.z.第11章三角形教材內容本章主要內容有三角形的有關線段、角，多邊形及內角和，鑲嵌等。三角形的高、中線和角平分線是三角形中的主要線段，與三角形有關的角有內角、外角。教材通過實驗讓學生了解三角形的穩定性，在知道三角形的內角和等于1800的基礎上，進行推理論證，從而得出三角形外角的性質。接著由推廣三角形的有關概念，介紹了多邊形的有關概念，利用三角形的有關性質研究了多邊形的內角和、外角和公式。這些知識加深了學生對三角形的認識，既是學習特殊三角形的基礎，也是研究其它圖形的基礎。最后結合實例研究了鑲嵌的有關問題，體現了多邊形內角和公式在實際生活中的應用.教學目標〔知識與技能〕.12999.1、理解三角形及有關概念，會畫任意三角形的高、中線、角平分線；2、了解三角形的穩定性，理解三角形兩邊的和大于第三邊，會根據三條線段的長度判斷它們能否構成三角形；3、會證明三角形內角和等于1800，了解三角形外角的性質。4、了解多邊形的有關概念，會運用多邊形的內角和與外角和公式解決問題。5、理解平面鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運用它們進行簡單的平面鑲嵌設計。〔過程與方法〕1、在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發展學生的合情推理能力，逐步養成數學推理的習慣；2、在靈活運用知識解決有關問題的過程中，體驗并掌握探索、歸納圖形性質的推理方法，進一步培說理和進行簡單推理的能力。〔情感、態度與價值觀〕1、體會數學與現實生活的聯系，增強克服困難的勇氣和信心；2、會應用數學知識解決一些簡單的實際問題，增強應用意識；3、使學生進一步形成數學來源于實踐，反過來又服務于實踐的辯證唯物主義觀點。重點難點三角形三邊關系、內角和，多邊形的外角和與內角和公式，鑲嵌是重點；三角形內角和等于1800的證明，根據三條線段的長度判斷它們能否構成三角形及簡單的平面鑲嵌設計是難點。課時分配11.1與三角形有關的線段………2課時11.2與三角形有關的角…………2課時11.3多邊形及其內角和…………2課時本章小結…………2課時11.1.1三角形的邊[教學目標]〔知識與技能〕1了解三角形的意義,認識三角形的邊、內角、頂點，能用符號語言表示三角形；2理解三角形三邊不等的關系，會判斷三條線段能否構成一個三角形,并能運用它解決有關的問題.〔過程與方法〕在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發展學生的合情推理能力，逐步養成數學推理的習慣；〔情感、態度與價值觀〕體會數學與現實生活的聯系，增強克服困難的勇氣和信心[重點難點]三角形的有關概念和符號表示，三角形三邊間的不等關系是重點；用三角形三邊不等關系判定三條線段可否組成三角形是難點。[教學過程]一、情景導入三角形是一種最常見的幾何圖形，[投影1-6]如古埃及金字塔，**中銀大廈，交通標志，等等，處處都有三角形的形象。abcabc則什么叫做三角形呢？二、三角形及有關概念不在一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。注意：三條線段必須①不在一條直線上，②首尾順次相接。組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱角，相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點。三角形ABC用符號表示為△ABC。三角形ABC的頂點C所對的邊AB可用c表示,頂點B所對的邊AC可用b表示,頂點A所對的邊BC可用a表示.三、三角形三邊的不等關系探究：[投影7]任意畫一個△ABC,假設有一只小蟲要從B點出發,沿三角形的邊爬到C,它有幾種路線可以選擇"各條路線的長一樣嗎"為什么？有兩條路線：（1）從B→C，（2）從B→A→C；不一樣，AB+AC＞BC①；因為兩點之間線段最短。同樣地有AC+BC＞AB②AB+BC＞AC③由式子①②③我們可以知道什么？三角形的任意兩邊之和大于第三邊.四、三角形的分類我們知道，三角形按角可分為銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形，我們把銳角三角形、鈍角三角形統稱為斜三角形。按角分類:三角形直角三角形斜三角形銳角三角形鈍角三角形則三角形按邊如何進行分類呢？請你按"有幾條邊相等”將三角形分類。三邊都相等的三角形叫做等邊三角形；有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形。腰腰腰底邊頂角底角底角顯然，等邊三角形是特殊的等腰三角形。按邊分類:三角形不等邊三角形等腰三角形底和腰不等的等腰三角形等邊三角形五、例題例用一條長為18㎝的細繩圍成一個等腰三角形。（1）如果腰長是底邊的2倍，則各邊的長是多少？（2）能圍成有一邊長為4㎝的等腰三角形嗎？為什么？分析：（1）等腰三角形三邊的長是多少？若設底邊長為*㎝，則腰長是多少？（2）"邊長為4㎝”是什么意思？解：（1）設底邊長為*㎝，則腰長2*㎝。