重慶市巴蜀中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．（5分）已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為﹣y2=1，則其漸近線方程為（）A．x±2y=0 B．x±2y=1 C．2x±y=0 D．2x±y=12．（5分）命題p：?x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定為（）A．￢p：?x0∈R，f（x0）∈N且f（x0）≥x0 B．￢p：?x0∈R，f（x0）?N且f（x0）＜x0C．￢P：?x∈R，f（x）?N且f（x）＜x D．￢p：?x0∈R，f（x0）?N或f（x0）＜x03．（5分）點P為雙曲線﹣=1左支上一點，F(xiàn)2為其右焦點，則|PF2|的長度不可能為（）A．7 B．8 C．9 D．104．（5分）設(shè)a，b，c為空間中不同的直線，α，β為空間中不同的平面，有下列命題：（1）a∥b，c∥b?a∥b（2）a⊥c，b⊥c?a∥b（3）a∥α，α∩β=b?a∥b（4）a⊥α，b⊥α?a∥b其中真命題的個數(shù)是（）A．1個B．2個 C．3個 D．4個5．（5分）直線l：y=x+m與橢圓+y2=1有兩個不同的交點的一個充分不必要條件是（）A．﹣＜m B．m或m＞ C．﹣2＜m＜2 D．0≤m＜16．（5分）某程序框圖如圖，如果輸入的m=187，n=85，則輸出結(jié)果為（）A．11 B．13 C．17 D．197．（5分）已知某幾何體的三視圖如圖中粗線部分所示，每個小方格的邊長為1，則該幾何體的表面積為（）A．48 B．16+12 C．20+12 D．20+128．（5分）如圖，在以AB為直徑的圓中，C，D為圓上的點，且AC=BC，AB=2AD，現(xiàn)將該圓沿著AB折疊，使得二面角D﹣AB﹣C為直二面角，則折疊后直線AD，BC所成的余弦值為（）A． B． C． D．9．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點，橢圓C上存在點M使得|F1F2|=3|MF2|，則C的離心率e的范圍是（）A．（0，） B．[，1） C．[，] D．[，1）10．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，過點A1的動直線與CC1所成角的大小為，這些動直線與平面BC1D的交點的軌跡為（）A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．橢圓11．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱長為2，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，則四棱錐C﹣EFD1B1的體積為（）A．2 B．C．3 D．12．（5分）已知圓O：x2+y2=1，A（2，0），動點B滿足線段AB為直徑的動圓C與圓O外切，則B點的軌跡方程為（）A．x2+=1 B．x2﹣=1（x＞0） C．x2﹣=1 D．x2﹣=1（x＞0）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知某程序框圖如圖，可知該程序框圖的輸出結(jié)果為．14．（5分）已知焦點在x軸上的橢圓+=1（k＞0）的離心率范圍為（0，]，則k的范圍為．15．（5分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=1，AC=2，∠BAC=，則該三棱柱的外接球的表面積為．16．（5分）已知雙曲線﹣=1，過其左焦點F的直線交雙曲線左支于P，Q兩點，|PF2|=|F1F2|，|QF1|=2|PF1|，則該雙曲線的離心率為．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．（10分）已知命題p：?x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命題q：?x∈[2，3]，a＞x+．若命題p∨q為真命題，命題p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．18．（12分）已知中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓C過點A（，），B（﹣1，﹣）．（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過該橢圓左焦點的直線l交橢圓C于A，B兩點，且|AB|=，求該直線方程．（12分）如圖，六面體ABCDEF中，ABCD為正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，BE∥AF．（1）證明：DB⊥CF；（2）求直線CF與平面DEF所成角的正弦值．20．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，D是棱CC1的中點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點．（1）求證：PB1∥平面BDA1；（2）求二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值．21．（12分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），斜率為﹣且過橢圓右焦點F的直線交橢圓C于A，B兩點，且向量+與向量=（2，1）平行（O為原點）．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點，滿足=λ（+）+μ（λ∈R，μ∈R），求λ，μ滿足的關(guān)系式．22．（12分）已知圓C：x2+y2﹣4x﹣32=0的圓心為C，定點D（﹣2，0），不與x軸重合的直線l過點D交圓C于M，N兩點，過點D作CM的平行線交CN于點P．（1）求動點P的軌跡方程C1；（2）過定點D的直線l1與C1交于E，F(xiàn)兩點，過原點的直線l2與C1交于P，Q兩點，且l1，l2的斜率之積為﹣，求四邊形PEQF面積的范圍．

