文檔來源網絡侵權刪除5.1函數的概念和圖象【知識點梳理】知識點一：函數的概念1、函數的定義設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數．記作：，．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域．知識點詮釋：（1）A、B集合的非空性；（2）對應關系的存在性、唯一性、確定性；（3）A中元素的無剩余性；（4）B中元素的可剩余性．2、構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域①構成函數的三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全—致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）；②兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全—致，而與表示自變量和函數值的字母無關．知識點二：函數定義域的求法（1）確定函數定義域的原則①當函數是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數解析式有意義的自變量的取值的集合．具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數、式大于或等于零，零次冪的底數不為零以及我們在后面學習時碰到的所有有意義的限制條件．②當函數是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義．③當函數用表格給出時，函數的定義域是指表格中實數的集合．（2）抽象函數定義域的確定所謂抽象函數是指用表示的函數，而沒有具體解析式的函數類型，求抽象函數的定義域問題，關鍵是注意對應法則．在同一對應法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內．（3）求函數的定義域，一般是轉化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結果必須用集合或區間來表示．知識點三：函數值域的求法實際上求函數的值域是個比較復雜的問題，雖然給定了函數的定義域及其對應法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數的值域，或利用函數的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數的值域；配方法：對二次函數型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數的值域方法求函數的值域；判別式法：將函數視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數值的范圍，常用于一些“分式”函數等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數的解析式進行適當換元，將復雜的函數化歸為幾個簡單的函數，從而利用基本函數的取值范圍來求函數的值域．求函數的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數形結合法等．總之，求函數的值域關鍵是重視對應法則的作用，還要特別注意定義域對值域的制約．【題型歸納目錄】題型一：函數的概念題型二：給出解析式求函數的定義域題型三：抽象函數求定義域題型四：給出函數定義域求參數范圍題型五：同一函數的判斷題型六：給出自變量求函數值題型七：求函數的值域題型八：函數的圖象【典型例題】題型一：函數的概念例1．（2022·安徽淮南·高一階段練習）下列四個式子中，是的函數的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A選項，，定義域為，定義域內每個值按對應法則不是唯一實數與之對應，所以不是函數，A項錯誤；對于B選項，，定義域為無解，所以不是函數，B項錯誤；對于C選項，定義域為，對于定義域內每一個值都有唯一實數與之對應，所以是函數，C項正確；對于D選項，當時，有兩個值0，1與之對應，所以不是函數，D項錯誤．故選:C．例2．（2022·四川·成都外國語學校高一期中）若函數的定義域為，值域為，則函數的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數的定義域為，值域為，可知A圖象定義域不滿足條件；B圖象不滿足函數的值域；C圖象滿足題目要求；D圖象，根據函數定義可知，對于每一個都有唯一確定的對應，所以不是函數的圖象；故選：C．例3．（2022·四川省德陽市第三中學高一階段練習）設集合，那么下面的4個圖形中，能表示集合到集合的函數圖象的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】對圖(1)，由圖知:，不符合函數的定義域，故圖(1)錯誤；對圖(2)，由圖知:，圖象符合函數的定義，故圖(2)正確.對圖(3)，由圖知:，不符合函數的值域，故圖(3)錯誤；對圖(4)，不符合函數定義，不是函數圖象，故圖(4)錯誤.故選：A.變式1．（2022·陜西·西北工業大學附屬中學高一階段練習）給定的下列四個式子中，能確定是的函數的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A選項，對于的實數，都有，即有兩個與之對應，故不滿足函數的概念；對于B選項，方程表示兩個點，即對于，有與之對應，故不滿足函數的概念；對于C選項，滿足的的解集為，故不滿足函數研究的范圍非空數集，故錯誤；對于D選項，對于，有唯一的與對應，滿足函數概念，故正確；故選：D變式2．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一階段練習）下列對應中：（1），其中，；（2），其中，，；（3），其中y為不大于x的最大整數，，；（4），其中，，.其中，是函數的是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【答案】B【解析】（1），其中，；滿足函數的定義，（1）正確；（2），其中，，，不滿足一個自變量有唯一一個實數y與之對應，例如當時，；不滿足函數的定義，（2）不正確；（3），其中y為不大于x的最大整數，，；滿足函數的定義，③正確；（4），其中，，，當時，對應的，（4）不正確．故選：B變式3．（多選題）（2022·江蘇·高一期中）存在函數f(x)滿足：對任意的實數x都有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】A.當時，，當時，，故錯誤；B.令，得，所以，即，故正確；C.令，得，所以，即，故正確；D.因為，所以存在，故正確；故選：BCD變式4．（2022·全國·高一課時練習）直線x＝a與函數的圖象的交點個數是______．【答案】0或1【解析】設的定義域為D，若，根據函數的定義知：沒有函數值與之對應；若，根據函數的定義知：有唯一的函數值與之對應．故交點個數是0或1．故答案為：0或1【方法技巧與總結】函數的定義（特別是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解決某些問題的關鍵．題型二：給出解析式求函數的定義域例4．（2022·四川·重慶第二外國語學校高一期中）函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】要使函數有意義，則有，解得且，所以函數的定義域為，故選：B例5．（2022·福建省福州教育學院附屬中學高一階段練習）函數的定義域為（