*+2*+2*=18解得*=3.6所以，三邊長分別為3.6㎝，7.2㎝，7.2㎝.（2）如果長為4㎝的邊為底邊，設腰長為*㎝，則4+2*=18解得*=7如果長為4㎝的邊為腰，設底邊長為*㎝，則2×4+*=18解得*=10因為4+4＜10，出現兩邊的和小于第三邊的情況，所以不能圍成腰長是4㎝的等腰三角形。由以上討論可知，可以圍成底邊長是4㎝的等腰三角形。五、課堂練習課本4頁練習1、2題。六、課堂小結1、三角形及有關概念；2、三角形的分類；3、三角形三邊的不等關系及應用。作業：課本8頁1、2、6；教后記11.1.2三角形的高、中線與角平分線〔教學目標〕〔知識與技能〕1、經歷畫圖的過程，認識三角形的高、中線與角平分線；2、會畫三角形的高、中線與角平分線；3、了解三角形的三條高所在的直線,三條中線,三條角平分線分別交于一點.〔過程與方法〕在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發展學生的合情推理能力，逐步養成數學推理的習慣〔情感、態度與價值觀〕體會數學與現實生活的聯系，增強克服困難的勇氣和信心〔重點難點〕三角形的高、中線與角平分線是重點；三角形的角平分線與角的平分線的區別，畫鈍角三角形的高是難點.〔教學過程〕一、導入新課我們已經知道什么是三角形，也學過三角形的高。三角形的主要線段除高外，還有中線和角平分線值得我們研究。二、三角形的高請你在圖中畫出△ABC的一條高并說說你畫法。從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高，表示為AD⊥BC于點D。注意：高與垂線不同，高是線段，垂線是直線。請你再畫出這個三角形AB、AC邊上的高，看看有什么發現？三角形的三條高相交于一點。如果△ABC是直角三角形、鈍角三角形，上面的結論還成立嗎？現在我們來畫鈍角三角形三邊上的高，如圖。ABABCODEF顯然，上面的結論成立。請你畫一個直角三角形，再畫出它三邊上的高。上面的結論還成立。三、三角形的中線如圖，我們把連結△ABC的頂點A和它的對邊BC的中點D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線，表示為BD=DC或BD=DC＝1/2BC或2BD=2DC=BC.請你在圖中畫出△ABC的另兩條邊上的中線，看看有什么發現？三角的三條中線相交于一點。如果三角形是直角三角形、鈍角三角形，上面的結論還成立嗎？請畫圖回答。上面的結論還成立。四、三角形的角平分線如圖，畫∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線,表示為∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。思考：三角形的角平分線與角的平分線是一樣的嗎？三角形的角平分線是線段，而角的平分線是射線，是不一樣的。請你在圖中再畫出另兩個角的平分線，看看有什么發現？三角形三個角的平分線相交于一點。如果三角形是直角三角形、鈍角三角形，上面的結論還成立嗎？請畫圖回答。上面的結論還成立。想一想：三角形的三條高、三條中線、三條角平分線的交點有什么不同？三角形的三條中線的交點、三條角平分線的交點在三角形的內部，而銳三角形的三條高的交點在三角形的內部，直角三角形三條高的交戰在角直角頂點，鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部。五、課堂練習課本5頁練習1、2題。六、課堂小結1、三角形的高、中線、角平分線的概念和畫法。2、三角形的三條高、三條中線、三條角平分線及交點的位置規律。七作業：課本8頁3、4；八、教后記11.1.3三角形的穩定性[教學目標]〔知識與技能〕知道三角形具有穩定性，四邊形沒有穩定性；2、了解三角形的穩定性在生產、生活中的應用。〔過程與方法〕在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發展學生的合情推理能力，逐步養成數學推理的習慣〔情感、態度與價值觀〕體會數學與現實生活的聯系，增強克服困難的勇氣和信心[重點難點]三角形穩定性及應用。[教學過程]一、情景導入蓋房子時，在窗框未安裝之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，為什么要這樣做呢？二、三角形的穩定性〔實驗〕1、把三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？（2）（2）不會改變。2、把四根木條用釘子釘成一個四邊形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？會改變。3、在四邊形的木架上再釘一根木條，將它的一對頂點連接起來，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？不會改變。從上面的實驗中，你能得出什么結論？三角形具有穩定性，而四邊形不具有穩定性。三、三角形穩定性和四邊形不穩定的應用三角形具有穩定性固然好，四邊形不具有穩定性也未必不好，它們在生產和生活中都有廣泛的應用。