絕密★啟用前

2020年普通高等學校招生全國統一考試

理科數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選搽題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.若z=l+i,則|Z2-2Z|=

A.0B.1C.72D.2

2.設集合A={xW-4W0},B={x\2x+a<0},且ACB={M-2人1},則〃=

A.-4B.-2C.2D.4

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正

方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值

為

AV5—1RVs—1r+1n\[5+1

4242

4.已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12,至U）軸的距離為9,則片

A.2B.3C.6D.9

5.某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x（單位：℃）的關系，在20個不同的溫度

條件下進行種子發芽實驗，由實驗數據（x,,y,）（i=l,2,…,20）得到下面的散點圖:

由此散點圖，在10。＜2至40。＜2之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率y和溫度x的回歸方程

類型的是

A.y=a+bxB.y=。+bx2

C.>=。+加'D.y=a+b\nx

6.函數=的圖像在點（1，/⑴）處的切線方程為

A.y=-2x-\B.y=-2x+1

C.y=2x-3D.y=2x+\

TT

7.設函數/（X）=cos（5+—）在［―兀,兀］的圖像大致如下圖，則於）的最小正周期為

6

1071771

A.---B.—

96

4兀n3兀

C.—D.—

32

8.（x+二）（x+y）5的展開式中丁丁的系數為

X

A.5B.10

C.15D.20

9.已知a￡（0,兀），且3cos2a—8cosa=5,則sina=

A62

A.---B.-

33

c.1D.如

39

10.已知C為球。的球面上的三個點，。01為人鉆。的外接圓，若。。1的面積為4兀，

AB=BC^AC=OO.,則球。的表面積為

A.64兀B.48KC.36KD.32兀

11.已知。M：x2+y2-2x-2y-2=0,直線/：2x+y+2=0,P為/上的動點，過點P作。M的切

線PAPB,切點為A8，當1PMl」AB|最小時，直線的方程為

A.2x-y-1=0B.2x+y-\=0C.2x-y+l=0D.2x+y+1=0

12.若2"+log2a=4"+21og",則

A.a>2bB.a<2bC.a>b~D.a<b'

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2x+y—2<0,

13.若x,y滿足約束條件<x-y-120,則z=x+7y的最大值為.

)+140,

14.設為單位向量，且|a+》|=l,則|a—切=.

r22

15.己知尸為雙曲線C：r-v4=l(a>0,b>0)的右焦點，A為C的右頂點，3為C上的點，且2F垂直于x

a'b'

軸.若AB的斜率為3,則C的離心率為.

16.如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC=1,AB=AD=6，ABLAC,AB1AD,ZCAE=3Q°,

貝！JcosNFCB=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.（12分）

設｛4｝是公比不為1的等比數列，為42，%的等差中項?

(1)求｛4｝的公比：

(2)若勾=1,求數列｛〃”“｝的前〃項和.

18.(12分)

如圖，。為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，為底面直徑，AE=AD.△ABC是底面的內接正

三角形，P為DO上一點,PO=—DO.

6

(1)證明：上4_L平面P8C；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

19.(12分)

甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：

累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行

下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其

中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.

經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為

2

(1)求甲連勝四場的概率；

(2)求需要進行第五場比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率.

20.(12分)

2

已知A、B分別為橢圓氏「+y2=l(“>1)的左、右頂點，G為E的上頂點，AGGS=8,P為直

線46上的動點，以與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D

(1)求E的方程;

(2)證明：直線CO過定點.

21.(12分)

已知函數/(X)=e*+ax1-x.

(1)當a=l時，討論/(x)的單調性；

(2)當於0時，f(x)>—,求a的取值范圍.

2

(-)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

22.［選修4-4：坐標系與參數方程］(10分)

X=cos*t,

在直角坐標系xO.y中，曲線的參數方程為.Q為參數).以坐標原點為極點，X軸正半軸為

y=sint

極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為40COS。-16osin6+3=0.

(1)當A=1時，G是什么曲線？

(2)當左=4時，求q與C2的公共點的直角坐標.

23.［選修4一5：不等式選講］(10分)

己知函數f(x)=|3x+l|-2|x-l|.

(1)畫出y=/(x)的圖像；

(2)求不等式/(x)>f(x+D的解集.

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理科數學試題參考答案(A卷)

選擇題答案

一、選擇題

1.D2.B3.C4.C

5.D6.B7.C8.C

9.A10.A11.D12.B

非選擇題答案

二、填空題

13.114.G15.216.--

4

三、解答題

17.解：(1)設伍“｝的公比為4，由題設得24=4+“3，即2q=4g+qq2.

所以°2+4-2=0,解得g=l(舍去)，g=—2.

