北京市西城區(qū)2022年抽樣測試高三數(shù)學試卷（理科）本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時間120分鐘.題號分數(shù)一二三總分151617181920第Ⅰ卷(共40分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知全集，集合，那么集合等于（）A.B.C.D.2.設(shè)i是虛數(shù)單位，復數(shù)i，則等于（）A.iC.iD.i3.若數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，且，則數(shù)列是（）A.公差為2的等差數(shù)列B.公差為的等差數(shù)列C.公比為2的等比數(shù)列D.公比為的等比數(shù)列4.設(shè)a為常數(shù)，函數(shù).若為偶函數(shù)，則等于（）A.-2B.2C.-1D.15.已知直線a和平面，那么的一個充分條件是（）A.存在一條直線b，B.存在一條直線b，C.存在一個平面D.存在一個平面6.與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是（）A.B.C.D.7．設(shè)R， 且，，則()A.B.C.D.8.函數(shù)f(x)的定義域為D，若對于任意，當時，都有，則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3).則等于（）A.B.C.1D.北京市西城區(qū)2022年抽樣測試高三數(shù)學試卷（理科）第Ⅱ卷(共110分)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.9.的值等于___________.10.的展開式中的系數(shù)是___________；其展開式中各項系數(shù)之和為________.(用數(shù)字作答)11.不等式的解集為_____________.12.設(shè)O為坐標原點，向量.將繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量,則的坐標為____________.13.給出下列四個函數(shù)：①；②；③；④.其中在上既無最大值又無最小值的函數(shù)是_________________.（寫出全部正確結(jié)論的序號）14.已知函數(shù)由下表給出：01234其中等于在中k所出現(xiàn)的次數(shù).則=______________；___________.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分12分）某個高中研究性學習小組共有9名學生，其中有3名男生和6名女生.在研究學習過程中，要進行兩次匯報活動（即開題匯報和結(jié)題匯報），每次匯報都從這9名學生中隨機選1人作為代表發(fā)言.設(shè)每人每次被選中與否均互不影響.（Ⅰ）求兩次匯報活動都由小組成員甲發(fā)言的概率；（Ⅱ）設(shè)為男生發(fā)言次數(shù)與女生發(fā)言次數(shù)之差的絕對值，求的分布列和數(shù)學期望. 16.（本小題滿分12分）OAxBy如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸正半軸上，直線AB的傾斜角為OAxBy（Ⅰ）用表示點B的坐標及；（Ⅱ）若，求的值.17.（本小題滿分14分）ABDCP如圖，在四棱錐ABDCP.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；（Ⅲ）求點B到平面PAD的距離.18.（本小題滿分14分）設(shè)R，函數(shù).（Ⅰ）若函數(shù)在點處的切線方程為，求a的值；（Ⅱ）當a<1時，討論函數(shù)的單調(diào)性.19.（本小題滿分14分）已知橢圓C，過點M(0,3)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B.（Ⅰ）若l與x軸相交于點N，且A是MN的中點，求直線l的方程；（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點,且(O為坐標原點).求當時，實數(shù)的取值范圍.20.（本小題滿分14分）設(shè)，對于有窮數(shù)列(),令為中的最大值，稱數(shù)列為的“創(chuàng)新數(shù)列”.數(shù)列中不相等項的個數(shù)稱為的“創(chuàng)新階數(shù)”.例如數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為2,2,3,7,7，創(chuàng)新階數(shù)為3.考察自然數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列.（Ⅰ）若m=5,寫出創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,5,5的所有數(shù)列；(Ⅱ)是否存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有的數(shù)列，若不存在，請說明理由；（Ⅲ）在創(chuàng)新階數(shù)為2的所有數(shù)列中，求它們的首項的和.

