一元一次方程

七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第1頁。專題分析方程是中學數學中最重要的內容．最簡單的方程是一元一次方程，它是進一步學習代數方程的基礎，很多方程都可以通過變形化為一元一次方程來解決．本講主要介紹一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等號連結兩個代數式的式子叫等式．如果給等式中的文字代以任何數值，等式都成立，這種等式叫恒等式．一個等式是否是恒等式是要通過證明來確定的．如果給等式中的文字(未知數)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，則等式不成立，這種等式叫作條件等式．條件等式也稱為方程．使方程成立的未知數的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一個未知數(又稱為一元)，且其次數是1的方程叫作一元一次方程．任何一個一元一次方程總可以化為ax=b(a≠0)的形式，這是一元一次方程的標準形式(最簡形式)．解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項，化為最簡形式ax=b；(5)方程兩邊同除以未知數的系數，得出方程的解．七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第2頁。一元一次方程ax=b的解由a，b的取值來確定：(1)若a≠0，則方程有唯一解；(2)若a=0，且b=0，方程變為0×x=0，則方程有無數多個解；(3)若a=0，且b≠0，方程變為02x=b，則方程無解．七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第3頁。例1、解方程七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第4頁。解法一：從里到外逐級去括號．去小括號得：

七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第5頁。解法二按照分配律由外及里去括號．去中括號得：七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第6頁。例2、已知下面兩個方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x)②有相同的解，試求a的值。七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第7頁。分析：本題解題思路是從方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解：由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根據方程解的定義，把x=3代入方程②時，應有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，

7(a-3)-3(a-3)=18-12，所以4a=18,

a=七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第8頁。例3、已知方程2(x+1)=3(x-1)的解為a+2，求方程

2[2(x+3)-3(x-a)]=3a

的解．七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第9頁。解：由方程2(x+1)=3(x-1)

解得x=5．由題設知a+2=5，所以a=3．于是有：

2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，即-2x=-21，七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第10頁。例4、解關于x的方程

(mx-n)(m+n)=0．七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第11頁。分析：這個方程中未知數是x，m，n是可以取不同實數值的常數，因此需要討論m，n取不同值時，方程解的情況．解：把原方程化為m2x+mnx-mn-n2=0，整理得m(m+n)x=n(m+n)．當m+n≠0且m≠0時，方程有唯一解當m+n≠0，且m=0時，方程無解；當m+n=0時，方程的解為一切實數．說明：含有字母系數的方程，一定要注意字母的取值范圍．解這類方程時，需要從方程有唯一解、無解、無數多個解三種情況進行討論．七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第12頁。例5、解方程七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第13頁。分析：本題將方程中的括號去掉后產生x項，但整理化簡后，可以消去x，也就是說，原方程實際上仍是一個一元一次方程．解、將原方程整理化簡得：22若a-b≠0，即a≠b，即a=-b時，方程無解；若a-b=0，即a=b，方程有無數多個解．方程有唯一解七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第14頁。例6、已知(m-1)x-(m+1)x+8=0是關于x的一元一次方程，求代數式199(m+x)(x-2m)+m的值．22七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第15頁。解：因為(m-1)x-(m+1)x+8=0是關于x的一元一次方程，所以m-1=0，即m=±1．(1)當m=1時，方程變為-2x+8=0，因此x=4，代數式的值為：199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)當m=-1時，原方程無解．所以所求代數式的值為1991．222七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第16頁。例7

、已知關于x的方程a(2x-1)=3x-2無解，試求a的值．解：將原方程變形為：2ax-a=3x-2，即(2a-3)x=a-2．由已知該方程無解，所以2a-3=0且a-2≠0,解得a=七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第17頁。例8、

k為何正數時，方程kx-k=2kx-5k的解是正數？22七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第18頁。分析：當方程ax=b有唯一解時，此解的正負由不得a、b來確定：(1)若b=0時，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，則b=0成立．(2)若ab＞0時，則方程的解是正數；反之，若方程ax=b的解是正數，則ab＞0成立．(3)若ab＜0時，則方程的解是負數；反之，若方程ax=b的解是負數，則ab＜0成立．解：按未知數x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解為正數，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因為k2≥0，所以，只要k＞5或k＜2且k≠0時，上式大于零，所以，當k＜2且k≠0或k＞5時，原方程的解是正數，所以k＞5或0＜k＜2即為所求．七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第19頁。例9

、若abc=1，解方程七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第20頁。解：因為abc=1，所以原方程可變形為說明：

像這種帶有附加條件的方程，求解時恰當地利用附加條件可使方程的求解過程大大簡化．七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第21頁。例10

、若a，b，c是正數，解方程七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第22頁。解法1

原方程兩邊乘以abc，得到方程

ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移項、合并同類項得

ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因為a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c為原方程的解．七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第23頁。解法2

將原方程右邊的3移到左邊變為-3，再拆為三個“-1”，并注意到設m=a+b+c，則原方程變形為因為a,b,c是正數，所以x-m=0,即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c為原方程的解．說明：注意觀察，巧妙變形，是產生簡單優美解法所不可缺少的基本功之一．七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第24頁。例11

、設n為自然數，[x]表示不超過x的最大整數，解方程：x+2[x]+3[x]+4[x]+…+n[x]=分析要解此方程，必須先去掉[]，由于n是自然數，所以n與(n+1)中必須有一個是偶數，因此是整數，因為[x]是整數，2[x],3[x],…,n[x]都是整數，所以x必須是整數。七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第25頁。七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第26頁。例12

、已知關于x的方程且a為某些自然數時，方程的解為自然數，試求自然數a的最小值．七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第27頁。七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第28頁。練習1．解下列方程：

(1)(2)(3)七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第29頁。2．解下列關于x的方程：(1)、a(x-2)-3a=x+1；(2)(3)2七年級數學奧數《一元一次方程》教學課件-(共33張PPT)全文共33頁，當前為第30頁。3.a為何值時，方程