2023屆四川省蓉城聯(lián)盟高三三模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)集合A，B，再利用交集運(yùn)算求解.【詳解】解：由題意得，，故選：D.2．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦和角公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)樗裕裕?故選:C.3．校園環(huán)境對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)是重要的，好的校園環(huán)境離不開(kāi)學(xué)校的后勤部門.學(xué)校為了評(píng)估后勤部門的工作，采用隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查100名學(xué)生對(duì)校園環(huán)境的認(rèn)可程度（100分制），評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)如下：中位數(shù)評(píng)價(jià)優(yōu)秀良好合格不合格2023年的一次調(diào)查所得的分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示，則這次調(diào)查后勤部門的評(píng)價(jià)是（

）A．優(yōu)秀 B．良好 C．合格 D．不合格【答案】B【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求解中位數(shù)即可得答案.【詳解】解：由頻率分布直方圖可知，前3組的頻率分別為，第4組的頻率為所以，中位數(shù)，即滿足，對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)是良好.故選：B.4．雙曲線的離心率為，其漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，結(jié)合雙曲線的結(jié)合性質(zhì)求得，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意知，雙曲線的離心率為，可得，即，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.5．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由題意，平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，可得，則且，所以.故選：A.6．一個(gè)四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖均為上底長(zhǎng)為4，下底長(zhǎng)為2，腰長(zhǎng)為的等腰梯形，則該四棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C．28 D．【答案】A【分析】根據(jù)三視圖得到該四棱臺(tái)腰長(zhǎng)為，上底長(zhǎng)為4，下底長(zhǎng)為2的正四棱臺(tái)求解.【詳解】解：由三視圖可知該四棱臺(tái)為正四棱臺(tái)，且腰長(zhǎng)為，因?yàn)樯系组L(zhǎng)為4，下底長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高為，棱臺(tái)的體積，故選：.7．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的最小值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先求得時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋Y(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，求得函數(shù)的值域，進(jìn)而求得其最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上的值域?yàn)橐驗(yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以的值域?yàn)椋缘淖钚≈凳?故選：A.?JohnWheeler曾說(shuō)過(guò)：今后誰(shuí)不熟悉分形，誰(shuí)就不能被稱為科學(xué)上的文化人.koch雪花曲線是一種典型的分形曲線，它的制作步驟如下：第一步：任意畫(huà)一個(gè)正三角形，記為，并把的每一條邊三等分；第二步：以三等分后的每一條邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，記所得圖形為；第三步：把的每一條邊三等分，重復(fù)第二步的制作，記所得圖形為；同樣的制作步驟重復(fù)下去，可以得到，直到無(wú)窮，所畫(huà)出的曲線叫做koch雪花曲線.若下圖中的邊長(zhǎng)為1，則圖形的周長(zhǎng)為（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，建立圖形中的邊數(shù)為，每條邊的長(zhǎng)度為的遞推關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合等比數(shù)列求通項(xiàng)公式即可得答案.【詳解】解：設(shè)圖形中的邊數(shù)為，每條邊的長(zhǎng)度為，所以，由題可知，數(shù)列的遞推關(guān)系為，；數(shù)列的遞推關(guān)系為，，所以，由等比數(shù)列定義與通項(xiàng)公式得圖形的邊數(shù)為，邊長(zhǎng)為，所以，圖形的周長(zhǎng)為，所以，當(dāng)時(shí)，圖形的周長(zhǎng)為.故選：D.9．將3個(gè)1和3個(gè)0隨機(jī)排成一行，則3個(gè)0都不相鄰的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出總數(shù)，再由插空法，得到滿足題意的情況，由古典概型的公式即可得出答案.【詳解】先考慮總的情況，6個(gè)位置選3個(gè)放1，有種，再考慮3個(gè)0都不相鄰的情況，將3個(gè)0插入3個(gè)1形成的4個(gè)空中，有種，可得.故選：C．10．已知直線，是函數(shù)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)，再根據(jù)相鄰對(duì)稱軸的距離是周期的一半求出，利用整體代換法求得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由題意，，又直線，是函數(shù)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，所以，所以，解得，所以，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，故選：C.11．如圖，在梯形ABCD中，，，，將△ACD沿AC邊折起，使得點(diǎn)D翻折到點(diǎn)P，若三棱錐P-ABC的外接球表面積為，則（

）A．8 B．4 C． D．2【答案】C【分析】先找出兩個(gè)三角形外接圓的圓心及外接球的球心，通過(guò)證明，可得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得BC⊥面APC，通過(guò)勾股定理可求得PB的值.【詳解】如圖所示，由題意知，，所以，，所以AB的中點(diǎn)即為△ABC外接圓的圓心，記為，又因?yàn)椋裕栽谥校C的中點(diǎn)M，連接PM，則△APC的外心必在PM的延長(zhǎng)線上，記為，所以在中，因?yàn)椋詾榈冗吶切危裕ɑ蛴烧叶ɡ淼茫海┧裕谥校O(shè)外接球半徑為R，則，解得：，設(shè)O為三棱錐P-ABC的外接球球心，則面ABC，面APC．所以在中，，又因?yàn)樵冢裕运倪呅螢槠叫兴倪呅危裕忠驗(yàn)椋裕忠驗(yàn)槊鍭PC，所以BC⊥面APC，所以，所以，即：.故選：C.12．設(shè)函數(shù)，其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（…），則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】B【分析】令，結(jié)合，判斷AC；將不等式轉(zhuǎn)化為，，再構(gòu)造函數(shù)求解最值即可判斷B；借助特殊值判斷D.【詳解】解：令，則，且，，當(dāng)，，∴存在一個(gè)較小的正數(shù)使得都有，當(dāng)時(shí)，，∴存在一個(gè)較小的正數(shù)使得都有，故A，C都不正確，對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)，則顯然成立，當(dāng)時(shí)，即證明，也即證明，，令，則，所以，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，的最小值為，令，則，所以，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，的最大值為，所以，，因?yàn)椴煌瑫r(shí)取等，所以，，即選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，（成立），即，所以選項(xiàng)D不正確．