仝仝Aa集整理.僅供參考學習年北京市中考數學一模分類匯編一一幾何綜合等邊三角形、等腰三角形旋轉變換（燕山）已知：如圖，點是線段上的動點，分別以、為邊向線段的同側作正^和正△,和交于點（）當^和^ 面積之和最小時，直接寫出的值和（）當^和^ 面積之和最小時，直接寫出的值和N 的度數;（）將點在線段 上隨意固定，再把△ 按順時針方向繞點旋轉一個角度a，當a6時，旋轉過程中，/ 的度數是否發生變化？證明你的結論（）在第（）小題給出的旋轉過程中，若限定°a。，/ 的大小是否會發生變化？若變化，請寫出/的度數變化范圍；若不變化，請寫出/的度數⑴i⑴i°⑵不變化證明：如圖，點在的延長線上，ZaVZ（只要畫出Y符合題意的圖形即可得分）+ZA???/ZaVZ（只要畫出Y符合題意的圖形即可得分）+ZA???/中,:、△???/???/分)Z2(Z60且與a的大小無關⑶不變化，（東城）已知/ 分。，點為射線上任意一點（點與點不重合），分別以⑶不變化，（東城）已知/ 分。，點為射線上任意一點（點與點不重合），分別以、為邊在Z的內部作等邊△ 和4 連結并延長交于占八、、（）如圖，若243，點、、恰好在一條直線上時，求此時的長（直接寫出結果）;（）如圖，當點為射線上任意一點時，猜想與圖中的哪條線段相等（不能添（）如圖，當點加輔助線產生新的線段），并加以證明;（3）若AB=243，設BP=x，以Q為邊的等邊三角形的面積，求關于x的函數關系式.圖1圖2式.圖1圖2（本小題滿分分）解：（）E=. 分（）E=B. 分證明：???ZBAP=ZBAEZEAP=60°NEAP,ZEAQ=ZQAPNEAP=60°NEAP,；.NBAP:NEAQ.在^ABP和^AEQ中，AB=AE,NBAP二NEAQ,AP=AQ,△ABP"AEQ..?.NAEQ=NABP=90°.??.NBE=180O-ZAEQ-ZAEB=180。—90。—60。=30。.3在圖中，過點作_LBE于點.4ABE是等邊三角形??.BE=AB=2x3在圖中，過點作_LBE于點.4ABE是等邊三角形??.BE=AB=2x/3.由()得ZEBF=30°,在Rt^B中，BD=欄.??B上=2.cos30o；.E= .??△ABP^^AEQ?.QE=BP=x.Q=QE+E=x+2.土以Q為邊的等邊三角形的面積=^-(x+2)2= x2+<3x+<34 43.（順義）問題：如圖在Rt^ABC中，ZC=90o,ZABC=30。，點D是射線B3.（順義）問題：如圖任意一點，4任意一點，4A是等邊三角形，且點在ZACB的內部，連接BE.探究線段BE與之間的數量關系.請你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明