如：鋼架橋、屋頂鋼架和起重機都是利用三角形的穩定性，活動掛架則是利用四邊形的不穩定性。你還能舉出一些例子嗎？四、課堂練習1、下列圖形中具有穩定性的是（）A正方形B長方形C直角三角形D平行四邊形2、要使下列木架穩定各至少需要多少根木棍？3、課本7頁練習。五作業：8頁5；9頁10題。六、教后記11.2.1三角形的內角[教學目標]〔知識與技能〕掌握三角形內角和定理。〔過程與方法〕在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發展學生的合情推理能力，逐步養成數學推理的習慣〔情感、態度與價值觀〕體會數學與現實生活的聯系，增強克服困難的勇氣和信心[重點難點]三角形內角和定理是重點；三角形內角和定理的證明是難點。[教學過程]一、導入新課我們在小學就知道三角形內角和等于1800，這個結論是通過實驗得到的，這個命題是不是真命題還需要證明，怎樣證明呢？二、三角形內角和的證明回顧我們小學做過的實驗，你是怎樣操作的？把一個三角形的兩個角剪下拼在第三個角的頂點處，用量角器量出∠BCD的度數，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。[投影1]圖1想一想，還可以怎樣拼？①剪下∠A，按圖（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。圖2②把和剪下按圖（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。如果把上面移動的角在圖上進行轉移，由圖1你能想到證明三角形內角和等于1800的方法嗎？已知△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=1800。證明一過點C作CM∥AB，則∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800∴∠A+∠B+∠ACB=1800。即：三角形的內角和等于1800。由圖2、圖3你又能想到什么證明方法？請說說證明過程。三、例題例如圖，C島在A島的北偏東500方向，B島在A島的北偏東800方向，C島在B島的北偏西400方向，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？分析：怎樣能求出∠ACB的度數？根據三角形內角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度數即可。∠CAB等于多少度？怎樣求∠CBA的度數？解：∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300∵AD∥BE∴∠BAD+∠ABE=1800∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900答：從C島看AB兩島的視角∠ACB=1800是900。四、課堂練習課本13頁1、2題。五作業：16頁1、3、4；六、教后記11.2.2三角形的外角[教學目標]〔知識與技能〕理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性質，能利用三角形外角的性質解決問題。〔過程與方法〕在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發展學生的合情推理能力，逐步養成數學推理的習慣〔情感、態度與價值觀〕體會數學與現實生活的聯系，增強克服困難的勇氣和信心[重點難點]三角形的外角和三角形外角的性質是重點；理解三角形的外角是難點。[教學過程]一、導入新課〔投影1〕如圖，△ABC的三個內角是什么？它們有什么關系？是∠A、∠B、∠C，它們的和是1800。若延長BC至D，則∠ACD是什么角？這個角與△ABC的三個內角有什么關系？二、三角形外角的概念∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。想一想，三角形的外角共有幾個？共有六個。注意：每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角。研究與三角形外角有關的問題時，通常每個頂點處取一個外角.三、三角形外角的性質容易知道，三角形的外角∠ACD與相鄰的內角∠ACB是鄰補角，那與另外兩個角有怎樣的數量關系呢？〔投影2〕如圖，這是我們證明三角形內角和定理時畫的輔助線，你能就此圖說明∠ACD與∠A、∠B的關系嗎？∵CE∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2又∠ACD=∠1+∠2∴∠ACD=∠A+∠B你能用文字語言敘述這個結論嗎？三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和。由加數與和的關系你還能知道什么？三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。即，。