本文格式為Word版，下載可任意編輯——新人教版九年級數學上冊全冊教案

其次十一章二次根式

教材內容

1．本單元教學的主要內容：

二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式．

2．本單元在教材中的地位和作用：

二次根式是在學完了八年級下冊第十七章《反比例正函數》、第十八章《勾股定理及其應用》等內容的基礎之上繼續學習的，它也是今后學習其他數學知識的基礎．

教學目標

1．知識與技能

（1）理解二次根式的概念．

（2

a≥0）是一個非負數，

2=a（a≥0）

（a≥0）．

（3

a≥0，b≥0）

；

a≥0，b0）

a≥0，b0）．

（4）了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減．

2．過程與方法

（1）先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念．?再對概念的內涵進行分析，得出幾個重要結論，并運用這些重要結論進行二次根式的計算和化簡．

（2）用具體數據探究規律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規定，?并運用規定進行計算．

（3）利用逆向思維，?得出二次根式的乘（除）法規定的逆向等式并運用它進行化簡．

（4）通過分析前面的計算和化簡結果，抓住它們的共同特點，?給出最簡二次根式的概念．利用最簡二次根式的概念，來對一致的二次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和化簡的目的．

3．情感、態度與價值觀

通過本單元的學習培養學生：利用規定確鑿計算和化簡的嚴謹的科學精神，經過摸索二次根式的重要結論，二次根式的乘除規定，發展學生觀測、分析、發現問題的能力．

教學重點

1

a≥0

a≥0）是一個非負數；

2＝a（a≥0）

（a≥0）?及其運用．

2．二次根式乘除法的規定及其運用．

3．最簡二次根式的概念．

4．二次根式的加減運算．

教學難點

--1--

1

a≥0

2＝a（a≥0

（a≥0）的理解及應用．

2．二次根式的乘法、除法的條件限制．

3．利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式．

教學關鍵

1．潛移默化地培養學生從具體到一般的推理能力，突出重點，突破難點．

2．培養學生利用二次根式的規定和重要結論進行確鑿計算的能力，?培養學生一絲不茍的科學精神．單元課時劃分

本單元教學時間約需11課時，具體分派如下：

21．1二次根式3課時

21．2二次根式的乘法3課時

21．3二次根式的加減3課時

教學活動、習題課、小結2課時

21．1二次根式

第一課時

教學內容

二次根式的概念及其運用

教學目標

a≥0）的意義解答具體題目．

提出問題，根據問題給出概念，應用概念解決實際問題．

教學重難點關鍵

1

a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2

a≥0）〞解決具體問題．

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們獨立完成以下三個問題：

問題1：已知反比例函數y=3

x

，那么它的圖象在第一象限橫、?縱坐標相等的點的坐標是___________．

問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90，那么AB邊的長是__________．

問題3：甲射擊6次，各次擊中的環數如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_________．

--2--

二、摸索新知

式．因此，一般地，我們把形如a≥0）?的式子叫做二次根式，

“（學生活動）議一議：

1．-1有算術平方根嗎？

2．0的算術平方根是多少？

3．當a0

例1．以下式子，哪些是二次根式，

、

1

x

x0）

、

1

xy

+

、x≥0，y?≥0）．

例2．當x

在實數范圍內有意義？

三、穩定練習

教材P練習1、2、3．

四、應用拓展

例3．當x

1

1

x+

在實數范圍內有意義？

例4(1)已知

，求

x

y

的值．

(2)

，求a2023+b2023的值．

五、歸納小結（學生活動，老師點評）

本節課要把握：

1

a≥0）的式子叫做二次根式，

2．要使二次根式在實數范圍內有意義，必需滿足被開方數是非負數．

六、布置作業

1．教材P8復習穩定1、綜合應用5．

21.1二次根式(2)

其次課時

--3--

--4--教學內容

1

a≥0）是一個非負數；2．

2=a（a≥0）

．教學目標

a≥0

2=a（a≥0）

，并利用它們進行計算和化簡．

a≥0）是一個非負數，用具體數據結合算術平方根的意義導

出（2=a（a≥0）；最終運用結論嚴謹解題．教學重難點關鍵

1

a≥0）是一個非負數；

2=a（a≥0）及其運用．2

a≥0）是一個非負數；?