（）當點與點重合時（如圖），請你補全圖形.由/BAC的度數為，點落在，容易得出與之間的數量關系為；（）當點在如圖的位置時，請你畫出圖形，研究線段與之間的數量關系是否與（）中的結論相同，寫出你的猜想并加以證明.解：（）完成畫圖如圖，由ZBAC的度數為°，點落在 的中點處,容易得出與之間的數量關系為解：（）完成畫圖如圖，由ZBAC的度數為°，點落在 的中點處,容易得出與之間的數量關系為d 分（）完成畫圖如圖.猜想：BE=DE. A證明：取的中點，連結.ZACB=90。，ZABC=30。，???Z1=60。，CF^CAF=-AB. BD， 2圖3??.△ACF是等邊三角形.??.AC=AF. ①……分??△ 是等邊三角形，???Z2=60。，AD=AE. ②?.Z1=Z2..?.Z1+ZBAD=Z2+ZBAD.即ZCAD=ZFAE.③ 分由①②③得△ /△ (). 分?.ZACD=ZAFE=90。.??是的中點，???是 的垂直平分線.?? 分??△ 是等邊三角形，??.ABE=DE. 分（延慶）如圖，已知：已知：等邊4（延慶）如圖，已知：已知：等邊4合），求證：，點是邊上一點（點不與點、點重下面的證法供你參考：把A下面的證法供你參考：把AACD繞點瞬時間針旋轉60。得到AABE則有AACD二AABEZDAE=60。??.AADE是等邊三角形()猜想：〈ZDAE=60。??.AADE是等邊三角形()猜想：〈證明：把AACD繞點順時針旋轉a，得到AABEvz???/即：°.,.zo,三點共線在vz???/即：°.,.zo分E分或者猜想：證明：把境點A麒時針旄轉B分E分l.：i有.風⑷熊眼」匚：J；,匚),VJ；：.'：ZEAC+ZRDC=180-A/ABD+4CD=1SO.AZABD+^AEiE=180-即：E.B.D三點共線-??.△AED是等腰三角形由全等可得：ZCAD=ZBAE,\ZEAD=a過A作AF，DE于F點a 1 1則ZEAF=-,DF=-DE=-(BE+BD)乙 乙 乙a在RtA.AFD中，DF二AD?sin一仝仝Aa集整理.僅供參考學習仝人收集整理.僅供參考學習仝人收集整理.僅供參考學習間接利用旋轉變換添加輔助線.(密云)已知：正方形ABCD中，/MAN=45，繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交0BD(或它們的延長線)于點、N()如圖，當/MAN繞點A旋轉至ijBM=DN時，有BM+DN=MN.當/MAN繞點A旋轉到BM中DN時，如圖，請問圖中的結論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由；()當/MAN繞點A旋轉到如圖的位置時，線段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關系？請寫出你的猜想，并證明.BM+DN=MN.證明：如圖，在的延長線上截取證明：如圖，在的延長線上截取BE二DN，連結AE.易證△ABE^^ADN(A).???AE=AN；ZEAB=ZNAD./BAD=90,/NAM=45,O O:::NBAM+NNAD=45.0NEAB+NBAM=45.o??.NEAM=NNAM.又A為公共邊，.?.△AEM2ANM.ME=MN.

MN=ME=BE+BM=DN+BM即DN+BM=MN. 分()猜想：線段BM,DN和MN之間的等量關系為：DN—BM=MN.證明：如圖，在延長線上截取二，連結^易證△ABM^AADE( )..?. =；N=Z易證△AMNZAAEN().MN=EN.???DN—DE=EN,??.DN—BM=MN. 分.(平谷)如圖，已知四邊形 是正方形，對角線相交于.()如圖，設、分別是、上的點，且Z=°,線段、和之間存在一定的數量關系.請你用等式直接寫出這個數量關系；分 圖i()如圖，設、分別是上不同的兩個點，且N=5分 圖iEF2=AF2+AE2 「??...分線段、和之間的數量關系：EF2=BF2+AE2 .…...分AEFB證明：過作，，交于點，連結AEFBTOC\o"1-5"\h\zVZ=°5,Z =90°,??/NNN二°5.??NN.由正方形性質可知，=,N5=N=°5.?? △ Z 分二二， =. 5分在^和^中' OE=OE,</EOH=/EOF=45°,、 HO=FO,.?.△za./. 分在△中，:EH2=AH2+AE2??.EF2=BF2+AE2

