精品文檔精品文檔第五章定積分第二講微積分基本公式教學(xué)目的1．掌握積分上限函數(shù)的求導(dǎo)方法及其應(yīng)用；2．熟練掌握牛頓－萊布尼茲公式．教學(xué)重點(diǎn)積分上限函數(shù)求導(dǎo)及牛頓－萊布尼茲公式．教學(xué)難點(diǎn)積分上限函數(shù)的應(yīng)用．教學(xué)時(shí)數(shù)2學(xué)時(shí)教學(xué)過程f(xx2，但直接按定義來計(jì)算它的定積分已經(jīng)不是很容易的事．如果被積函數(shù)是其他復(fù)雜的函數(shù)，其困難就更大了．因此，我們必須尋求計(jì)算定積分的新方法．下面我們先從實(shí)際問題中尋找解決問題的線索．為此，我們對(duì)變速直線運(yùn)動(dòng)中遇到的位置函數(shù)s(t)及速度函數(shù)v(t)之間的聯(lián)系作進(jìn)一步的研究．一、變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系有一物體在一直線上運(yùn)動(dòng)．在這直線上取定原點(diǎn)、正向及長(zhǎng)度單位，使它成為一數(shù)軸．設(shè)時(shí)刻t體所在位置為s(t)，速度為v(t)．(為了討論方便起見，可以設(shè)v(t)0．)從第一節(jié)知道：物體在時(shí)間間隔T,T1 2

v(t在,T1 2

上的定積分2Tvt)t來表達(dá)；另一方面，這段路程又可以通過位置函數(shù)s(t)在區(qū)間T,T2

上增量s(T

)

)來表T 1 2 2 11達(dá)．由此可見，位置函數(shù)s(t)與速度函數(shù)v(t)之間有如下關(guān)系：2v(t)dts(T)s(T

)． (1)TT 2 11s(tv(ts(t是速度函數(shù)v(t(1)v(t在區(qū)間,T1

上的定積分等于v(ts(t在區(qū)間,T1 2

s(T2

)s(T)．1f(x在區(qū)間[a,bf(x在區(qū)間[a,bf(x)(F(x)在區(qū)間[a,bF(bF(a．二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)f(x在區(qū)間[a,bx為[a,bf(x在部分區(qū)間[a,x]上的定積分xf(x)dx．a(chǎn)f(x在區(qū)間[a,xx既表示定積分的上限，又表例如用t表示，則上面的定積分可以寫成

xf(t)dtax在區(qū)間[a,bx[a,b上定義了一個(gè)函數(shù)，記作(x)：(x)xa

f(t)dt (axb).這個(gè)函數(shù)(x)具有下面定理1所指出的重要性質(zhì)．定理1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在[a,b]上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是

(x)a

f(t)dt(x)

dx

f(t)dtf(x) (axb). (2)dxa證x(ab)x獲得增量xxx(ab(x)xx處的函數(shù)值為由此得函數(shù)的增量

(xx)xa

f(t)dt．(xx)(x)xxft)dtxa a

f(t)dtxft)dtxxft)dtxa x a

f(t)dtxx

f(t)dt再應(yīng)用積分中值定理，即有等式f()x．這里，xxx之間．把上式兩端各除以x，得函數(shù)增量與自變量增量的比值f().xf(x)在[a,b上連續(xù)，而x0xlimf)f(x．于是令x0，x0f(x)．這就是說，函數(shù)(x的導(dǎo)數(shù)存在，并且xa0

(x)f(x)．(a)f(axb0

(bf(b畢．這個(gè)定理指出了一個(gè)重要結(jié)論：連續(xù)函數(shù)f(x)取變上限x的定積分然后求導(dǎo)，其結(jié)果還原為函數(shù)f(x)1推知(x)f(x)的一個(gè)原函數(shù)．因此，我們引出如下的原函數(shù)的存在定理．定理2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)f(x在[a,b上的一個(gè)連續(xù)原函數(shù)．

