必要條件和充分條件第1課時新知探究小組討論定理1：菱形的對角線互相垂直．定理2：對頂角相等．定理3：如果兩個三角形是全等三角形，那么這兩個三角形的對應角相等．①將定理1、2改成“若p，則q”的形式．定理1：如果一個四邊形是菱形，那么它的對角線互相垂直．定理2：如果兩個角是對頂角，那么它們相等．新知探究追問1：定理1：如果一個四邊形是菱形，那么它的對角線互相垂直．請問“對角線互相垂直”是“四邊形是菱形”的必有的條件嗎？是，如果對角線不垂直，那么肯定不是菱形．新知探究追問2：試用上面的方法分析定理2，定理3．定理2如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．也就是說，如果兩個角是對頂角，那么一定可以得到這兩個角相等，而若兩個角不相等，那么這兩個角一定不是對頂角．定理3如果兩個三角形是全等三角形，那么這兩個三角形的對應角相等．也就是說，如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形對應的角相等，而若兩個三角形對應的角不相等，那么這兩個三角形一定不全等．新知探究必要條件：一般的，當命題“若p，則q”是真命題時，稱q是p的必要條件．即：p?q，q是p的必要條件，因為如果q不成立，則p肯定不成立．如：①如果集合AB，那么A∩B＝A．即“AB?A∩B＝A”，所以“A∩B＝A”是“AB”的必要條件．②若實數x＝y，那么｜x｜＝｜y｜．“x＝y?｜x｜＝｜y｜”，所以“｜x｜＝｜y｜”是“x＝y”的必要條件，如果｜x｜≠｜y｜，肯定x≠y．新知探究必要條件：一般的，當命題“若p，則q”是真命題時，稱q是p的必要條件．即：p?q，q是p的必要條件，因為如果q不成立，則p肯定不成立．③甲同學數學成績優異，說明他平時認真聽講了．“甲同學數學成績優異”?“平時認真聽講了”，所以“平時認真聽講”是“甲同學數學成績優異”的必要條件，如果“平時不認真聽講”，那么“甲同學數學成績不會很好的”．新知探究小組討論定理4：若a＞0，b＞0，則ab＞0．定理5：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．定理6：平行于三角形一邊的直線，截其他兩邊所得三角形與原三角形相似．以上定理，要得到結論，所給的條件充分嗎？另外所給的條件是不是必要的呢？定理4，條件“a＞0，b＞0”是“ab＞0”成立的充分條件，但不是必需（必要）的；定理5，是充分的，也是必要的；定理6，是充分的，但不是必要的．新知探究充分條件：一般的，當命題“若p，則q”是真命題時，稱p是q的充分條件．

再看上面的例子：①如果集合AB，那么A∩B＝A．“AB?A∩B＝A”，“AB”是“A∩B＝A”成立的充分條件．②若實數x＝y，那么｜x｜＝｜y｜．x＝y?｜x｜＝｜y｜，所以“x＝y”是“｜x｜＝｜y｜”的充分條件．注意：①對于一個命題“若p，則q”，我們固定將p稱為命題的條件，q稱為命題的結論，所以如果p?q就稱“p是q的充分條件”，如果q?p就稱“p是q的必要條件”．新知探究充分條件：一般的，當命題“若p，則q”是真命題時，稱p是q的充分條件．

如上例，若實數x＝y，則｜x｜＝｜y｜．x＝y?｜x｜＝｜y｜，所以“x＝y”是“｜x｜＝｜y｜”的充分條件，但｜x｜＝｜y｜?x＝y，所以“x＝y”不是“｜x｜＝｜y｜”的必要條件．②對于充分條件和必要條件的判斷問題，最常有的兩種形式為“p是q的**條件”和“q的**條件是q”，兩種敘述方式，都是“p是條件，q是結論”，然后只需判斷“pq”和“qp”哪個是真命題即可．新知探究追問3：請判斷，對于集合A，B，AB的什么條件是A＝？A＝AB，則A＝是AB充分條件，但ABA＝，故A＝不是AB的必要條件，所以AB的充分不必要條件是A＝．初步應用例1

將下面的性質定理寫成“若p則q”的形式，并用必要條件的語言表述：（1）“平面四邊形的外角和是360°”可表述為“若平面多邊形為四邊形，則它的外角和為360°”，所以“外角和為360°”是“平面多邊形為四邊形”的必要條件；（2）“在平面直角坐標系中，關于（軸對稱的兩個點的橫坐標相同)”可表述為“若平面直角坐標系中的兩個點關于（軸對稱），則這兩個點的橫坐標相同”，（1）平面四邊形的外角和是360°；（2）在平面直角坐標系中，關于（軸對稱的兩個點的橫坐標相同）．所以“兩個點的橫坐標相同”是“在平面直角坐標系中，兩個點關于（軸對稱）”的必要條件）．初步應用例2

用充分條件的語言表述下列命題：（1）若a＝－b，則｜a｜＝｜b｜；（2）若點C是線段AB的中點，則｜AC｜＝｜AB｜；（3）當ac＜0，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數根．