.（懷柔）探究：（1）如圖1,在正方形 中D、F分別是、 上的點，且N與45°,判斷、DF與三條線段之間的數量關系，直接寫出判斷結果：（2）如圖2,若把1問中的條件變為“在四邊形 中D=DN+ND=180°,、1F分別是邊、吐的點，且N 與N”D則（1）問中結論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，說明理由；（3）在（2）問中，若將△ 繞點逆時針旋轉，當點分別、F運動到、D延長線上時，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問中的結論是否發生變化？若變化，請給出結論并予以證明..24.探究：（1）通過觀察可知，F+DF. 1分證明將^D曉點順時針旋轉，使I與以證明..24.探究：（1）通過觀察可知，F+DF. 1分證明將^D曉點順時針旋轉，使I與.?.△DE?AABF',??.N1N2,FFBF'DF.NABF- 1 rr又??,/F=N ,D即N4N2N3.重合，得到AABF',.??N4N1N3.又???/+ND=180°,...NBF'+N °180即：F'、在^與41中，rf尸，N4N1N3,..△建^F'中， ?,.FF',又F' +F'3分即：+DF.()發生變化.EF()發生變化.EF、 EDF之間的關系是EF HEDF. 5分證明：將^DF繞點順時針旋轉，使嶼重合，點F落在上點F,處，得到△F'，如圖所示.AEFF',又：E尸'+EF',??.EF,式F'.即EF HEDF. 7分與中點有關的問題.(豐臺)已知：4和4D是兩個不全等的等腰直角三角形，其中 ，DDE,聯結E,取E的中點，聯結和D.()如圖，如果點D、E分別在邊、上，那么、D的數量關系與位置關系是;()將圖中的△DE繞點旋轉到圖的位置時，判斷()中的結論是否仍然成立，并說明理由.TOC\o"1-5"\h\z解：()D且_LD 分()成立. 分理由如下：延長D至點F,使FD聯結FFD易證△￡§?△ .F- 分.,.EDFZDEZ.?「 ，DDE,且NDEZ °0???/D°5ND5°5..NNN/6 °N6.VN °6N5N7 NiN7 ° N6N,.N °6 °5( °N6 N)(NN )6 °5N6N5N

6 °5N6N5N??/= 分又.??.△絲△.?? ，/ N 分??/ / 9 0: ,?? 且，. 分.（石景山）（）如圖，在矩形中， ，是的中點.直接寫出/與N的倍數關系；（）如圖，若四邊形 是平行四邊形， ，是的中點，過作，與所在直線交于點.①若/為銳角，則N與N有怎樣的倍數關系，并證明你的結論；②當00<ZA< °時，上述結論成立；當 °?/A<180。時，上述結論不成立.（）Z —Z（）聯結，取的中點，聯結，交于:是的中點，,〃〃，??/Z1ZZ4 ?, 2B,?，?Z/:，，???，，又：是的中點，TOC\o"1-5"\h\z?? ，???/2 分??///??/ 3 分（）當。Z。時，結論成立；當120°<ZA<180°時，結論不成立 分.（海淀）在口 中，ZZ過點作 且Z Z連接、分別為、的中點，連接.試探究線段與線段的數量關系及（）如圖，若點在上與交于點試探究線段與線段的數量關系及Z與Z 滿足的等量關系，請直接寫出你的結論;（）如圖2若點在線段上當點在何位置時，你在（）中得到的結論仍然成立，寫出你確定的點的位置，并證明（）中的結論解（） = Z分 2分（2）點是線段+Z =。或其它變式及文字敘述各的中點或其它等價寫法.證明：如圖分別連接?四邊形.〃，=Z.Z?Z=Z-=是平行四邊形，〃，Z=Z,???N=CVZ.??Z即Z又=zC二E由①②③得△① 分DZ=Z.=ZZ.. ②③/△ =Z=Z2.分別為的中點，，〃同理可得〃， =-FC.2?，./?，./???/Z=Z=Z=P?，./+P二E+E二C4.=C+P4.?「〃.（西城）已知：

