本文格式為Word版，下載可任意編輯——初二競賽班輔導(dǎo)資料初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

目錄

本內(nèi)容適合八年級學(xué)生競賽拔高使用。重視中考與競賽的有機結(jié)合，重點落實在中考中難以上題、奧賽方面的基礎(chǔ)知識和基本技能培訓(xùn)和提高。本內(nèi)容難度適中，講練結(jié)合，由淺入深，講解與練習(xí)同步，重在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力與解題能力。另外在本次培訓(xùn)中，內(nèi)容的編排大多大于120分鐘的容量，因此在實際教學(xué)過程中可以根據(jù)學(xué)生的具體狀況和層次，由任課教師適當(dāng)?shù)恼{(diào)整順序和選擇內(nèi)容（如專題復(fù)習(xí)可以提前上）。注：有(*)標(biāo)注的為選做內(nèi)容。

本次培訓(xùn)具體計劃如下，以供參考：

第一講其次講第三講第四講第五講第六講第七講

如何做幾何證明題平行四邊形（一）平行四邊形（二）梯形

中位線及其應(yīng)用一元二次方程的解法一元二次方程的判別式

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的應(yīng)用

專題復(fù)習(xí)一：因式分解、二次根式、分式專題復(fù)習(xí)二：代數(shù)式的恒等變形專題復(fù)習(xí)三：相像三角形

第八講第九講第十講第十一講第十二講

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第一講：如何做幾何證明題

1、幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生規(guī)律思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題往往可以相互轉(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補的問題。2、把握分析、證明幾何問題的常用方法：

（1）綜合法（由因?qū)Ч瑥囊阎獥l件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；

（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止；

（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最終達(dá)到證明目的。3、把握構(gòu)造基本圖形的方法：繁雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要擅長將繁雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。

證明線段相等或角相等

兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。好多其它問題最終都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。已知：如下圖，?中，?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CF。ABC求證：DE＝DF

CFBAED第2頁共90頁初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

如下圖，已知?為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE＝BD，連ABC結(jié)CE、DE。求證：EC＝ED

已知：如下圖，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求證：∠E＝∠F

證明直線平行或垂直

在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特別的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個角等于90°，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一〞來證。

如下圖，設(shè)BP、CQ是?的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。ABC求證：KH∥BC

BCQKAPHBCDAEEABFCD第3頁共90頁初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

已知：如下圖，AB＝AC，∠。A?90?，AE?BF，BD?DC求證：FD⊥ED

證明線段和的問題

（一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點E是AB上一個動點，若∠B＝60°，AB＝BC，且∠DEC＝60°；求證：BC＝AD＋AE

已知：如圖，在?中，?，∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O。ABCB?60?求證：AC＝AE＋CD

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AEFBDCADEBCBEAODC初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補短法）

已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，?。EAF??45求證：EF＝BE＋DF

證明幾何不等式：

已知：如下圖，在?中，AD平分∠BAC，AB?AC。ABC求證：BD?DC

BDCAADFBECD??AB?AC?BC?中，?于D，求證：ABAC??90，AD?BCABC?

BDCA14

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初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

（1）求EC∶CF的值；

（2）延長EF交正方形外角平分線CP于點P（如圖13－2），試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并說明理由；

（3）在圖2的AB邊上是否存在一點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

如圖，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD邊上任意一點，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的值。

如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE、AF分別是∠ABC、∠DAC的平分線，BE和AD交于G，求證：GF∥AC。

如下圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC

B

E圖1

FC

B

E圖2

FPC

ADAD第11頁共90頁初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

于F。求證：AE＝CF。

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B，∠D的平分線分別交對邊于點E、F，交四邊形的對角線AC于點G、H。求證：AH＝CG。

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AGEBDFC初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

第四講：梯形

與平行四邊形一樣，梯形也是一種特別的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位，本講就來研究它們的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。

一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形，等腰梯形是一類特別的梯形，其判定和性質(zhì)定理與等腰三角形的判定和性質(zhì)類似。

通過作輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，這是解梯形問題的基本思路，常用的輔助線的作法是：

1、平移腰：過一頂點作一腰的平行線；

2、平移對角線：過一頂點作一條對角線的平行線；3、過底的頂點作另一底的垂線。熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：

中位線概念：

(1)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．(2)梯形中位線定義：連結(jié)梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．

三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半。梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并等于兩底和的一半。

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如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝6，∠B＝45°，BC＝10，求梯形上底AD的長.

如下圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的長.

ABDCBADC

如下圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，BD＝6cm.求梯形ABCD的面積.

如下圖，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.

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ADBCDCAB初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

1、如下圖，已知等腰梯形的銳角等于60°，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長.

2、如下圖，已知等腰梯形ABCD