故｛4｝的公比為—2.

(2)設S,,為｛〃6,｝的前〃項和.由(1)及題設可得，/=(-2)1.所以

S?=l+2x(-2)+--.+nx(-2),,_|,

=-2+2x(-2)2+…+(〃_1)x(-(-2)".

-2Sn2)”T+NX

可得3s“=1+(-2)+(一21+…+(_2)"T_〃x(-2)"

1(3〃+1)(-2)"

所以-------9一?

18.解：(I)設￡>0=a,由題設可得P0=^a,A0=3a,A8=a，

63

PA=PB=PC=Ja.

2

SlitPA2+PB2=AB2>從而Q4_LPB.

又批2+PC2=AC2,從而以_LPC.

所以R4J_平面P3C.

(2)以。為坐標原點，。方的方向為y軸正方向，|礪|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系

O-xyz.

爭

由題設可得￡(0,1,0),A(0,-l,0),C(-—,-,0),P(0,0,

22

—J31—?J2

所以EC=(-T，—/,O),EP=(O,—I,』).

[m-EP^O_y+---z=0

設機=(x,y,z)是平面PCE的法向量，則《一，叫L2

[6?EC=0一旦」＞=0

22，

可取in—(——,1?V2).

由(1)知衣=(0,1,這)是平面PC3的一個法向量，

記〃=AP,

nl/、n-m2y[5

則cos(n,m)=-------=-----.

所以二面角3-PC-E的余弦值為亨.

19.解：⑴甲連勝四場的概率為上.

16

(2)根據賽制，至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比賽.

比賽四場結束，共有三種情況:

甲連勝四場的概率為上；

16

乙連勝四場的概率為工

16

丙上場后連勝三場的概率為5.

O

所以需要進行第五場比賽的概率為1-白1-白113

161684

(3)丙最終獲勝，有兩種情況：

比賽四場結束且丙最終獲勝的概率為:.

O

比賽五場結束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負、輪空結果有三種情況：勝

勝負勝，勝負空勝，負空勝勝，概率分別為上，

1688

因此丙最終獲勝的概率為q+77+77+77=77.

8168816

20.解：(1)由題設得A(-〃，0),B(00),G(0,1).

則而=(〃/)，GB=(a,一1).由分二8得〃2—1=8,即a=3.

V2

所以E的方程為］+)2=1.

(2)設。(xi,yi),D(%2,”)，P(6,力.

若/W0,設直線CD的方程為尸〃，由題意可知-3v〃<3.

由于直線外的方程為(x+3),所以yi=!(xi+3).

直線P8的方程為(x-3),所以(%2-3).

可得3yl(X2-3)=y2(xi+3).

由于三+必=1,故y；=一丘34七3),可得27%%=一(%+3)(X2+3),

99

22

即(27+fti)yy2+m(n+3)(y+%)+(〃+3)=0.①

將％=陽+〃代入一+丁=1得(m2+9)y+2加町，+/_9=0

g”27?7/7n2-9

所以x+%=一-

m+9m~+9

代入①式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(/?+3)2(/??2+9)=0.

3

解得〃=-3(含去)，片

2

33

故直線CD的方程為產沖+耳，即直線CD過定點I],0).

3

若U0,則直線CD的方程為產0,過點I/,0).

3

綜上，直線CO過定點(彳，0).

21.解：(1)當〃=1時，f(x)=ev+x2-x,則f'(x)=

故當(YO,0)時，.[(x)<0；當(0,+8)時，fr(x)>0.所以/.(x)在(TO,0)單調遞減，

在(0,+oo)單調遞增.

⑵一女+1等價于1.

設函數g(x)=(gV—火2+X+l)e-v(x>0),則

=_—_2tz-l)(x-2)e.

(i)若2〃+lW0,即。<-；，則當(0,2)時，g'(%)>0.所以g(x)在(0,2)單調遞增，而g(0)

=1,故當工￡(0,2)時，g(x)>1,不合題意.

(ii)若0<2"1<2,即一g<a<g,則當工￡(0,2?+1)U(2,+oo)時，g'(x)<0；當x￡(2a+l,2)時，g'(x)>0.

所以g(x)在(0,2〃+1),(2,+8)單調遞減,在(2〃+1,2)單調遞增.由于g(0)=l,所以g(x)Wl當且僅當

7-e2

g(2尸(7-4〃把一20,g|Jt/>-----.

7-e21

所以當-----時，^(x)<l.

42

(iii)若2〃+1之2,即則ga)W(gd+工+1/一二

由于Ow［號故由(ii)可得(gd+x+i)eTq.

故當時，gU)<l.