）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】要使有意義，只需滿足，解得或，所以函數的定義域為或.故選：D.例6．（2022·江蘇淮安·高一期中）函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題得且.所以函數的定義域為.故選：A變式5．（2022·江蘇·礦大附中高一階段練習）已知函數的定義域為，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為函數定義域為R，所以在R上恒成立，當時，滿足要求，當時，要滿足，解得：，綜上：.故選：B變式6．（2022·河南·高一階段練習）已知函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得，則，解得或．故選：C.變式7．（2022·全國·高一課時練習）等腰三角形的周長為20cm，底邊長ycm是腰長xcm的函數，則此函數的定義域為（

）A．(0，10) B．(0，5)C．(5，10) D．[5，10)【答案】C【解析】由題設有，由得，故選:C.【方法技巧與總結】小結幾類函數的定義域：（1）如果是整式，那么函數的定義域是實數集R；（2）如果是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合；（3）如果是二次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集合；（4）如果是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合；（即求各集合的交集）（5）滿足實際問題有意義．當函數解析式是由多個式子構成時，要使這多個式子對同一個自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解．題型三：抽象函數求定義域例7．（2022·四川·成都市金牛區實外高級中學有限公司高一期中）若已知函數的定義域為，則可求得函數的定義域為；問實數m的值為______．【答案】1【解析】函數中，，函數中，，所以，．故答案為：1．例8．（2022·安徽·蕪湖一中高一階段練習）已知的定義域是，則函數的定義域是___________.【答案】【解析】因為的定義域是，所以，所以．函數應滿足，解得．函數的定義域為．故答案為：．例9．（2022·安徽·定遠縣育才學校高一階段練習）已知的定義域為，則的定義域為__________.【答案】【解析】因為的定義域為，所以由，得即的定義域為；令，解得，所以的定義域為故答案為：.變式8．（2022·江蘇·連云港市贛馬高級中學高一階段練習）已知函數的定義域為，則的定義域是________．【答案】【解析】因為函數的定義域為，所以，函數的定義域為，所以，解得，所以，的定義域是.故答案為：變式9．（2022·江蘇·海安高級中學高一階段練習）已知函數的定義域為，則的定義域為______.【答案】【解析】已知函數的定義域為，所以中，綜上定義域為：，取并集解得；故答案為:【方法技巧與總結】求抽象函數的定義域，一要理解定義域的含義是的取值范圍；二要運用整體思想，也就是在同一對應關系下括號內的范圍是一樣的．題型四：給出函數定義域求參數范圍例10．（2022·浙江·玉環中學高一階段練習）已知函數分別由下表給出：下列能滿足的的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，當時，無意義，A錯誤；對于B，當時，，無意義，B錯誤；對于C，當時，，，，，則，C正確；對于D，當時，無意義，D錯誤.故選：C.例11．（2022·重慶八中高三開學考試）已知，若，則_____.【答案】【解析】令，解得，則故答案為：例12．（2022·四川省南充高級中學高一期中）若（其中a，b，c為常數），若，則______.【答案】【解析】因為，所以，所以，所以.故答案為：【方法技巧與總結】利用轉化與化歸思想．題型五：同一函數的判斷例13．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習）下列各組函數是同一函數的是（