（2）“點C是線段AB的中點”是“｜AC｜＝｜AB｜”的充分條件；（3）“ac＜0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數根”的充分條件．初步應用思考討論（1）p：x＝2，q：x2＝4，請判斷p是q的什么條件；（2）p：x＞2，q：x＞0，則p的________的條件是q．（1）由p：x＝2q：x2＝4，但q：x2＝4，p：x＞2所以p是q的充分條件的，但不是必要條件；（2）由問題的表述可知：q是條件，p是結論，q：x＞0?p：x＞2，但p：x＞2q：x＞0，所以q是p的必要條件，但不是充分條件．初步應用追問4：判斷p是否為q的充分條件，q是否為p的必要條件的依據和方法是什么？具體方法是：命題法：判斷命題“若p，則q”的真假．判斷充分（必要）條件的依據是：充分條件和必要條件的定義．初步應用追問5：對于命題（1）滿足pq，那么若q不成立，p成立嗎？請你解釋．對于命題（4）呢？一般地，當pq時，那么若q不成立，p成立嗎？你能據此說明為什么此時稱q為p的必要條件？q是p的必要條件，即如果q不成立，p一定不成立，所以q對于p成立而言是必要的．p是q的充分條件，即p成立足夠推出q成立；初步應用追問6：根據上述分析，你認為充分條件與判定定理之間有怎樣的關系？數學中的每個判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．初步應用1已知m＞0，p：－2≤x＜6，q：2－m＜x≤2＋m，（1）若p是q的充分條件，求實數m的取值范圍；解答：因為p是q的充分條件，所以條件p對應的數集中的每個元素都應該在條件q對應的數集中，所以｛x｜－2≤x＜6｝｛x｜2－m＜x≤2＋m｝，從而將問題轉化為已知集合關系求參數范圍．

解得m＞4．初步應用2已知m＞0，p：－2≤x＜6，q：2－m＜x≤2＋m，（2）若p是q的必要條件，求實數m的取值范圍．

解得0＜m＜4．追問7：對于（1），根據充分條件的定義，兩個條件p與q對應的數集之間應該有怎樣的關系？對于（2）呢？歸納小結充分條件和必要條件的含義：p是q的充分條件，即p成立足夠推出q成立；q是p的必要條件，即如果q不成立，p一定不成立，所以q對于p成立而言是必要的．對于“若p，則q”命題，判斷p是否為q的充分條件或必要條件的方法：命題法和集合法．（1）命題法：判斷命題“若p，則q”的真假，若其為真，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；問題5

本節課我們學習了充分條件和必要條件，充分條件和必要條件的含義分別是什么？對于“若p，則q”命題，判斷p是否為q的充分條件或者必要條件的方法有哪些？充分條件、必要條件與數學中的判定定理、性質定理有什么關系？對照問題1中給出的研究內容和思路，你有沒有需要補充的內容？若其為假，則p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．歸納小結（2）集合法：集合A＝｛x｜x滿足p｝，集合B＝｛x｜x滿足q｝，若AB，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A?B，則p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．數學中的每個判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．問題5

本節課我們學習了充分條件和必要條件，充分條件和必要條件的含義分別是什么？對于“若p，則q”命題，判斷p是否為q的充分條件或者必要條件的方法有哪些？充分條件、必要條件與數學中的判定定理、性質定理有什么關系？對照問題1中給出的研究內容和思路，你有沒有需要補充的內容？數學中的每個性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．歸納小結研究內容及思路：在大量實例感知的基礎上，抽象出充分條件、必要條件的概念；然后依據定義尋找判斷充分條件、必要條件的方法；并利用新知重新認識以前的一些知識（判定定理、性質定理）．問題5

本節課我們學習了充分條件和必要條件，充分條件和必要條件的含義分別是什么？對于“若p，則q”命題，判斷p是否為q的充分條件或者必要條件的方法有哪些？充分條件、必要條件與數學中的判定定理、性質定理有什么關系？對照問題1中給出的研究內容和思路，你有沒有需要補充的內容？作業布置作業：教材16頁練習1，2題．1目標檢測（1）若x＝1，則x2－4x＋3＝0；（3）若兩個三角形全等，則這兩個三角形面積相等；（4）若A∩B＝，則集合A，B中至少有一個為空集．下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？哪些命題中的q是p的必要條件？（2）若x2≥0，則x≥0；解答：（1）p是q的充分條件，q是p的必要條件；（2）p不是q的充分條件，q不是p的必要條件；（3）p是q的充分條件，q是p的必要條件；（4）p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．2目標檢測A（1）設x∈R，則x＞2的一個必要條件是（）A．x＞1C．x＞3B．x＜1D．x＜3（2）寫出“x＜4”的一個充分條件：________．x＜3說明：（2）答案不唯一．3目標檢測（－∞，2]“2＜x≤4”是“x＞m”的充分條件，則實數m的取值范圍是____________．解析：∵α：2＜x≤4，β：x＞m若α是β的充分條件，則m≤2．∴實數m的取值范圍是（－∞，2]．4目標檢測已知集合A＝｛x∈R｜－1＜x≤3｝，B＝｛x∈R｜－1＜x＜m＋1｝，若x∈B成立的一個充分條件是x∈A，求實數m的取值范圍．解答：因為x∈A是x∈B的充分條件，所以AB，則m＋1＞3，解得m＞2．由x2＋4＝0得x＝0或x＝－4，∴A＝｛－4，0｝，5目標檢測解答：由α是β的必要條件，但α不是β的充分條件得α