四、例題〔投影3〕例如圖，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三個外角，它們的和是多少？分析：∠1與∠BAC、∠2與∠ABC、∠3與∠ACB有什么關系？∠BAC、ABC、∠ACB有什么關系？解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800∴∠1+∠2+∠3==3600。你能用語言敘述本例的結論嗎？三角形外角的和等于3600。五、課堂練習課本15頁練習；六、課堂小結1、什么是三角形外角？2、三角形的外角有哪些性質？七、作業：課本12頁5、6；八、教后記11．3．1多邊形[教學目標]〔知識與技能〕了解多邊形及有關概念，理解正多邊形的概念．2、區別凸多邊形與凹多邊形．〔過程與方法〕在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發展學生的合情推理能力，逐步養成數學推理的習慣〔情感、態度與價值觀〕體會數學與現實生活的聯系，增強克服困難的勇氣和信心[重點難點]多邊形及有關概念、正多邊形的概念是重點；區別凸多邊形與凹多邊形是難點。[教學過程]一、情景導入[投影1]看下面的圖片，你能從中找出由一些線段圍成的圖形嗎？二、多邊形及有關概念這些圖形有什么特點？由幾條線段組成；它們不在同一條直線上；首尾順次相接．這種在平面內，由一些不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。多邊形按組成它的線段的條數分成三角形、四邊形、五邊形……、n邊形。這就是說，一個多邊形由幾條線段組成，就叫做幾邊形，三角形是最簡單的多邊形。與三角形類似地，多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角，如圖中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角．如圖中的∠1是五邊形ABCDE的一個外角。[投影2]連接多邊形的不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．四邊形有幾條對角線？五邊形有幾條對角線？畫圖看看。你能猜想n邊形有多少條對角線嗎？說說你的想法。n邊形有1/2n（n－3）條對角線。因為從n邊形的一個頂點可以引n－3條對角線，n個頂點共引n（n－3）條對角線，又由于連接任意兩個頂點的兩條對角線是相同的，所以，n邊形有1/2n（n－3）條對角線。三、凸多邊形和凹多邊形[投影3]如圖，下面的兩個多邊形有什么不同？在圖（1）中，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線，整個圖形都在這條直線的同一側，這樣的四邊形叫做凸四邊形，這樣的多邊形稱為凸多邊形；而圖（2）就不滿足上述凸多邊形的特征，因為我們畫BD所在直線，整個多邊形不都在這條直線的同一側，我們稱它為凹多邊形。注意：今后我們討論的多邊形指的都是凸多邊形．四、正多邊形的概念我們知道，等邊三角形、正方形的各個角都相等，各條邊都相等，像這樣各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。[投影4]下面是正多邊形的一些例子。五、課堂練習課本21頁練習1、2。3、有五個人在告別的時候相互各握了一次手，他們共握了多少次手？你能找到一個幾何模型來說明嗎？六、課堂小結1、多邊形及有關概念。2、區別凸多邊形和凹多邊形。3、正多邊形的概念。4、n邊形對角線有1/2n（n－3）條。七、作業：課本24頁1。八、教后記11．3．2多邊形的內角和[教學目標]〔知識與技能〕了解多邊形的內角、外角等概念；2、能通過不同方法探索多邊形的內角和與外角和公式，并會應用它們進行有關計算．〔過程與方法〕在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發展學生的合情推理能力，逐步養成數學推理的習慣〔情感、態度與價值觀〕體會數學與現實生活的聯系，增強克服困難的勇氣和信心[重點難點]多邊形的內角和與多邊形的外角和公式是重點；多邊形的內角和定理的推導是難點。[教學過程]一、復習導入我們已經證明了三角形的內角和為180°，在小學我們用量角器量過四邊形的內角的度數，知道四邊形內角的和為360°，現在你能利用三角形的內角和定理證明嗎？二、多邊形的內角和〔投影1〕如圖，從四邊形的一個頂點出發可以引幾條對角線？它們將四邊形分成幾個三角形？則四邊形的內角和等于多少度？ABABCD可以引一條對角線；它將四邊形分成兩個三角形；因此，四邊形的內角和=△ABD的內角和+△BDC的內角和=2×180°=360°。類似地，你能知道五邊形、六邊形……n邊形的內角和是多少度嗎？〔投影2〕觀察下面的圖形，填空：五邊形六邊形從五邊形一個頂點出發可以引對角線，它們將五邊形分成三角形，五邊形的內角和等于；從六邊形一個頂點出發可以引對角線，它們將六邊形分成三角形，六邊形的內角和等于；〔投影3〕從n邊形一個頂點出發，可以引對角線，它們將n邊形分成三角形，n邊形的內角和等于。