）①與；②與③與；④與A．①② B．②④ C．①③ D．③④【答案】B【解析】的定義域為，的定義域為，但，故①錯誤；，故，②正確；由，解得：，故的定義域為，由，解得：或，故的定義域為，所以與不是同一函數，③錯誤；與的定義域和對應關系相同，為同一函數，④正確.故選：B例14．（2022·山西·太原市小店區第一中學校高一階段練習）下列四個函數中，與表示同一函數的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于選項A：，與的定義域不同，所以不是同一函數，故A錯誤；

對于選項B：，與的定義域相同，對應關系也相同，所以是同一函數，故B正確；

對于選項C：，與的對應關系不同，所以不是同一函數，故C錯誤；對于選項D：，與的定義域不同，所以不是同一函數，故D錯誤．故選：B．例15．（2022·重慶八中高一階段練習）下列各組函數中，表示同一函數的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】選項A：的定義域為,定義域為，兩函數定義域不同，故不是同一函數；選項B：定義域為且,定義域為,兩函數定義域對應關系相同，故是同一函數；選項C：與的解析式不同，故不是同一函數；選項D：的定義域為，定義域為，兩函數定義域不同，故不是同一函數；故選：B變式10．（2022·天津南開·高一期末）在下列函數中，函數表示同一函數的（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，函數，其定義域為，其解析式為，對于A，函數，其定義域為，故A錯誤；對于B，函數，其定義域為，對應法則不同，故B錯誤；對于C，與題目中的函數一致，故C正確；對于D，函數，其定義域為，故D錯誤，故選：C.【方法技巧與總結】函數概念含有三個要素，即定義域，值域和對應法則，其中核心是對應法則，它是函數關系的本質特征．只有當兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數才是同一函數，換言之就是：（1）定義域不同，兩個函數也就不同；（2）對應法則不同，兩個函數也是不同的．（3）即使定義域和值域都分別相同的兩個函數，它們也不一定是同一函數，因為函數的定義域和值域不能唯一地確定函數的對應法則．題型六：給出自變量求函數值例16．（2022·吉林油田高級中學高一開學考試）已知函數對任意x，，總有，若，則（

）A．－3 B．－2 C．－1 D．0【答案】A【解析】由題設，．故選：A．例17．（2022·全國·高一課時練習）已知，．（1）計算：____________；（2）計算：____________．【答案】

1

【解析】（1），，所以．（2）由（1）知，從而，故，而，所以．故答案為：1；.例18．（2022·全國·高一專題練習）已知函數，，則______，______．【答案】

【解析】由題可知，，則；，則.故答案為：；.變式11．（2022·上海·高一）函數對任意實數、，均滿足，且，則__________【答案】【解析】令，則，即，令，，則，令，則，解得，故，，，則，，，，將上述式子相加，可得，即，故答案為：.變式12．（2022·全國·高一課時練習）已知函數．(1)求，的值；(2)求證：的定值；(3)求的值．【解析】（1）因為，所以，；（2），是定值；（3）由（2）知，因為，，，……，，所以.變式13．（2022·湖南·株洲二中高一階段練習）設函數的定義域為，滿足，且當時，，則的值為__________.【答案】【解析】因為函數的定義域為，滿足，且當時，，所以，故答案為：變式14．（2022·江蘇·常州市第一中學高一期中）設，，則_______．【答案】105【解析】因為，所以，所以，故答案為：變式15．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高一期中）已知函數，，則______；【答案】3【解析】由題知，，則，，故答案為：3變式16．（2022·江蘇·金湖中學高一期中）若函數，則___________.【答案】9【解析】令，解得，所以，故答案為：9【方法技巧與總結】求函數值時，遇到復合函數，一般有里層函數與外層函數之分，如f（g（x）），里層函數就是g（x），外層函數就是f（x），其對應關系可以理解為，類似的g（f（x））為，類似的函數，需要先求出最里層的函數值，再求出倒數第二層，直到最后求出最終結果．題型七：求函數的值域例19．（2022·全國·高三專題練習）若函數的最大值為，最小值為，則（