重慶市巴蜀中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．（5分）已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為﹣y2=1，則其漸近線方程為（）A．x±2y=0 B．x±2y=1 C．2x±y=0 D．2x±y=1【分析】由雙曲線的漸近線方程為y=±x，求出a，b即可得到漸近線方程．【解答】解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為﹣y2=1，可得a=2，b=1，由于漸近線方程為y=±x，即為y=±x．即x±2y=0．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）命題p：?x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定為（）A．￢p：?x0∈R，f（x0）∈N且f（x0）≥x0 B．￢p：?x0∈R，f（x0）?N且f（x0）＜x0C．￢P：?x∈R，f（x）?N且f（x）＜x D．￢p：?x0∈R，f（x0）?N或f（x0）＜x0【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出結(jié)果即可．【解答】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以：命題p：?x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定為：￢p：?x0∈R，f（x0）?N或f（x0）＜x0．故選：D．【點評】本題考查命題的否定，全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題．3．（5分）點P為雙曲線﹣=1左支上一點，F(xiàn)2為其右焦點，則|PF2|的長度不可能為（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】求出雙曲線的實半軸以及半焦距的長，然后推出結(jié)果．【解答】解：點P為雙曲線﹣=1左支上一點，F(xiàn)2為其右焦點，a=3，b=4，c=5，則|PF2|≥a+c=8，則|PF2|的長度不可能為：7．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．4．（5分）設(shè)a，b，c為空間中不同的直線，α，β為空間中不同的平面，有下列命題：（1）a∥b，c∥b?a∥b（2）a⊥c，b⊥c?a∥b（3）a∥α，α∩β=b?a∥b（4）a⊥α，b⊥α?a∥b其中真命題的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】（1）根據(jù)空間平行線的傳遞性，可判定；（2）a⊥c，b⊥c?a與b可能相交、平行、異面；（3）a∥α，α∩β=b?a、b平行或異面；（4）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)；【解答】解：對于（1），a∥b，c∥b?a∥b，根據(jù)空間平行線的傳遞性，可判定（1）正確；對于（2），a⊥c，b⊥c?a與b可能相交、平行、異面，故（2）錯；對于（3），a∥α，α∩β=b?a∥b或a、b異面，故（3）錯；對于（4），a⊥α，b⊥α?a∥b，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可判定（4）正確；故選：B【點評】本題考查了空間線線、線面，面面位置關(guān)系，屬于中檔題．5．（5分）直線l：y=x+m與橢圓+y2=1有兩個不同的交點的一個充分不必要條件是（）A．﹣＜m B．m或m＞ C．﹣2＜m＜2 D．0≤m＜1【分析】求出直線l：y=x+m與橢圓+y2=1有兩個不同的交點的充要條件，根據(jù)集合的包含關(guān)系求出其充分不必要條件即可．【解答】解：由，得3x2+4mx+2m2﹣2=0，結(jié)合題意△=16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，解得：﹣＜m＜，故﹣＜m＜的一個充分不必要條件是：0≤m＜1，故選：D．【點評】本題考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，考查充分必要條件以及橢圓的位置關(guān)系，是一道中檔題．6．（5分）某程序框圖如圖，如果輸入的m=187，n=85，則輸出結(jié)果為（）A．11 B．13 C．17 D．19【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量m的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：當(dāng)m=187，n=85時，r=17，m=85，n=17，不滿足退出循環(huán)的條件；當(dāng)m=85，n=17時，r=0，m=17，n=0，滿足退出循環(huán)的條件；故輸出的m值為17，故選：C【點評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．7．（5分）已知某幾何體的三視圖如圖中粗線部分所示，每個小方格的邊長為1，則該幾何體的表面積為（）A．48 B．16+12 C．20+12 D．20+12【分析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個下底邊長為4，上底邊長為2，高為2的正四棱臺，計算各個面的面積，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得該幾何體是一個下底邊長為4，上底邊長為2，高為2的正四棱臺，故下底面面積為：16，上底面面積為：4，棱臺的側(cè)高為=，故側(cè)面積為：4×（2+4）×=12，故該幾何體的表面積為20+12，故選：C【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，根據(jù)已知中的三視圖分析出幾何體的形狀，是解答的關(guān)鍵．8．