n邊形的內角和等于（n一2）·180°．從上面的討論我們知道，求n邊形的內角和可以將n邊形分成若干個三角形來求。現在以五邊形為例，你還有其它的分法嗎？分法一〔投影3〕如圖1，在五邊形ABCDE內任取一點O，連結OA、OB、OC、OD、OE，則得五個三角形。∴五邊形的內角和為5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°。圖1圖2分法二〔投影4〕如圖2，在邊AB上取一點O，連OE、OD、OC，則可以（5－1）個三角形。∴五邊形的內角和為（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°如果把五邊形換成n邊形，用同樣的方法可以得到n邊形內角和＝（n一2）×180°．三、例題〔投影6〕例1如果一個四邊形的一組對角互補，則另一組對角有什么關系？如圖，已知四邊形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B與∠D的關系．分析：∠A、∠B、∠C、∠D有什么關系？解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360°又∠A＋∠C＝180°∴∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=180°這就是說，如果四邊形一組對角互補，則另一組對角也互補．〔投影7〕例2如圖，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和．六邊形的外角和等于多少？如圖，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分別為六邊形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．分析：多邊形的一個外角同與它相鄰的內角有什么關系？六邊形的內角和是多少度？解：∵∠1+∠BAF=180°∠2+∠ABC=180°∠3+∠BAD=180°∠4+∠CDE=180°∠5+∠DEF=180°∠6+∠EFA=180°∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360°這就是說，六邊形形的外角和為360°。如果把六邊形換成n邊形可以得到同樣的結果：n邊形的外角和等于360°。對此，我們也可以這樣來理解。〔投影8〕如圖，從多邊形的一個頂點A出發，沿多邊形各邊走過各頂點，再回到A點，然后轉向出發時的方向，在行程中所轉的各個角的和就是多邊形的外角和，由于走了一周，所得的各個角的和等于一個周角，所以多邊形的外角和等于360°．四、課堂練習課本24頁1、2、3題。五、課堂小結n邊形的內角和是多少度？n邊形的外角和是多少度？六、作業：課本24頁2、3；七、教后記本章小結一、知識結構三角形三角形與三角形有關的線段三角形的內角和三角形的外角和高中線角平分線多邊形的內角和多邊形的外角和二、回顧與思考1、什么是三角形？什么是多邊形？什么是正多邊形？三角形是不是多邊形？2、什么是三角形的高、中線、角平分線？什么是對角線？三角形有對角線嗎？n邊形的的對角線有多少條？3、三角形的三條高，三條中線，三條角平分線各有什么特點？4、三角形的內角和是多少？n邊形的內角和是多少？你能用三角形的內角和說明n邊形的內角和嗎？5、三角形的外角和是多少？n邊形的外角和是多少？你能說明為什么多邊形的外角和與邊數無關嗎？6、怎樣才算是平面鑲嵌？平面鑲嵌的條件是什么？能單獨進行平面鑲嵌的多邊形有哪些？你能舉一個幾個多邊形進行平面鑲嵌的例子嗎？三、例題導引例1如圖，在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD、CE相交于點H，求∠BHC的度數。例2如圖，把△ABC沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內部時，探索∠A與∠1＋∠2有什么數量關系？并說明理由。AABCDEH1212例3如圖所示,在△ABC中,△ABC的內角平分線與外角平分線交于點P,試說明∠P＝1/2∠A.四、鞏固練習課本28—29頁復習題7（第3題可不做）.五、教后記第十二章全等三角形單元要點分析教學內容本章的主要內容是全等三角形．主要學習全等三角形的性質以及探索判定三角形全等的方法，并學會怎樣應用全等三角形進行證明，本章劃分為三個小節，第一節學習三角形全等的概念、性質；第二節學習三角形全等的判定方法和直角三角形全等的特殊判定方法；第三節利用三角形全等證明角的平分線的性質，會利用角的平分線的性質進行證明．教材分析教材力求創設現實、有趣的問題情境，使學生經歷從現實活動中抽象出幾何模型和運用所學內容解決實際問題的過程．在內容呈現上，把研究三角形全等條件的重點放在第一個條件上，通過"邊邊邊”條件探索什么是三角形的判定，如何判定，怎樣進行推理論證，怎樣正確地表達證明過程．學生開始學習三角形判定定理時的困難在于定理的證明，而這些推理證明并不要求學生掌握．