）A．4 B．6C．7 D．8【答案】B【解析】設，，，時，，時，因為，所以，解得，即且，綜上，最大值是，最小值是，和為6．故選：B．例20．（2022·廣東·興寧市葉塘中學高一階段練習）函數的值域為_______．【答案】【解析】因為所以，所以值域為故答案為：例21．（2022·四川·成都市金牛區實外高級中學有限公司高一期中）的值域是__________.【答案】【解析】因為，所以當時，，當時，，所以函數的值域為.故答案為：.變式17．（2022·云南師大附中高一期中）函數的值域為___________.【答案】【解析】由，可得，所以原函數的反函數為，由，反函數的定義域為，所以原函數的值域為.故答案為：變式18．（2022·浙江·玉環市玉城中學高一階段練習）函數的值域為________【答案】【解析】，，，，，函數的值域為．故答案為：.變式19．（2022·湖北·襄陽五中高一階段練習）函數的值域是___________.【答案】【解析】設則所以因為函數在上單調遞增，當，，所以函數的值域為故答案為：.變式20．（2022·全國·高一單元測試）求函數的值域______．【答案】【解析】令，則，所以．又，所以，即函數的值域是．故答案為：.變式21．（2022·全國·高一課時練習）函數的值域為__________．【答案】【解析】，由，得，因為在上單調遞增，所以，即的值域為.故答案為：變式22．（2022·全國·高一）已知函數y＝f(x)的定義域為R，值域為[－2，2]，則函數y＝f(x＋1)的值域是________.【答案】[－2，2]【解析】因為函數y＝f(x＋1)的圖象可由函數y＝f(x)的圖象向左平移一個單位所得，且函數y＝f(x)的值域為[－2，2]，所以函數y＝f(x＋1)的值域是[－2，2].故答案為：[－2，2]變式23．（2022·江蘇·高一期中）函數的定義域為，值域為[2,5]，則的值域為___________．【答案】[2,5]【解析】的圖象是把的圖象向左平移2個單位得到的，因此值域不變，即的值域是．故答案為：變式24．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習）已知函數.(1)若函數定義域為R，求a的取值范圍；(2)若函數值域為，求a的取值范圍.【解析】（1）因為函數定義域為R，所以在R上恒成立，當時，，不符合題意；當時，要想在R上恒成立，即在R上恒成立，只需，所以a的取值范圍為；（2）當時，，符合題意；當時，要想函數值域為，只需，綜上所述：a的取值范圍為.變式25．（2022·全國·高一單元測試）函數的值域【解析】原函數可化為

①時，方程不成立；②時，由得，解得.綜上：故函數值域為：.變式26．（2022·全國·高一課時練習）求函數的值域．【解析】由，得．∵，∴，∴．∵，∴，∴，即．又∵，∴，∴，∴函數的值域為．變式27．（2022·安徽·合肥市第六中學高一階段練習）已知，且，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】因為，所以.又因為，所以，解得.故答案為：.變式28．（2022·浙江省杭州學軍中學高一期中）設非零實數a，b滿足，若函數存在最大值M和最小值m，則_________.【答案】2【解析】，則，則，即，，故，，即，即，.故答案為：2.變式29．（2022·全國·高一課時練習）求下列函數的值域：(1)；(2)(3)；(4)．【解析】（1）因為，，，，，所以函數的值域為．（2）因為，且，所以，所以函數的值域為．（3）因為，所以，所以函數的值域為.（4）設（換元），則且，令.因為，所以，即函數的值域為.變式30．（2022·全國·高一專題練習）求的最小值.【解析】因為，當時，，當時，，當時，，故函數的最小值為.變式31．（2022·全國·高三專題練習）求函數的值域.【解析】因為，所以當時，；當時，原函數化為，所以，整理得，解得即或，∴綜上，函數的值域為.變式32．（2022·上海·高一專題練習）已知函數的值域為[1，3]，求的值【解析】由題意定義域為，則在上有解，當符合題意，當，即的解集為[1，3]，故1和3為關于y的二次方程的兩個根所以解得變式33．（2022·全國·高一課時練習）求下列函數的值域：(1)；(2)；(3)．(4)．【解析】（1）方法一