(x)a

f(t)dt (3)的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系．因此，我們就有可能通過原函數(shù)來計(jì)算定積分．三、牛頓－萊布尼茲公式現(xiàn)在我們根據(jù)定理2來證明一個(gè)重要定理，它給出了用原函數(shù)計(jì)算定積分的公式．3如果函數(shù)F(xf(x在區(qū)間[a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則bf(x)dxFb)F(a)． (4)aF(xf(x2知道，積分上限函數(shù)(x)xa

f(t)dtf(x)的一個(gè)原函數(shù)．于是這兩個(gè)原函數(shù)之差F(x)(x在[a,b上必定是某個(gè)常數(shù)C，即F(x)(x)C (axb)． (5)在上式中令xaF(a)(a)C．又由(x)(3)及上節(jié)積分的補(bǔ)充規(guī)定(1)可知(a)0，因此，CF(a)．以F(a)(5式中的C，以xa

f(t)dt代入(5)式中的(x)，可得xft)dtF(x)F(a)．a(chǎn)xb(4)．由上節(jié)定積分的補(bǔ)充規(guī)定(2)可知，(4)式對(duì)ab的情形同樣成立．為了方便起見，以后把F(bF(a記成[F(x)]b．a(chǎn)公式(4)叫做牛頓(Newton)－萊布尼茲(Leibniz)公式．這個(gè)公式進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系．它表明：一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任一原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量．這就給定積分提供了一個(gè)有效而簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，大大簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算手續(xù)．通常也把公式(4)叫做微積分基本公式．下面我們舉幾個(gè)應(yīng)用公式(4)來計(jì)算定積分的簡(jiǎn)單例子．例1計(jì)算第一節(jié)中的定積分1x2dx．0x3解由于 是x2的一個(gè)原函數(shù)，所以按牛頓－萊布尼茲公式，有31 x31

03 1 1例2計(jì)算

3 1 dx

x2dx 30 30

3 3

0 ．3 31x2解由于arctanx是

11x

的一個(gè)原函數(shù)，所以 3 1

dxx

arctan

3arctan(1)3

7 ．1x2 3 4 12例3計(jì)算1dx．2x解x01的一個(gè)原函數(shù)是lnx，所以x1x

lnx

ln1ln2ln2．2x 23(4)F(xf(x)在該積分區(qū)間[ab上的原函數(shù)．4ysinx在[0x軸所圍成的平面圖形的面積．解這圖形是曲邊梯形的一個(gè)特例，它的面積Asindxcosx

(1)(1)2．0 0536km速度行駛，到某處需要減速停車．設(shè)汽車以等加速度a5m/s2剎車．問從開始剎車到停車，汽車駛過了多少距離？解首先要算出從開始剎車到停車經(jīng)過的時(shí)間．設(shè)開始剎車時(shí)刻為t0，此時(shí)汽車速度v 36km/h10m/s．0剎車后汽車減速行駛，其速度為 v(t)v at10．0當(dāng)汽車停住時(shí)，速度v(t)0，故從v(t)100解得t2s．于是在這段時(shí)間內(nèi)，汽車所駛過的距離為2 2

t22s v(t)dt0 0

5t)dt5

10(m)，220即在剎車后，汽車需駛過10m才能停?。?設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，證明在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使bf(x)dxf)ba) (ab).a證f(x)F(x，即設(shè)在[abF(x)f(x)．根據(jù)牛頓－萊布尼茲公式，有

bf(x)dxFb)F(a)．a(chǎn)F(x)在區(qū)間[ab(ab內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使F(b)F(a)F()(ba) (a,b)，故 a

f(x)dxf()(ba) (a,b)．理的聯(lián)系．下面再舉幾個(gè)應(yīng)用公式(2)的例子．7f(x)在[0f(x)0．證明函數(shù)xtft)dtF(x)0在(0內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)．

xf(t)dt0證由公式(2)，得

dxtft)txf(x)dx0

ddx0

f(t)dtf(x)．故xf(x)xft)dtf(x)xtft)dtF(x) 0 0x

ft)dt20 f(x)x(xt)ft)dt 0x

ft)dt20 按假設(shè)，當(dāng)0txf(t)0(xtf(t)0，可知xft)dt0，x(xt)ft)dt0，0 0F(x)0x0F(x在(0內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)．1et2dt例8x0

cosx ．x20解易知這是一個(gè)型的未定式，我們利用洛必達(dá)法則來計(jì)算．分子可寫成0cosxet1它是以cosx為上限的積分，作為x的函數(shù)可看成是以u(píng)cosx為中間變量的復(fù)合函數(shù)，故由公式(2)有d1e-t2tdxcosx

dcosxe-t2