為了突出判定方法這條主渠道，教材都作為基本事實提出來，在畫圖、實驗中讓學生知道它們的正確性就可以了．在"角的平分線的性質”一節中的兩個互逆定理，只要求學生了解其條件與結論之間的關系，不必介紹互逆命題、互逆定理等內容，這將在"勾股定理”中介紹．三維目標1．知識與技能在探索全等三角形的性質與判定中，提高認知水平，積累數學活動經驗．2．過程與方法經歷探索三角形全等的判定的，發展空間觀念和有條理的表達能力，掌握兩個三角形全等的判定并應用于實際之中．3．情感、態度與價值觀培養良好的觀察、操作、想象、推理能力，感悟幾何學的內涵．重、難點與關鍵1．重點：使學生理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式．2．難點：領會證明的分析思路，學會運用綜合法證明的格式．3．關鍵：突出三角形全等的判定方法這條主線，淡化對定理的證明．教學建議1．注意使學生經歷探索三角形性質及三角形全等的判定的過程．在教學中鼓勵學生觀察、操作、推理，運用多種方式探索三角形有關性質．2．注重創設具有現實性、趣味性和挑戰性的情境，體現三角形的廣泛應用．3．注意直觀操作與說理的結合，逐步培養學生有條理的思考和表達．課時劃分本單元共分成9課時．12．1全等三角形1課時12．2三角形全等的性質5課時12．3角的平分線的性質2課時復習與交流1課時12.1全等三角形教學內容本節課主要介紹全等三角形的概念和性質．教學目標1．知識與技能領會全等三角形對應邊和對應角相等的有關概念．2．過程與方法經歷探索全等三角形性質的過程，能在全等三角形中正確找出對應邊、對應角．3．情感、態度與價值觀培養觀察、操作、分析能力，體會全等三角形的應用價值．重、難點與關鍵1．重點：會確定全等三角形的對應元素．2．難點：掌握找對應邊、對應角的方法．3．關鍵：找對應邊、對應角有下面兩種方法：（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；（2）對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角．教具準備四*大小一樣的紙片、直尺、剪刀．教學方法采用"直觀──感悟”的教學方法，讓學生自己舉出形狀、大小相同的實例，加深認識．教學過程一、動手操作，導入課題1．先在其中一*紙上畫出任意一個多邊形，再用剪刀剪下，思考得到的圖形有何特點？2．重新在一*紙板上畫出任意一個三角形，再用剪刀剪下，思考得到的圖形有何特點？【學生活動】動手操作、用腦思考、與同伴討論，得出結論．【教師活動】指導學生用剪刀剪出重疊的兩個多邊形和三角形．學生在操作過程中，教師要讓學生事先在紙上畫出三角形，然后固定重疊的兩*紙，注意整個過程要細心．【互動交流】剪出的多邊形和三角形，可以看出：形狀、大小相同，能夠完全重合．這樣的兩個圖形叫做全等形，用"≌”表示．概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．【教師活動】在紙版上任意剪下一個三角形，要求學生手拿一個三角形，做如下運動：平移、翻折、旋轉，觀察其運動前后的三角形會全等嗎？【學生活動】動手操作，實踐感知，得出結論：兩個三角形全等．【教師活動】要求學生用字母表示出每個剪下的三角形，同時互相指出每個三角形的頂點、三個角、三條邊、每條邊的邊角、每個角的對邊．【學生活動】把兩個三角形按上述要求標上字母，并任意放置，與同桌交流：（1）何時能完全重在一起？（2）此時它們的頂點、邊、角有何特點？【交流討論】通過同桌交流，實驗得出下面結論：1．任意放置時，并不一定完全重合，只有當把相同的角旋轉到一起時才能完全重合．2．這時它們的三個頂點、三條邊和三個內角分別重合了．3．完全重合說明三條邊對應相等，三個內角對應相等，對應頂點在相對應的位置．【教師活動】根據學生交流的情況，給予補充和語言上的規*．1．概念：把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角．2．證兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，如果本圖11．1─2△ABC和△DBC全等，點A和點D，點B和點B，點C和點C是對應頂點，記作△ABC≌△DBC．【問題提出】課本圖11．1─1中，△ABC≌△DEF，對應邊有什么關系？對應角呢？【學生活動】經過觀察得到下面性質：1．全等三角形對應邊相等；2．全等三角形對應角相等．二、隨堂練習，鞏固深化課本P37練習．【探研時空】1．如圖1所示，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=20cm，BC=8cm，你能求出線段AB的長嗎？與同伴交流．（AB=6）2．如圖2所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各內角的度數．（∠AEC=30°，∠EAC=65°，∠ECA=85°）三、課堂總結，發展潛能1．什么叫做全等三角形？2．全等三角形具有哪些性質？四、布置作業，專題突破課本P43習題12．1第1，2，3，4題．