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)不同選項(xiàng)，構(gòu)造不同的函數(shù)，利用函數(shù)值的大小，特殊值等，實(shí)現(xiàn)大小比較.二、填空題13．設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，然后由模長(zhǎng)公式可得.【詳解】解：模長(zhǎng)為.故答案為：.14．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.【答案】1【分析】在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，由圖即可得出答案.【詳解】解：注意到，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，易知零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故答案為：1.15．如圖，在中，.延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的面積為_(kāi)_________.【答案】【分析】根據(jù)正弦定理和面積公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵谥校裕烧叶ɡ淼茫矗裕谥校烧叶ɡ砜傻茫驗(yàn)樗裕?故答案為：.16．若A，B是拋物線上不同的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____________．【答案】6【分析】設(shè)，，AB中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法得到直線AB的斜率，再利用中垂線求得，然后利用拋物線的定義，由求解.【詳解】解：設(shè)，，AB中點(diǎn)，設(shè)斜率為k，則，相減得：，∵，即，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)滿足在拋物線內(nèi)部，∴的最大值為6，故答案為：6．三、解答題17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量計(jì)算得，再求通項(xiàng)公式即可；（2）由題知數(shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而結(jié)合求和公式求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)的公差為，由得，，解得，∵，即，∴，∴，∴；（2）解：由得，∴，即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，.18．隨著容城生態(tài)公園綠道全環(huán)貫通，環(huán)城綠道騎行成為最熱門的戶外休閑方式之一.環(huán)城綠道全程約100公里，不僅可以繞蓉城一圈，更能360度無(wú)死角欣賞蓉城這座城市的發(fā)展與魅力.某位同學(xué)近半年來(lái)騎行了5次，各次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評(píng)分與對(duì)應(yīng)用時(shí)（單位：小時(shí)）如下表：身體綜合指標(biāo)評(píng)分12345用時(shí)小時(shí)7(1)由上表數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立關(guān)于的回歸方程.參考數(shù)據(jù)和參考公式：相關(guān)系數(shù).【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)求出相關(guān)系數(shù)，由相關(guān)系數(shù)的可判斷相關(guān)程度；（2）利用公式直接計(jì)算可得.【詳解】（1），相關(guān)系數(shù)近似為，說(shuō)明與負(fù)相關(guān)，且相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；（2）由（1）中數(shù)據(jù)，，，關(guān)于的回歸方程為.19．如圖，正三棱柱的體積為，，P是面內(nèi)不同于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)經(jīng)過(guò)BC且與AP垂直的平面交AP于點(diǎn)E，當(dāng)三棱錐E-ABC的體積最大時(shí)，求二面角平面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）由線面垂直的判定定理即可證明；（2）由分析知，三棱錐E-ABC的體積最大，等價(jià)于點(diǎn)E到面ABC的距離最大，由分析知，∠PFD為二面角的平面角，以F為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和，代入即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)線段BC的中點(diǎn)為F，則，∵，，AP為公共邊，∴，∴，∴，又，面APF，∴BC⊥面APF，面APF∴；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為D，由題意，點(diǎn)P在線段上，由，得，∴三棱錐E-ABC的體積最大，等價(jià)于點(diǎn)E到面ABC的距離最大，∵AP⊥面BCE，面BCE，∴，∴點(diǎn)E在以AF為直徑的圓上，如圖，易知，從而，由（1）知PF⊥BC，DF⊥BC，平面，DF平面，平面平面，∴∠PFD為二面角的平面角，如圖，以F為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，于是，，從而，∴二面角平面角的余弦值為．20．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，交于交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn).試探究是否為定值，若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是，1【分析】（1）由題設(shè)可得關(guān)于的方程組，求出其解后可得橢圓的方程.(2)【詳解】（1）由題意，，解得，代入點(diǎn)得，解得，的方程為：；（2）由題意，，當(dāng)斜率都不為0時(shí)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性得，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程，得恒成立，，同理可得：，直線方程：，令，得，同理：，，，當(dāng)斜率之一為0時(shí)，不妨設(shè)斜率為0，則，直線方程：，直線方程：，令，得，，綜上：.21．已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意的，都有．（ⅰ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（ⅱ）證明：對(duì)任意的，都有．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)（ⅰ）；（ⅱ）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得到單調(diào)區(qū)間；（2）（ⅰ）求導(dǎo)，分、、三種情況討論，求得最小值即可求解；（ⅱ）借助（ⅰ）的結(jié)論由當(dāng)時(shí)，，得，令，得，從而可證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）（ⅰ），①當(dāng)時(shí)，，（不合題意）；②當(dāng)時(shí)，，（不合題意）；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，；當(dāng)，，∴在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為，于是，∴，解得或，∵，∴，綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ⅱ）由（ⅰ）可知當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，令，則，即，令，則，有．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：證明對(duì)任意的，都有，需要借助第二問(wèn)中（ⅰ）的結(jié)論：當(dāng)時(shí)，，即，令，得，從而可證.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線及曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，求的最小值.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由曲線的參數(shù)方程通過(guò)將兩個(gè)式子兩邊分別平方再相減可消去參數(shù)，得到曲線的普通方程；對(duì)于曲線先化為，再利用公式直接化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）根據(jù)曲線是以為圓心，的圓，則，設(shè)，利用兩點(diǎn)距離公式建立，令，從而利用二次