2=a（a≥0）．教學過程

一、復習引入

1．什么叫二次根式？

2．當a≥0

a0

二、探究新知

議一議：（學生分組探討，提問解答）

a≥0）是一個什么數呢？

老師點評：根據學生探討和上面的練習，我們可以得出

做一做：根據算術平方根的意義填空：

2=_______；

2=_______；

2=______；

2=_______；

2=______；2=_______；2=_______．

例1計算

1．

22．（

23．

24．

（

2

）2

三、穩定練習

計算以下各式的值：

2

2

2

）2（

222

-

四、應用拓展

例2計算

1．

（2（x≥0）2．

23．

24．

2

例3在實數范圍內分解以下因式:

（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3

五、歸納小結

本節課應把握：

1

a≥0）是一個非負數；

2．

2=a（a≥0）;反之:a=

2（a≥0）．

六、布置作業

1．教材P8復習穩定2．（1）、（2）P97．

21.1二次根式(3)

第三課時

教學內容

a（a≥0）

教學目標

（a≥0）并利用它進行計算和化簡．

（a≥0），并利用這個結論解決具體問題．教學重難點關鍵

--5--

--6--1

a（a≥0）．

2．難點：探究結論．

3．關鍵：講清a≥0

a才成立．教學過程

一、復習引入

老師口述并板收上兩節課的重要內容；

1

a≥0）的式子叫做二次根式；2

a≥0）是一個非負數；3．

2＝a（a≥0）

．那么，我們猜想當a≥0

是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題．二、探究新知

（學生活動）填空：

=_______

=______；

=________

．

例1化簡

（1

（2

（3（4三、穩定練習

教材P7練習2．

四、應用拓展

例2

填空：當a≥0；當a0

，?并根據這一性質回復以下問題．（1

，則a可以是什么數？（2

，則a可以是什么數？（3

，則a可以是什么數？

例3當x2

五、歸納小結

（a≥0）及其運用，同時理解當a0

a的應用拓展．

六、布置作業

1．教材P8習題21．13、4、6、8．

21．2二次根式的乘除

第一課時

教學內容

a≥0，b≥0）

（a≥0，b≥0）及其運用．

教學目標

a≥0，b≥0）

（a≥0，b≥0），并利用它們進行計算和化簡

由具體數據，發現規律，導出

＝（a≥0，b≥0）并運用它進行計算；?

利用逆向思維，得出

a≥0，b≥0）并運用它進行解題和化簡．

教學重難點關鍵

a≥0，b≥0）

a≥0，b≥0）及它們的運用．

a≥0，b≥0）．

a0,b0）

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們完成以下各題．

1．填空

（1

；

（2

=_______

．

（3

．

參考上面的結果，用“、或＝〞填空．

2．利用計算器計算填空

--7--

（1

（2

（3

（4

（5

．

老師點評（改正學生練習中的錯誤）

二、摸索新知

（學生活動）讓3、4個同學上臺總結規律．

老師點評：（1）被開方數都是正數；

（2）兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，?并且把這兩個二次根式中的數相乘，作為等號另一邊二次根式中的被開方數．

一般地，對二次根式的乘法規定為

反過來:

例1．計算

（1

（2

（3

（4

例2化簡

（1

（2

（3

（4

（5

三、穩定練習

（1

）計算（學生練習，老師點評）

①

②

(2)化簡:

教材P11練習全部

四、應用拓展

例3．判斷以下各式是否正確，不正確的請予以改正：

（1=

--8--

（2

五、歸納小結

本節課應把握：（1

（a≥0，b≥0）

a≥0，b≥0）及其運用．

六、布置作業

1．課本P151，4，5，6．（1）（2）．

21．2二次根式的乘除

其次課時

教學內容

a≥0，b0）

a≥0，b0）及利用它們進行計算和化簡．

教學目標

a≥0，b0

a≥0，b0）及利用它們進行運算．

利用具體數據，通過學生練習活動，發現規律，歸納出除法規定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進行計算和化簡．

教學重難點關鍵

1

a≥0，b0）

，

a≥0，b0）及利用它們進行計算和化簡．

2．難點關鍵：發現規律，歸納出二次根式的除法規定．教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們完成以下各題：

1．寫出二次根式的乘法規定及逆向等式．

2．填空

（1

；

（2

；

（3

；

--9--

（4

．

3．利用計算器計算填空:

（1

=_________，（2

，（3

=______，（4

=________．

每組推薦一名學生上臺闡述運算結果．

（老師點評）

二、摸索新知

方才同學們都練習都很好，上臺的同學也回復得十分確鑿，根據大家的練習和回復，我們可以得到：一般地，對二次根式的除法規定：

下面我們利用這個規定來計算和化簡一些題目．

例1．計算：（1

（2

（3

（4

分析：上面4

a≥0，b0）便可直接得出答案．

例2．化簡：

（1

（2

（3

（4

a≥0，b0）就可以達到化簡之目的．

--10--

三、穩定練習

教材P14練習1．四、應用拓展

例3．

，且x為偶數，求（1+x

五、歸納小結

a≥0，b0

a≥0，b0）及其運用．

六、布置作業

1．教材P15習題21．22、7、8、9．

21.2二次根式的乘除(3)

第三課時

教學內容

最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運算．

教學目標

理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式．

通過計算或化簡的結果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據它的特點來檢驗最終結果是否滿足最簡二次根式的要求．重難點關鍵

1．重點：最簡二次根式的運用．

2．難點關鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式．

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們完成以下各題（請三位同學上臺板書）

1．計算（1

（2

，（3

2．現在我們來看本章引言中的問題：假使兩個電視塔的高分別是h1km，h2km，?那么它們的傳播半徑的比是_________．

．

二、摸索新知

觀測上面計算題1的最終結果，可以發現這些式子中的二次根式有如下兩個特點：

--11--

1．被開方數不含分母；

2．被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．

那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？假使不是，把它們化成最簡二次根式．學生分組探討，推薦3～4個人到黑板上板書．

老師點評：不是．

2

==

例1．(1)

例2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的長．

B

A

C

三、穩定練習

教材P14練習2、3

四、應用拓展

例3．觀測以下各式，通過分母有理數，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：

1

21

=

-

，

=

從計算結果中找出規律，并利用這一規律計算

+

）的值．

五、歸納小結

本節課應把握：最簡二次根式的概念及其運用．

六、布置作業

1．教材P15習題21．23、7、10．

2．選用課時作業設計．

--12--

3.課后作業:《同步訓練》

21.3二次根式的加減(1)

第一課時

教學內容

二次根式的加減

教學目標

理解和把握二次根式加減的方法．

先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解．再總結經驗，用它來指導根式的計算和化簡．

重難點關鍵

1．重點：二次根式化簡為最簡根式．

2．難點關鍵：會判定是否是最簡二次根式．

教學過程

一、復習引入

學生活動：計算以下各式．

（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3

教師點評：上面題目的結果，實際上是我們以前所學的同類項合并．同類項合并就是字母不變，系數相加減．

二、摸索新知

學生活動：計算以下各式．

（1）

（2）

（3

（4）

所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，?再將被開方數一致的二次根式進行合并．例1．計算

（1

（2

例2．計算

（1）

（2）

）+

三、穩定練習

教材P19練習1、2．

四、應用拓展

--13--

例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0

，求（

2

3

-（x

）的值．

五、歸納小結

本節課應把握：（1）不是最簡二次根式的，應化成最簡二次根式；（2）一致的最簡二次根式進行合并．

六、布置作業

1．教材P21習題21．31、2、3、5．

21.3二次根式的加減(2)

其次課時

教學內容

利用二次根式化簡的數學思想解應用題．

教學目標

運用二次根式、化簡解應用題．

通過復習，將二次根式化成被開方數一致的最簡二次根式，進行合并后解應用題．

重難點關鍵

講清如何解允許用題既是本節課的重點，又是本節課的難點、關鍵點．

教學過程

一、復習引入

上節課，我們已經講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；其次步，再將被開方數一致的二次根式進行合并，下面我們講三道例題以做穩定．

二、摸索新知

例1．如下圖的Rt△ABC中，∠B=90，點P從點B開始沿BA邊以1厘米/?秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動．問：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結果用最簡二次根式表示）

C

Q

P

例2．要焊接如下圖的鋼架，大約需要多少米鋼材（確切到0.1m）？

--14--

三、穩定練習

教材P19練習3四、應用拓展

例3．

若最簡根式3a

求a、b的值．（?同類二次根式就是被開

方數一致的最簡二次根式）

五、歸納小結

本節課應把握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問題．

六、布置作業

1．教材P21習題21．37．

21.3二次根式的加減(3)