五、板書設計把黑板分成左、中、右三部分，左邊板書本節課概念，中間部分板書"思考”中的問題，右邊部分板書學生的練習．疑難解析由于兩個三角形的位置關系不同，在找對應邊、對應角時，可以針對兩個三角形不同的位置關系，尋找對應邊、角的規律：（1）有公共邊的，公共邊一定是對應邊；（2）有公共角的，公共角一定是對應角；（3）有對頂角的，對頂角一定是對應角；兩個全等三角形中一對最長的邊（或最大的角）是對應邊（或角），一對最短的邊（或最小的角）是對應邊（或角）六、教后記12.2.1三角形全等的判定（SSS）教學內容本節課主要內容是探索三角形全等的條件（SSS），及利用全等三角形進行證明．教學目標1．知識與技能了解三角形的穩定性，會應用"邊邊邊”判定兩個三角形全等．2．過程與方法經歷探索"邊邊邊”判定全等三角形的過程，解決簡單的問題．3．情感、態度與價值觀培養有條理的思考和表達能力，形成良好的合作意識．重、難點與關鍵1．重點：掌握"邊邊邊”判定兩個三角形全等的方法．2．難點：理解證明的基本過程，學會綜合分析法．3．關鍵：掌握圖形特征，尋找適合條件的兩個三角形．教具準備一塊形狀如圖1所示的硬紙片，直尺，圓規．(1)(2)教學方法采用"操作──實驗”的教學方法，讓學生親自動手，形成直觀形象．教學過程一、設疑求解，操作感知【教師活動】（出示教具）問題提出：一塊三角形的玻璃損壞后，只剩下如圖2所示的殘片，你對圖中的殘片作哪些測量，就可以割取符合規格的三角形玻璃，與同伴交流．【學生活動】觀察，思考，回答教師的問題．方法如下：可以將圖1的玻璃碎片放在一塊紙板上，然后用直尺和鉛筆或水筆畫出一塊完整的三角形．如圖2，剪下模板就可去割玻璃了．【理論認知】如果△ABC≌△A′B′C′，則它們的對應邊相等，對應角相等．反之，如果△ABC與△A′B′C′滿足三條邊對應相等，三個角對應相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′．這六個條件，就能保證△ABC≌△A′B′C′，從剛才的實踐我們可以發現：只要兩個三角形三條對應邊相等，就可以保證這兩塊三角形全等．信不信？【作圖驗證】（用直尺和圓規）先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA．把畫出的△A′B′C′剪下來，放在△ABC上，它們能完全重合嗎？（即全等嗎）【學生活動】拿出直尺和圓規按上面的要求作圖，并驗證．（如課本圖11．2-2所示）畫一個△A′B′C′，使A′B′=AB′，A′C′=AC，B′C′=BC：1．畫線段取B′C′=BC；2．分別以B′、C′為圓心，線段AB、AC為半徑畫弧，兩弧交于點A′；3．連接線段A′B′、A′C′．【教師活動】巡視、指導，引入課題："上述的生活實例和尺規作圖的結果反映了什么規律？”【學生活動】在思考、實踐的基礎上可以歸納出下面判定兩個三角形全等的定理．（1）判定方法：三邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成"邊邊邊”或"SSS”）．（2）判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等．【評析】通過學生全過程的畫圖、觀察、比較、交流等，逐步探索出最后的結論──邊邊邊，在這個過程中，學生不僅得到了兩個三角形全等的條件，同時增強了數學體驗．二、*例點擊，應用所學【例1】如課本圖11．2─3所示，△ABC是一個鋼架，AB=AC，AD是連接點A與BC中點D的支架，求證△ABD≌△ACD．（教師板書）【教師活動】分析例1，分析：要證明△ABD≌△ACD，可看這兩個三角形的三條邊是否對應相等．證明：∵D是BC的中點，∴BD=CD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）．【評析】符號"∵”表示"因為”，"∴”表示"所以”；從例1可以看出，證明是由題設（已知）出發，經過一步步的推理，最后推出結論（求證）正確的過程．書寫中注意對應頂點要寫在同一個位置上，哪個三角形先寫，哪個三角形的邊就先寫．三、實踐應用，合作學習【問題思考】已知AC=FE，BC=DE，點A、D、B、F在直線上，AD=FB（如圖所示），要用"邊邊邊”證明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，還應該有什么條件？怎樣才能得到這個條件？【教師活動】提出問題，巡視、引導學生，并請學生說說自己的想法．【學生活動】先獨立思考后，再發言："還應該有AB=FD，只要AD=FB兩邊都加上DB即可得到AB=FD．”【教學形式】先獨立思考，再合作交流，師生互動．四、隨堂練習，鞏固深化課本P37練習．【探研時空】如圖所示，AB=DF，AC=DE，BE=CF，BC與EF相等嗎？你能找到一對全等三角形嗎？說明你的理由．（BC=EF，△ABC≌△DFE）五、課堂總結，發展潛能1．全等三角形性質是什么？2．正確地判斷出全等三角形的對應邊、對應角，利用全等三角形處理問題的基礎，你是怎樣掌握判斷對應邊、對應角的方法？3．"邊邊邊”判定法告訴我們什么呢？