的對稱點為，

求證：=1EB EB.2Z2=ZZ.=Z+Z+Z+Z4=Z+Z 分軸對稱+中點+旋轉思想添輔助線在如圖所示的銳角三角形中，邊上一點滿足Z=Z,直線〃；于占八、、點關于直線交直線于點.2若邊的中點為，求證：DF=2EM；時（如圖2）,在未添加輔助線和其它字母的條件下，找出圖2中所有與相等的線段，并證明你的結論.24.證明：（1）如圖6.??點關于直線的對稱點為， ±于點直線交直線于點?.N1=N2.又?「Z=Z,Z=Z1,TOC\o"1-5"\h\z??Z=Z2..'. 〃（2）取的中點，連結、???是的中點，是的中點，???由（1）得〃，???〃，即 〃.??,在口△ 中，Z=90°,邊的中點為，1，八，?HM=-AC=AM.2??Z=Z3.??Z=Z3.TOC\o"1-5"\h\z?? 〃.???四邊形 是平行四邊形. 3分.. =.???在口△中，Z=90°, 的中點為，..HN=1DF，即DF=2HN.2.DF=2EM. 4 分（3）當=時，在未添加輔助線和其它字母的條件下，原題圖2中所有與相等的線段是和.（只猜想結論不給分）證明：連結.（如圖）±于點??點關于直線的對稱點為±于點. =,Z=Z5.?.ZABC=180。一2ZA,=.①:Z=Z,??Z6=180。-2ZA, =.②Z=Z6=Z5.Z是4的外角，??/BDE=ZA+Z6.「/BDE=Z4+Z5,Z=Z4.③由①，②，③得△ /△.仝仝Aa集整理.僅供參考學習圖圖2??.BE=CE. 6分由（1）中B=0得ZCENBC由（1）中所得B〃AC可得ZBCZEC.二ZCEZEC.???E=CE??.BE=E. 7分BE=E=CE.（閱卷說明：在第3問中，若僅證出BE=E或BE=CE只得2分）軸對稱思想添輔助線12.（門頭溝）已知:如圖，當ZACB=90°在^ABC中，BC=2AC,ZDBC=ZACB,BD=BC,CD交線段AB于點E.（1）時，直接寫出線段DE、CE之間的數量關系；（2）如圖2,當ZACB=120°時，求證：DE=3CE；（3）如圖3,在（2）的條件下，點是BC邊的中點，連接D,D與AB交于，△D 和△DB關于直線D對稱（點B的對稱點是點）,延長D交AB于點.若B=10求CE的長.24圖（11）DE=2CEECB圖2DAGCBK..2分..2分1.ZDMB=ZCMB=90°,ZDBM二ZCBM二一ZDBC=60°2⑵證明：過點B作BM^DC于M

VBD=BC,.DM;CM, .??ZMCB=30°BM=1BC2VBC=2AC,.BM=AC.BCVZACB=120°,

??.ZACE=90°.BC仝仝Aa集整理.僅供參考學習.\ZBME=ZACE*.,NMEB=NAEC.,.△EMBSECA.\ME=CE=-CM 2 分 分，DB交DB的延長線于點3過點B作BM^DC于M,過點作*NDB=°???/B=o73-B1BT?2..分*DB=BC=B5=DB-BB2.*.D=17B1???AC=-BC21'BC.'.AC=B2*NDBC=NACB.△DB0BCA.NBDNCBA*NBn=DBs△DBFGBFBGBFDFDB.?.BF2=FG-FD??.FG=B7?二△D和ADB關于直線D對稱，.NDn=BD.ABC=ND*.*NB n=DAMBMDBGGF????DGGH.. 53*B=B ——=B7.B27 .*.BC=B幣.CD=CM4v/21*DE=3EC.*.EC=-CD=,213V7-=-B7分(2=213(昌平)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點角NDCNa，將^D(以直線M為對稱軸翻折得到AD' C直直線M經過點直線AD‘、BC'，設銳相交于點.八、、 ?()當四邊形ABCD是矩形時，如圖，請猜想AD、BC的數量關系以及NA的大小關系；()當四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖，()中的結論還成立嗎？(3)當四邊形ABCD是等腰梯形時，如圖3,NA與Na有怎樣的等量關系？請證明.TOC\o"1-5"\h\z() ’ ',ZBa 分) ’ ‘仍然成立，ZZa不一定成立. 分()Z°Za 分證明：如圖，設‘，’交于點.??將4以直線 為對稱軸翻折得到△' '，??△必' ’，,. ’， ‘，ZZ' '.??四邊形 是等腰梯形，?? ， ZZ.?? ，???△ ” .??ZZ.??? ， .?,ZZZC’，Z'ZD.,?? ’ ， ‘ ，二△, ‘“，??Z’’Z.‘ ， ‘ ，Z'Z， ,???Z’Z‘Z'Z' .??,Z'Z，,???/'ZC'Z Za.VZCZ°,AZ°Za 分(朝陽)閱讀下面材料：問題：如圖①，在^中，是邊上的一點，若ZZ2 °,.求的長.小明同學的解題思路是：利用軸對稱，把△ 進行翻折，再經過推理、計算使問題得到解決.()請你回答：圖中的長為—；()參考小明的思路，探究并解答問題：如圖②，在△中，是邊上的一點，若/=Z=Z=30°,二,求和的長.圖②_圖①圖②3.解：（1）BD=2,/2 （）把^沿翻折，得△,連接:.△VZ???△=z..,.Z=z，/=Z=30°,.Z為等邊三角形.=Z,=Z=30 3分,Z=60°在???△在4???/???/上截取/△中，=Z，連接，=Z=75°,=105°.AZ+Z=45°,Z=105°.=75°..Z=ZEGBi/D兩點重合），兩點重合），作±于點，?,.在△中，BG=21. 5分..在△中，AB=2v12 6分幾何探究與函數關系式問題15.（通州）已知四邊形，點是射線上的一個動點（點不與線段的垂直平分線交射線于點（1）若四邊形 是正方形，猜想并證明你的結論.（）若四邊形 是矩形，（1）中的（填：成立或不成立）.（3）若四邊形 是矩形，=6,設=△ 的面積為當1時，25(1分(1)=

