的傳播方向看，上坡下行，下坡上行”，可見，對老師教的“解題經驗”，不能死記硬背，要靈活應用。例14.如圖1，在xoy平面內有一列沿x軸傳播的簡諧橫波，頻率為2.5Hz。在t=0時，P點位于平衡位置且速度向下，Q點位于平衡位置下方的最大位移處，則在t=0.35s時，P、Q兩質點的（）A.位移大小相等，方向相反B.速度大小相等，方向相同C.速度大小相等，方向相反D.加速度大小相等，方向相反圖1解法1.圖象法（原答案解法），先畫出t=0時的波形圖象如圖2之實線所示。圖2，t=0.35s=,再畫出t=0.35s時的波形圖象如圖2之虛線所示（與的波形圖相同）。根據圖象可知，ABD正確。解法2.公式法（波函數法和微分法）：根據已知條件，寫出t=0時的波動方程（P點x=0，y=0,Q點x=，y=-A），根據在t=0時，P點速度向下，進一步寫出波函數為，將代入，得，當t=0.35s=時的方程為，P點坐標為（0,0.707A），Q點坐標為（,-0.707A）,所以位移大小相等，方向相反，A正確；速度是位移對時間的微分，所以=A，其中，令,則P點xP=0，vP=-0.707,Q點xQ=，vQ=-0.707,所以速度大小相等，方向相同，即B正確，C錯誤；加速度是速度對時間的微分，所以=A，其中，令,則P點xP=0，aP=-0.707,Q點xQ=，aQ=0.707,所以加速度大小相等，方向相反，即D正確；所以本題選ABD。解法3.用Excel作圖法（公式法和圖象法的綜合應用）圖3是t=0和t=0.35s時的位移圖象（系列1即藍線是t=0時的位移圖象，系列2即紅線是t=0.35s時的位移圖象），圖3從圖象可以看出，在t=0時，P點（x=0）的位移為0（y=0）且質點的運動方向向下（上坡），Q點（x=1.5即，因為）的位移為-A（y=-1，A=1）,符合題意。在t=0.35時，P點（x=0）的位移為0.7A（y=0.7），Q點（x=1.5即，因為）的位移為-0.7A（y=-0.7，A=1），所以P點和Q點在t=0.35s時的位移大小相等，方向相反，A正確。表1與圖3對應的數據表000.7071070.1250.3826830.923880.250.70710710.3750.923880.923880.510.7071070.6250.923880.3826830.750.707107-5.4E-080.8750.382683-0.3826815.36E-08-0.707111.125-0.38268-0.923881.25-0.70711-11.375-0.92388-0.923881.5-1-0.707111.625-0.92388-0.382681.75-0.7071101.875-0.382680.3826832-1.1E-070.7071072.1250.3826830.92388與表1對應的公式B1=SIN(3.1415926*A1)C1=SIN(3.1415926*(A1-14/8))圖4是t=0.35s時的位移、速度、加速度圖象（系列1即藍線是t=0.35時的位移圖象，系列2即紅線是t=0.35s時的速度圖象，系列3即黃線是t=0.35s時的加速度圖象）圖4從上圖可以看出，P點和Q點在t=0.35s時的位移大小相等，方向相反（xP=0.7,xQ=-0.7）,P點和Q點在t=0.35s時的速度大小相等，方向相同（vP=0.7,vQ=0.7）,P點和Q點在t=0.35s時的加速度大小相等，方向相反（aP=-0.7,aQ=0.7）,所以答案為ABD。表2與圖4對應的數據表00.707107-0.707106715-0.707110.1250.92388-0.382683352-0.923880.2518.03847E-08-10.3750.923880.3826835-0.923880.50.7071070.707106829-0.707110.6250.3826830.923879556-0.382680.75-5.4E-0815.36E-080.875-0.382680.9238795150.3826831-0.707110.7071067530.7071071.125-0.923880.3826834010.923881.25-1-2.67949E-0811.375-0.92388-0.3826834510.923881.5-0.70711-0.7071067910.7071071.625-0.38268-0.9238795350.3826831.750-101.8750.382683-0.923879535-0.3826820.707107-0.707106791-0.70711與表2對應的方程：B1=SIN(3.1415926*(A1-14/8))C1=-COS(3.1415926*(A1-14/8))D1=-SIN(3.1415926*(A1-14/8))三種方法之比較：圖象法很直觀，但不太精確，公式法較精確，但不直觀，Excel作圖法既直觀又精確，但比較麻煩。關于名牌大學自主招生考試題與高考題及競賽題的比較：難度：名牌大學自主招生考試題在高考題與競賽題之間，例如關于波動問題，高考題一般是時間是周期的四分之一的整數倍（最近兩年有的省跨越了這個界限），所以一般用圖象法可解，名牌大學自主招生考試題中時間不一定是周期的四分之一的整數倍，所以僅用圖象法沒有十分把握，因為不能精確計算，本題還好，時間=,可以估計出來。例15.從兩個波源發出的兩列振幅相同、頻率均為5Hz的簡諧橫波，分別沿x軸正、負方向傳播，在某一時刻到達A、B點，如圖中實線、虛線所示。兩列波的波速均為10m/s。求（i）質點P、O開始振動的時刻之差；（ii）再經過半個周期后，兩列波在x=1m和x=5m之間引起的合振動振幅極大和極小的質點的x坐標。【解答】（i）根據波速公式，得，根據波傳播過程中的時間和空間的關系，即每經過1個周期，傳播一個波長。以O點為波源的波（為方便，稱為波1,下同）向右傳播到A點，2個波長，所以時間為2個周期；以P點為波源的波（為方便，稱為波2,下同）向左傳播到B點，個波長，所以時間為個周期；所以質點P、O開始振動的時刻之差為，波2比波1晚。（ii）波函數法波函數公式本題設以O點為波源向右傳播的波為波1，以,P點為波源向左傳播的波為波2，則對于x=1，2，3，4，5的點，因為，所以它們的合振動方程是，合振幅為分振動的振幅的2倍，是極大值。對于x=1.5，2.5，3,5，4.5，5.5的點，因為，所以它們的合振動振幅為0，是極小值。本題波函數法用到的數學公式：，，記憶方法是：奇變偶不變，符號看象限，也可以用移動坐標軸的方法，“+”號向左移，“-”號向右移。，。注意：前加后減，前減后加。例16.一列簡諧橫波在t=時的波形圖如圖（a）所示，P、Q是介質中的兩個質點，圖（b）是質點Q的振動圖像。求（i）波速及波的傳播方向；（ii）質點Q的平衡位置的x坐標。【傳統方法】34.（2）（i）由圖（a）可以看出，該波的波長為①由圖（b）可以看出，周期為T=2s②波速為③由圖（b）知，當時，Q點向上運動，結合圖（a）可得，波沿x軸負方向傳播。（ii）設質點P、Q平衡位置的x坐標分別為xP、xQ。由圖（a）知，x=0處，因此④由圖（b）