（5分）如圖，在以AB為直徑的圓中，C，D為圓上的點，且AC=BC，AB=2AD，現(xiàn)將該圓沿著AB折疊，使得二面角D﹣AB﹣C為直二面角，則折疊后直線AD，BC所成的余弦值為（）A． B． C． D．【分析】取AB中點O，連結(jié)OC，以O(shè)為原點，OC為x軸，OB為y軸，過O作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出折疊后直線AD，BC所成的余弦值．【解答】解：取AB中點O，連結(jié)OC，∵在以AB為直徑的圓中，C，D為圓上的點，且AC=BC，AB=2AD，現(xiàn)將該圓沿著AB折疊，使得二面角D﹣AB﹣C為直二面角，∴OC⊥AB，設(shè)AD=1，則OC=OA=OB=1，以O(shè)為原點，OC為x軸，OB為y軸，過O作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A（0，﹣1，0），D（0，﹣，），B（0，1，0），C（1，0，0），=（0，，），=（1，﹣1，0），設(shè)折疊后直線AD，BC所成角為θ，則cosθ===．∴折疊后直線AD，BC所成的余弦值為．故選：B．【點評】本題考查異面直角所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．9．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點，橢圓C上存在點M使得|F1F2|=3|MF2|，則C的離心率e的范圍是（）A．（0，） B．[，1） C．[，] D．[，1）【分析】等價于橢圓C上存在點M使得|MF2|=，又|MF2|∈[a﹣c，a+c]，解得，即可確定e的范圍．【解答】解：∵橢圓C上存在點M使得|F1F2|=3|MF2|，利用橢圓的定義，∴橢圓C上存在點M使得|MF2|=，又∵|MF2|∈[a﹣c，a+c]，∴a﹣c≤≤a+c，解得，則C的離心率e的范圍是[），故選：B．【點評】題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓的定義的靈活運用，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，過點A1的動直線與CC1所成角的大小為，這些動直線與平面BC1D的交點的軌跡為（）A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．橢圓【分析】用一個平面去截圓錐面，當(dāng)平面垂直于軸線，可以得到圓；傾斜于軸線，但斜角大于半錐角的時候，可以截得橢圓；斜角等于半錐角的時候，可以截得拋物線；小于半錐角時，可以得到雙曲線．求得軸線A1A與平面BDC1所成角，即可得到所求圖形．【解答】解：由題意可得過點A1的動直線與CC1所成角的大小為，所有動直線構(gòu)成以直線A1A為軸線的圓錐面，且半錐角為，如圖軸線與平面BDC1所成的角為∠CC1H，設(shè)正方體的邊長為1，可得CH=，C1H=，可得sin∠CC1H=＞，可得∠CC1H大于半錐角，則這些動直線與平面BC1D的交點的軌跡為橢圓．故選：D．【點評】本題考查直線和平面所成角和異面直線所成角的求法，考查平面截圓錐面所得圖形的判斷，屬于中檔題．11．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱長為2，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，則四棱錐C﹣EFD1B1的體積為（）A．2 B． C．3 D．【分析】利用正方體的體積減去三棱錐以及三棱臺的體積，即可得到結(jié)果．【解答】解：如圖：四棱錐C﹣EFD1B1的體積為：=8﹣﹣=3．故選：C．【點評】本題考查幾何體的體積的求法，注意逆向思維的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．12．（5分）已知圓O：x2+y2=1，A（2，0），動點B滿足線段AB為直徑的動圓C與圓O外切，則B點的軌跡方程為（）A．x2+=1 B．x2﹣=1（x＞0） C．x2﹣=1 D．x2﹣=1（x＞0）【分析】設(shè)AB的中點為M，切點為N，連OM，MN，推出|OM|﹣|ON|=1，求出M的軌跡方程，然后求解動點B的軌跡方程．【解答】解：圓O：x2+y2=1，圓心（0，0），半徑為1．設(shè)AB的中點為M，切點為N，連OM，則|NM|=|MA|=|MB|，|OM|﹣|MN|=|ON|=1，可得M的軌跡是雙曲線的右支，a=，c=1，則b=，雙曲線的中心（1，0），實軸在x軸上，雙曲線方程為：，x＞0動點B（x，y），則M（，），可得，即x2﹣=1（x＞0）．故選：B．【點評】本題考查軌跡方程的求法，判斷軌跡的橢圓簡化解題的過程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知某程序框圖如圖，可知該程序框圖的輸出結(jié)果為31．【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量s的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：當(dāng)k=0時，滿足進行循環(huán)的條件，k=2，s=3；當(dāng)k=2時，滿足進行循環(huán)的條件，k=4，s=7；當(dāng)k=4時，滿足進行循環(huán)的條件，k=6，s=13；當(dāng)k=6時，滿足進行循環(huán)的條件，k=8，s=21；當(dāng)k=8時，滿足進行循環(huán)的條件，k=10，s=31；當(dāng)k=10時，不滿足進行循環(huán)的條件，故輸出的k值為31，故答案為：31．【點評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．14．（5分）已知焦點在x軸上的橢圓+=1（k＞0）的離心率范圍為（0，]，則k的范圍為（9，25]．【分析】利用已知條件列出不等式組求解即可．【解答】解：焦點在x軸上的橢圓+=1（k＞0）的離心率范圍為（0，]，可得，解得：9＜k≤25．則k的范圍為：（9，25]．故答案為：（9，25]．