因為，且，所以，所以原函數的值域為．方法二令，則，所以原函數的值域為．（2）因為，所以，所以原函數的值域為．（3）設，則且，得．因為，所以，即，所以原函數的值域為．（4）方法一令，因為，所以關于x的方程有解，則當，即時，；當時，，整理得，解得或．綜上，原函數的值域為．方法二令，則，當時，；當時，，當時，因為，當且僅當時取等號，所以，所以，當時，因為，當且僅當時取等號，所以，所以．綜上，原函數的值域為．【方法技巧與總結】求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數的值域，或利用函數的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數的值域；配方法：對二次函數型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數的值域方法求函數的值域；判別式法：將函數視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數值的范圍，常用于一些“分式”函數等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數的解析式進行適當換元，將復雜的函數化歸為幾個簡單的函數，從而利用基本函數的取值范圍來求函數的值域．題型八：函數的圖象例22．（2022·全國·高一專題練習）某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示該人離單位的距離，表示出發后的時間，那么下列圖象中符合此人走法的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，距離單位最遠，不可能是，排除A，C，先快速走，后中速，則隨的變化慢，排除B，故選：D．例23．（2022·重慶市實驗中學高一階段練習）給定函數，(1)在同一直角坐標系中畫出函數的圖像；(2)用表示中的較大者，記為.請分別用圖像法和解析式法表示函數，(3)根據函數圖像寫出函數的值域【解析】(1)在同一坐標系中畫出函數，的圖象（圖，(2)由圖1中函數取值情況，結合函數的定義，可得函數的圖象（圖，．圖2函數的圖象由，得，解得，或．結合圖2，得出函數；(3)函數的值域：.例24．（2022·湖南·高一課時練習）畫出函數的圖象，并根據圖象回答下列問題.(1)比較，，的大小；(2)若，比較與的大小；(3)求函數的值域.【解析】(1)函數的定義域為R，列表：x－1013y0340描點，連線，得函數圖象如圖.根據圖象，容易發現，，所以.(2)根據圖象，容易發現當時，有.(3)根據圖象，可以看出函數的圖象是以為頂點，開口向下的拋物線，因此，函數的值域為.變式34．（2022·江蘇·高一課時練習）作出函數f(x)＝(x－1)2－1的圖象，并分別畫出以下函數的圖象，（1）y＝f(x－1);（2）y＝f(x)＋1;（3）y＝－f(x);（4）y＝|f(x)|.【解析】函數f(x)＝(x－1)2－1的圖象如下：（1）將二次函數f(x)＝(x－1)2－1的圖象向右平移一個長度單位可得y＝f(x－1)的圖象如下：（2）將二次函數f(x)＝(x－1)2－1的圖象向上平移一個長度單位可得y＝f(x)＋1的圖象如下：（3）將二次函數f(x)＝(x－1)2－1的圖象沿軸對稱可得y＝－f(x)的圖象如下：（4）將二次函數f(x)＝(x－1)2－1的圖象保留軸上方圖象，將軸下方圖象沿軸翻折到軸上方可得y＝|f(x)|的圖象如下：變式35．（2022·全國·高一課時練習）作出下列函數的圖象：(1)；(2)．【解析】（1）因為函數，畫出其圖象如圖所示．（2）函數的圖象是兩段拋物線（部分）與一點，畫出其圖象如圖②所示，【方法技巧與總結】先把要畫的函數圖象進行變形，依據所學習過的基本函數圖象，通過函數圖象的平移、對稱和翻折得到要求的圖象．【同步練習】一、單選題1．（2022·遼寧·沈陽市遼中區第二高級中學高一階段練習）已知函數的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數的定義域是，所以，即．所以函數的定義域為，．要使有意義，需滿足：，解得，即的定義域為．故選：D．2．（2022·江蘇·連云港市贛馬高級中學高一階段練習）函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得，解得，且，所以函數的定義域為，故選：C3．（2022·廣東·卓雅外國語學校高一階段練習）設函數，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，.故選：B.4．（2022·廣東·卓雅外國語學校高一階段練習）下列函數中，值域為的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，，則其值域為，A錯誤；對于B，，則其值域為，B正確；對于C，，則其值域為，C錯誤；對于D，，則其值域為，D錯誤.故選：B.5．（2022·安徽淮南·高一階段練習）設集合，其中，下列說法正確的是（

