1幾個初等函數的麥克勞林公式小結思考題作業

泰勒(Taylor)（英）1685-1731近似計算與誤差估計其它應用第六節泰勒(Taylor)公式第三章微分中值定理與導數的應用泰勒公式的建立2簡單的,多項式函數特點(1)易計算函數值;(2)導數與積分仍為多項式;(3)多項式由它的系數完全確定,又由它在一點的函數值及導數值確定.而其系數?用怎樣的多項式去逼近給定的函數誤差又如何呢?一、泰勒公式的建立熟悉的函數來近似代替復雜函數.—

應用用多項式近似表示函數理論分析近似計算泰勒公式3回想微分一次多項式泰勒公式4（如下圖）如

以直代曲泰勒公式5需要解決的問題如何提高精度?如何估計誤差?不足1.精確度不高；2.誤差不能定量的估計.希望一次多項式用適當的高次多項式泰勒公式誤差是的高階無窮小問題(1)

系數怎么定?(2)

誤差(如何估計)表達式是什么?6猜想2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點相交1.n次多項式系數的確定泰勒公式7假設泰勒公式8同理可得即泰勒公式9從而泰勒公式10說明:有直到n階導數時,多項式泰勒公式有相同的函數值及直到n階導數值.從而稱為n階泰勒多項式.稱為泰勒系數.11公式稱為n階泰勒公式.稱為n階余項.注意:泰勒公式12下面給出帶皮亞諾(Peano)余項的泰勒公式.定理1(帶皮亞諾(Peano)余項的泰勒公式)設則帶有皮亞諾型余項n階泰勒公式泰勒公式13證明:對于連續地用n-1次落必達法則,最后一次用定義即可證明.泰勒公式14下面的定理將指明:可以用它的泰勒多項式逼近函數并估計它的誤差.泰勒公式15定理2(帶拉格朗日(Largrange)余項的泰勒公式)設則泰勒(Taylor)中值定理泰勒公式16分析即證也即證其中泰勒公式17證令由要求泰勒公式18

柯西定理

柯西定理用1次用2次泰勒公式19如此下去,得用n+1次柯西定理,注意到即可得泰勒公式20拉格朗日型余項帶有拉格朗日型余項泰勒公式21注意:Taylor公式為即為Lagrange中值公式.則泰勒公式22泰勒公式特別,若則說明:隨n的增大可任意小,因此可選取適當的n,使近似代替達到要求的任意精度.23皮亞諾型余項1858-1932)皮亞諾(Peano,G.(意)當對余項要求不高時,可用皮亞諾型余項帶有皮亞諾型余項(4)展開式是唯一的泰勒公式24(5)在泰勒公式中,這時的泰勒公式,即按x的冪(在零點)展開的泰勒公式稱為:n階泰勒公式麥克勞林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式泰勒公式25麥克勞林(Maclaurin)公式近似公式誤差估計式為帶有拉格朗日型余項帶有皮亞諾型余項泰勒公式26解代入上公式,得二、幾個初等函數的麥克勞林公式例1麥克勞林公式.麥克勞林(Maclaurin)公式于是有的近似表達公式泰勒公式27有誤差估計式得到其誤差其誤差泰勒公式28解例2因為泰勒公式所以29誤差為泰勒公式30泰勒公式泰勒多項式逼近31類似地,有泰勒公式32解練習泰勒公式一階和三階泰勒公式及相應的拉格朗日型余項.的一階泰勒公式是其中三階泰勒公式是33

常用函數的麥克勞林公式泰勒公式要熟記!34泰勒公式35泰勒公式36例3

解用間接展開的方法較簡便.兩端同乘x,得

帶拉格朗日型余項的公式展開問題注一般不能用這種方法.泰勒公式37須解決問題的類型:(1)已知x和誤差界,要求確定項數n;(2)

已知項數n和x,計算近似值并估計誤差;(3)已知項數

n和誤差界,確定公式中

x

的三、近似計算與誤差估計適用范圍.泰勒公式38例4

解

已知x和誤差界,要求確定項數n泰勒公式39滿足要求.泰勒公式40四、其它應用常用函數的泰勒展開求例5

型未定式泰勒公式

解

因為分母是4階無窮小,所以只要將函數展開到4階無窮小的項就足以定出所給的極限了.41求極限練習42

利用泰勒公式可以證明不等式(多個點的函數值的關系).例6證明:提示:泰勒公式凸函數的定義43例7設上的最小值.求證:提示:

利用泰勒公式可以證明不等式(有關高階導與函數值的關系).泰勒公式44例8.設求證:提示:泰勒公式45

利用泰勒公式可以證明不等式(有關高階導與函數值的關系).例9證明:提示:泰勒公式46五、小結

多項式局部逼近.

了解泰勒(Taylor)公式在近似計算中的應用.

泰勒(Ta