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．15．（5分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=1，AC=2，∠BAC=，則該三棱柱的外接球的表面積為．【分析】由題意可知求出底面ABC的小圓半徑為r，連接兩個底面中心的連線，中點與頂點的連線就是球的半徑，即可求出外接球的表面積．【解答】解：由題意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，∠BAC=，由余弦定理可得BC==，設(shè)底面ABC的小圓半徑為r，則，可得r=連接兩個底面中心的連線，中點與頂點的連線就是球的半徑R，則R=∴外接球的表面積S=4πR2=故答案為：．【點評】本題是中檔題，考查直三棱柱的外接球的體積的求法，解題的關(guān)鍵是外接球的半徑，直三棱柱的底面中心的連線的中點與頂點的連線是半徑，考查空間想象能力．16．（5分）已知雙曲線﹣=1，過其左焦點F的直線交雙曲線左支于P，Q兩點，|PF2|=|F1F2|，|QF1|=2|PF1|，則該雙曲線的離心率為．【分析】先作出圖形，并作出雙曲線的右準(zhǔn)線l，設(shè)P到l的距離為d，根據(jù)雙曲線的第二定義即可求出Q到l的距離為2d．過Q作l的垂線QQ1，而過P作QQ1的垂線PM，交x軸于N，在△PMQ中有：==；解得d=（c﹣）根據(jù)已知條件及雙曲線的定義可以求出|PF2|=2c﹣2a，所以根據(jù)雙曲線的第二定義即可得到雙曲線的離心率．【解答】解：如圖，l為該雙曲線的左準(zhǔn)線，設(shè)P到右準(zhǔn)線的距離為d；過P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分別交l于P1，Q1；∵=，|QF1|=2|PF1|，∴=，|QQ1|=2d；過P作PM⊥QQ1，垂直為M，交x軸于N，則：==；∴解得d=（c﹣）∵根據(jù)雙曲線的定義，|PF2|﹣|PF1|=2a，∴|PF1|=2c﹣2a；∴根據(jù)雙曲線的第二定義，=，整理成：（e﹣1）（3e﹣5）=0∴雙曲線的離心率為．故答案為：．【點評】考查雙曲線的第二定義，雙曲線的準(zhǔn)線方程，雙曲線的焦距、焦點的概念，以及對雙曲線的定義的運用，雙曲線的離心率的概念，相似三角形的比例關(guān)系．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．（10分）已知命題p：?x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命題q：?x∈[2，3]，a＞x+．若命題p∨q為真命題，命題p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出命題p是真命題時a的范圍；求出沒有q是真命題時a的范圍，利用復(fù)合命題的真假，推出結(jié)果即可．【解答】解：命題p：?x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命題P是真命題時，可得：（a﹣2）2﹣4≤0，解得a∈[0，4]；x∈[2，3]，x﹣1≥1，x+=x﹣1++1+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號，命題q：?x∈[2，3]，a＞x+．可得a＞3．若命題p∨q為真命題，命題p∧q為假命題，可得兩個命題一真一假，依題意p為真，q為假時：可得a∈[0，3]；q真p假時，a∈（4，+∞）實數(shù)a的取值范圍：[0，3]∪（4，+∞）．【點評】本題考查了復(fù)合命題的判斷，基本不等式的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．18．（12分）已知中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓C過點A（，），B（﹣1，﹣）．（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過該橢圓左焦點的直線l交橢圓C于A，B兩點，且|AB|=，求該直線方程．【分析】（1）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1，（m≠n．m＞0，n＞0），由橢圓C過點A（，），B（﹣1，﹣），列出方程組求出m=，n=，由此能求出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）橢圓的左焦點F（﹣1，0），當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=﹣1，|AB|=3，不成立；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），聯(lián)立，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，利用韋達(dá)定理、弦長公式能求出直線l的方程．【解答】解：（1）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1，（m≠n．m＞0，n＞0），∵橢圓C過點A（，），B（﹣1，﹣）．∴，解得m=，n=，∴該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）橢圓的左焦點F（﹣1，0），過該橢圓左焦點的直線l交橢圓C于A，B兩點，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=﹣1，則A（﹣1，），B（﹣1，﹣），|AB|=3，不成立；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），聯(lián)立，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=﹣，x1x2=，∵過該橢圓左焦點的直線l交橢圓C于A，B兩點，且|AB|=，∴=，解得k=±1，∴直線l的方程為y=±（x+1），即x+y+1=0或x﹣y+1=0．