）A．對任意a，是的子集 B．對任意a，是的子集C．存在a，使得是的子集 D．存在a，使得不是的真子集【答案】A【解析】由，，由于，所以，故選：A．6．（2022·浙江·高一階段練習）函數與的圖像如下圖，則函數的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】定義域為，所以函數在是斷開的，故排除C，D；當x為很小的正數時，，排除A．故選：B．7．（2022·陜西·西北工業大學附屬中學高一階段練習）下列各組函數表示相同函數的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】對于A中，函數的定義域為，函數的定義域為，兩個函數的定義域不同，所以表示不同的函數；對于B中，函數的定義域為，函數的定義域為，兩個函數的定義域不同，所以表示不同的函數；對于C中，函數與的定義域和對應法則都相同，所以表示相同的函數；對于D中，函數的定義域為，函數的定義域為，兩個函數的定義域不同，所以表示不同的函數.故選：C8．（2022·福建省龍巖第一中學高一階段練習）已知函數．若，則實數的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，，解得，當時，，解得，所以，當時，，令時，或；令時，；令時，或，所以，作出函數的圖像如圖，當時，實數的取值范圍是.故選：D二、多選題9．（2022·四川·瀘縣五中高一階段練習）對于函數，若，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．有且只有一個【答案】ABD【解析】A：由函數定義知：，則必有，正確；B、D：對任意都有唯一，故則，且有且只有一個，正確；C：對同一函數值可能有多個自變量與之對應，故，則不一定成立，錯誤；故選：ABD10．（2022·江蘇淮安·高一期中）下列對應中是函數的是（

）.A．，其中，，B．，其中，，C．，其中y為不大于x的最大整數，，D．，其中，，【答案】BCD【解析】對于A，，其中不滿足一個自變量有唯一一個實數與之對應，例如時，；不滿足定義，故A不正確；對于B，，其中，，，時，，時，，時，，時，，，滿足定義，故B正確；對于C，，其中y為不大于x的最大整數，，；滿足定義，故C正確；對于D，，其中，，滿足定義，故D正確，故選：BCD.11．（2022·遼寧·鐵嶺市清河高級中學高一階段練習）若函數定義域為，且，，則下列結果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】因為，，所以，令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，故BD選項正確，AC選項錯誤.故選：BD12．（2022·廣東·深圳實驗學校高中部高一階段練習）下面結論正確的是（

）A．若，則的最大值是B．函數的最小值是2C．函數（）的值域是D．，且，則的最小值是3【答案】ACD【解析】時，．，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，從而的最大值是，A正確；，當且僅當時等號成立，但無實數解，因此等號不能取得，2不是最小值，B錯；時，，，因為，所以時，，時，，時，．所以值域是，C正確；，且，，，則，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是4－1＝3，D正確．故選：ACD．三、填空題13．（2022·河南·鄭州外國語學校高一階段練習）已知函數的定義域為，值域為的子集，則滿足的函數的個數為_______．【答案】【解析】因為，所以，此時是一個函數；因為，所以的值為其中一個，這樣的函