第三課時

教學內容

含有二次根式的單項式與單項式相乘、相除；多項式與單項式相乘、相除；多項式與多項式相乘、相除；乘法公式的應用．

教學目標

含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應用．

復習整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運算．

重難點關鍵

重點：二次根式的乘除、乘方等運算規律；

難點關鍵：由整式運算知識遷移到含二次根式的運算．

教學過程

一、復習引入

學生活動：請同學們完成以下各題:

1．計算

（1）（2x+y）zx（2）（2x2y+3xy2）xy

2．計算

（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2

老師點評：這些內容是對八年級上冊整式運算的再現．它主要有（1）?單項式單項式；（2）單項式多項式；（3）多項式單項式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運用．

二、摸索新知

假使把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規律是否仍成立呢？?仍成立．

整式運算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，?當然也可以代表二次根式，所以，整式中的運算規律也適用于二次根式．

例1．計算:

--15--

（1）

（2）（

例2．計算

（1）

）（

（2）

三、穩定練習

課本P20練習1、2．四、應用拓展

例3．已知xb

a

-

=2-

xa

b

-

，其中a、b是實數，且a+b≠0，

五、歸納小結

本節課應把握二次根式的乘、除、乘方等運算．

六、布置作業

1．教材P21習題21．31、8、9．

二次根式復習課

教學目標

1．使學生進一步理解二次根式的意義及基本性質，并能熟練地化簡含二次根式的式子；

2．熟練地進行二次根式的加、減、乘、除混合運算．

教學重點和難點

重點：含二次根式的式子的混合運算．

難點：綜合運用二次根式的性質及運算法則化簡和計算含二次根式的式子．

教學過程設計

一、復習

1．請同學回憶二次根式有哪些基本性質？用式子表示出來，并說明各式成立的條件．

指出：二次根式的這些基本性質都是在一定條件下才成立的，主要應用于化簡二次根式．

2．二次根式的乘法及除法的法則是什么？用式子表示出來．指出：二次根式的乘、除法則也是在一定條件下成立的．把兩個二次根式相除，計算結果要把分母有理化．

3．在二次根式的化簡或計算中，還常用到以下兩個二次根式的關系式：

--16--

4．在含有二次根式的式子的化簡及求值等問題中，常運用三個可逆的式子：

二、例題

例1x取什么值時，以下各式在實數范圍內有意義：

例3

--17--

三、課堂練習

1．選擇題：

A．a≤2B．a≥2

C．a≠2D．a＜2

A．x+2B．-x-2

C．-x+2D．x-2

A．2xB．2a

C．-2xD．-2a

2．填空題：

--18--

4．計算：

四、小結

1．本節課復習的五個基本問題是“二次根式〞這一章的主要基礎知識，同學們要深刻理解并穩固把握．2．在一次根式的化簡、計算及求值的過程中，應注意利用題中的使二次根式有意義的條件(或題中的隱含條件)，即被開方數為非負數，以確定被開方數中的字母或式子的取值范圍．

3．運用二次根式的四個基本性質進行二次根式的運算時，一定要注意論述每一特性質中字母的取值范圍的條件．

4．通過例題的探討，要學會綜合、靈活運用二次根式的意義、基本性質和法則以及有關多項式的因式分解，解答有關含二次根式的式子的化簡、計算及求值等問題．

五、作業

1．x是什么值時，以下各式在實數范圍內有意義？

2．把以下各式化成最簡二次根式：

--19--

其次十二章一元二次方程

單元要點分析

教材內容

1．本單元教學的主要內容．

一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程應用題．

2．本單元在教材中的地位與作用．

一元二次方程是在學習《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基礎之上學習的，它也是一種數學建模的方法．學好一元二次方程是學好二次函數不可或缺的，是學好高中數學的奠基工程．應當說，一元二次方程是本書的重點內容．教學目標

1．知識與技能

了解一元二次方程及有關概念；把握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；把握依據實際問題建立一元二次方程的數學模型的方法；應用熟練把握以上知識解決問題．

2．過程與方法

（1）通過豐富的實例，讓學生合作探討，老師點評分析，建立數學模型．?根據數學模型恰如其分地給出一元二次方程的概念．

（2）結合八冊上整式中的有關概念介紹一元二次方程的派生概念，如二次項等．

（3）通過把握缺一次項的一元二次方程的解法──直接開方法，?導入用配方法解一元二次方程，又通過大量的練習穩定配方法解一元二次方程．

（4）通過用已學的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）導出解一元二次方程的求根公式，接著探討求根公式的條件：b2-4ac0，b2-4