【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，考查待定系數(shù)法、橢圓、直線方程、韋達(dá)定理、弦長公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想，是中檔題．19．（12分）如圖，六面體ABCDEF中，ABCD為正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，BE∥AF．（1）證明：DB⊥CF；（2）求直線CF與平面DEF所成角的正弦值．【分析】（1）幾何法：連結(jié)AC，推導(dǎo)出AC⊥BD，AF⊥BD，從而BD⊥平面ACF，由此能證明DB⊥CF．向量法：以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線CF與平面DEF所成角的正弦值．【解答】證明：（1）（法一：幾何法）：連結(jié)AC，∵六面體ABCDEF中，ABCD為正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，∴AC⊥BD，AF⊥BD，∵AC∩AF=A，∴BD⊥平面ACF，∵CF?平面ACF，∴DB⊥CF．（法二：向量法）：以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B（0，2，0），D（2，0，0），C（2，2，0），F(xiàn)（0，0，3），=（2，﹣2，0），=（﹣2，﹣2，3），=﹣4+4+0=0，∴BD⊥CF．解：（2）E（0，2，2），=（﹣2，2，2），=（﹣2，0，3），設(shè)平面DEF的法向量=（x，y，z），則，取z=2，得=（3，1，2），設(shè)直線CF與平面DEF所成角為θ，則sinθ===．∴直線CF與平面DEF所成角的正弦值為．【點評】本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．20．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，D是棱CC1的中點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點．（1）求證：PB1∥平面BDA1；（2）求二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值．【分析】（1）幾何法：連結(jié)AB1，交A1B于點O，連結(jié)OD，推導(dǎo)出OD∥PB1，由此有證明PB1∥平面BDA1．向量法：以A1為原點，A1B1為x軸，A1C1為y軸，A1A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PB1∥平面BDA1．（2）求出平面A1B1D的法向量和平面BDA1的法向量，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值．【解答】證明：（1）（法一：幾何法）：連結(jié)AB1，交A1B于點O，連結(jié)OD，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ABB1A1是矩形，∴O是AB1的中點，∵D是棱CC1的中點，∴OD∥PB1，∵OD?平面BDA1，PB1?平面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．（法二：向量法）：以A1為原點，A1B1為x軸，A1C1為y軸，A1A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵AB=1，AC=AA1=2，D是棱CC1的中點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，∴P（0，4，0），B1（1，0，0），A1（0，0，0），B（1，0，2），D（0，2，1），=（1，﹣4，0），=（1，0，2），=（0，2，1），設(shè)平面BDA1的法向量=（x，y，z），則，取z=﹣2，得=（4，1，﹣2），∵?=0，PB1?平面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．解：（2）=（1，0，0），=（0，2，1），設(shè)平面A1B1D的法向量=（a，b，c），則，取b=1，得=（0，1，﹣2），平面BDA1的法向量=（4，1，﹣2），設(shè)二面角B1﹣A1D﹣B的平面角為θ．則cosθ===．∴二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值為．【點評】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．21．（12分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），斜率為﹣且過橢圓右焦點F的直線交橢圓C于A，B兩點，且向量+與向量=（2，1）平行（O為原點）．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點，滿足=λ（+）+μ（λ∈R，μ∈R），求λ，μ滿足的關(guān)系式．【分析】（1）直線與橢圓方程聯(lián)立用未達(dá)定理的A、B兩點坐標(biāo)的關(guān)系，據(jù)向量共線的條件得橢圓中a，b，c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率；（2）用向量運算將λ，μ用坐標(biāo)表示，再用坐標(biāo)的關(guān)系求出λ2+47μ2=12的值【解答】解：（Ⅰ）設(shè)直線AB：y=﹣（x﹣c），代入橢圓方程，化簡得（a2+4b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣4a2b2=0．令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，∴y1+y2=﹣+c∵+=（x1+x2，y1+y2）與=（2，1）平行，∴2（y1+y2）﹣（x1+x2）=0，∴2（﹣+c）﹣=0，∴3a2=4b2=4（a2﹣c2），∴4