(1分..(2分①當點在射線邊上且交點在對角線上時連結???四邊形是正方形，；.=,N=Z。又,:=，二△” ()。? =?????點在的垂直平分線上?二???二??TOC\o"1-5"\h\z?:△ ”。???/ =z.又???/ =180°-45°—N=135°-Z ,AZ=135°—N。又丁=,AZ=180°—2Z+2ZAZ=360°—Z—Z—Z=360°—2(135°—Z)—180°+2Z360°—270°+2Z —180°+2Z =90°A± ..(3分②、兩點重合PE=PD,PE1PD. ..(4分③當點在邊的延長線上且點在對角線的延長線上時連結同理可證二^^^ (?二??AZZ=AZZ=???點在的垂直平分線上AZ.??NPCNPEAZAZEP..(5分 ..(6分A..(5分 ..(6分結論成立()()中的猜想不成立.()①當點P在線段上時是矩形???四邊形ACAZ是矩形??，作PQ，APQ〃PCA一PA??，作PQ，APQ〃PCA一PACC于點QCQBq10-xx八4Q-A5△CPQ^AC8-BQ

近8E-58ACE-5PQABPQ6CPCA310-x101c c-ECXPQ2O9V5..(7分..(7分TOC\o"1-5"\h\z12 36 /———— (525 5②當點P在線段的延長線上時???PQ〃AACPQ^AC.PQPC「ABac.PQx-10一~6 1o~???PQ3 65.PCCQ「acBC

104??CQ=—5八4??Q5??E858??EC:一512(5—8 52(5—8 5(12 36——x2—25 5 ..（8 分幾何最值問題_ _6（房山）如圖，在^中ZC=90°, CCv'5，以點為圓心，以工26（房山）如圖，在^中作圓.⑴設點P為。上的一個動點，線段CP繞著點C順時針旋轉90°,得到線段C,聯結，，P,如圖2求證：=P⑵在⑴的條件下，若ZCP= °5貝U=；⑶在⑴的條件下，當ZPC°時，有最大值，且最大值為；當ZPC°時， 有最小值，且最小值為.⑴證明：???/C=90° ZCP90°,AZCz=CP圖2 ?「C=CC,=CP△C04CP（???二P 分⑵在⑴的條件下，①若ZCP二°,則=2在1或_；（答對一個給分） _ _②當ZPC°時， 有最大值，且最大值為‘，110+貶；當ZPC°時， 有最小值，且最小值為師一、2.（每空分）旋轉變換中不變量輔助圓的構造（朝陽）在矩形沖，點P在上，=2P,將三角板的直角頂點放在點P處，三角板的兩直角邊分別能與、 邊相交于點E、，連接E.（）如圖，當點E與點重合時，點恰好與點C重合，求此時PC的長；（）將三角板從（）中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E與點重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答：①Z 的大小是否發生變化？請說明理由;②直接寫出從開始到停止，線段的中點所經過的路線長.,,在矩形中，ZA=ZD=②直接寫出從開始到停止，線段的中點所經過的路線長.,,在矩形中，ZA=ZD=90。，,?布,