北京市西城區(qū)2022年抽樣測試參考答案 高三數(shù)學試卷（理科）題號12345678答案CBABCCDA一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9.10.10，24311.12.13.eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,4)14.注：兩空的題目，第一個空3分，第二個空2分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.15.（本小題滿分12分）（Ⅰ）解：記“2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言”為事件A.-----------------------------1分由題意，得事件A的概率，即2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言的概率為.---------------------------5分（Ⅱ）解：由題意，ξ的可能取值為2,0,----------------------------6分每次匯報時，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為.；；所以，的分布列為：20P---------------------------10分的數(shù)學期望.---------------------------12分16.（本小題滿分12分）（Ⅰ）解：由三角函數(shù)的定義，得點B的坐標為.---------------------------1分在中，|OB|=2，，由正弦定理，得，即，所以.--------------------------5分注：僅寫出正弦定理，得3分.若用直線AB方程求得也得分.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，---------7分因為，所以，----------------------------9分又 ，---------------------------11分所以.---------------------------12分17.（本小題滿分14分）（Ⅰ）證明：在中，，，，即，---------------------------1分，平面.---------------------------4分（Ⅱ）方法一：解：由（Ⅰ）知，又，平面，---------------------------5分如圖，過C作于M，連接BM，是BM在平面PCD內(nèi)的射影，，又為二面角B-PD-C的平面角.---------------------------7分在中,,PC=1,，AABDCPM又，，.---------------8分在中,,BC=1,,,二面角B-PD-C的大小為.---------------------------9分方法二：ABDCPxyzM解：如圖，在平面ABDCPxyzM則,---------------------------5分過C作于M，連接BM，設(shè)，則，，；eq\o\ac(○,1)共線，，eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)，解得，點的坐標為，，，,，又，為二面角B-PD-C的平面角.---------------------------7分，，，二面角B-PD-C的大小為.--------------------------9分（Ⅲ）解：設(shè)點B到平面PAD的距離為h，，，平面ABCD，，，在直角梯形ABCD中，，.在中，，，，，的面積，---------------------------10分三棱錐B-PAD的體積，，---------------------------12分即，解得，點B到平面PAD的距離為.---------------------------14分18.（本小題滿分14分）（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域為，---------------------------1分.---------------------------4分因為，所以.---------------------------5分（Ⅱ）解：當時，因為，所以，故在上是減函數(shù)；------------------------7分當a=0時，當時，，故在上是減函數(shù)，當時，，故在上是減函數(shù)，因為函數(shù)在上連續(xù)，所以在上是減函數(shù)；--------------------------9分當0<a<1時，由,得x=，或x=.--------------------------10分x變化時，的變化如情況下表：0+0極小值極大值所以在上為減函數(shù)、在上為減函數(shù)；在上為增函數(shù).-----------13分綜上，當時，在上是減函數(shù)；當0<a<1時，在上為減函數(shù)、在上為減函數(shù)；在上為增函數(shù).------------------------14分19.（本小題滿分14分）（Ⅰ）解：設(shè)A(x1,y1)，因為A為MN的中點，且M的縱坐標為3，N的縱坐標為0，所以，---------------------------1分又因為點A(x1,y1)在橢圓C上所以，即，解得，則點A的坐標為或，-------------------------3分所以直線l的方程為或.--------------------------5分（Ⅱ）解：設(shè)直線AB的方程為或，A(x1,y1)，B(x2,y2)，，當AB的方程為時，，與題意不符.--------------------------6分當AB的方程為時：由題設(shè)可得A、B的坐標是方程組的解，消去y得，所以即，則，---------------------------8分因為，所以，解得，所以.--------------------------10分因為，即，所以當時，由，得，上述方程無解，所以此時符合條件的直線不存在；--------------------11分當時，，，因為點在橢圓上，所以，-------------------------12分化簡得，因為，所以，則.綜上，實數(shù)的取值范圍為.---------------------------14分20.（本小題滿分14分）（Ⅰ）解：由題意，創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,5,5的數(shù)列有兩個，即：（1）數(shù)列3，4，1，5，2；---------------------------2分（2）數(shù)列3，4，2，5，1.--