（答：只要一個三角形三邊長度確定了，則這個三角形的形狀大小就完全確定了，這就是三角形的穩定性）六、布置作業，專題突破1．課本P15習題11．2第1，2題．2．選用課時作業設計．七、板書設計把黑板平均分成三份，左邊部分板書"邊邊邊”判定法，中間部分板書例題，右邊部分板書練習．八、教后記12.2.2三角形全等判定（SAS）教學內容本節課主要內容是探索三角形全等的條件（SAS），及利用全等三角形證明．教學目標1．知識與技能領會"邊角邊”判定兩個三角形的方法．2．過程與方法經歷探究三角形全等的判定方法的過程，學會解決簡單的推理問題．3．情感、態度與價值觀培養合情推理能力，感悟三角形全等的應用價值．重、難點及關鍵1．重點：會用"邊角邊”證明兩個三角形全等．2．難點：應用結合法的格式表達問題．3．關鍵：在實踐、觀察中正確選擇判定三角形全等的方法．教具準備投影儀、直尺、圓規．教學方法采用"操作──實驗”的教學方法，讓學生有一個直觀的感受．教學過程一、回顧交流，操作分析【動手畫圖】【投影】作一個角等于已知角．【學生活動】動手用直尺、圓規畫圖．已知：∠AOB．求作：∠A1O1B1，使∠A1O1B1=∠AOB．【作法】（1）作射線O1A1；（2）以點O為圓心，以適當長為半徑畫弧，交OA于點C，交OB于點D；（3）以點O1為圓心，以OC長為半徑畫弧，交O1A1于點C1；（4）以點C1為圓心，以CD長為半徑畫弧，交前面的弧于點D1；（5）過點D1作射線O1B1，∠A1O1B1就是所求的角．【導入課題】教師敘述：請同學們連接CD、C1D1，回憶作圖過程，分析△COD和△C1O1D1中相等的條件．【學生活動】與同伴交流，發現下面的相等量：OD=O1D1，OC=O1C1，∠COD=∠C1O1D1，△COD≌△C1O1D1．歸納出規律：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（簡寫成"邊角邊”或"SAS”）．【評析】通過讓學生回憶基本作圖，在作圖過程中體會相等的條件，在直觀的操作過程中發現問題，獲得新知，使學生的知識承上啟下，開拓思維，發展探究新知的能力．【媒體使用】投影顯示作法．【教學形式】操作感知，互動交流，形成共識．二、*例點擊，應用新知【例2】如課本圖11．2-6所示有一池塘，要測池塘兩側A、B的距離，可先在平地上取一個可以直接到達A和B的點，連接AC并延長到D，使CD=CA，連接BC并延長到E，使CE=CB，連接DE，則量出DE的長就是A、B的距離，為什么？【教師活動】操作投影儀，顯示例2，分析：如果能夠證明△ABC≌△DEC，就可以得出AB=DE．在△ABC和△DEC中，CA=CD，CB=CE，如果能得出∠1=∠2，△ABC和△DEC就全等了．證明：在△ABC和△DEC中∴△ABC≌△DEC（SAS）∴AB=DE想一想：∠1=∠2的依據是什么？（對頂角相等）AB=DE的依據是什么？（全等三角形對應邊相等）【學生活動】參與教師的講例之中，領悟"邊角邊”證明三角形全等的方法，學會分析推理和規*書寫．【媒體使用】投影顯示例2．【教學形式】教師講例，學生接受式學習但要積極參與．【評析】證明分別屬于兩個三角形的線段相等或角相等的問題，常常通過證明這兩個三角形全等來解決．三、辨析理解，正確掌握【問題探究】（投影顯示）我們知道，兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，由"兩邊及其中一邊的對角對應相等”的條件能判定兩個三角形全等嗎？為什么？【教師活動】拿出教具進行示*，讓學生直觀地感受到問題的本質．操作教具：把一長一短兩根細木棍的一端用螺釘鉸合在一起，使長木棍的另一端與射線BC的端點B重合，適當調整好長木棍與射線BC所成的角后，固定住長木棍，把短木棍擺起來（課本圖11．2-7），出現一個現象：△ABC與△ABD滿足兩邊及其中一邊對角相等的條件，但△ABC與△ABD不全等．這說明，有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等．【學生活動】觀察教師操作教具、發現問題、辨析理解，動手用直尺和圓規實驗一次，做法如下：（如圖1所示）（1）畫∠ABT；（2）以A為圓心，以適當長為半徑，畫弧，交BT于C、C′；（3）連線AC，AC′，△ABC與△ABC′不全等．【形成共識】"邊邊角”不能作為判定兩個三角形全等的條件．【教學形式】觀察、操作、感知，互動交流．四、隨堂練習，鞏固深化課本P39練習第1、2題．【探研時空】一位經歷過戰爭的老人講述了這樣一個故事：（如圖2所示）在一次戰役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望．為了炸掉這個碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離．在不能過河測量又沒有任何測量工具的情況下，一個戰士想出來這樣一個辦法，他面向碉堡的方向站好，然后調整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部．然后，他轉過一個角度，保持剛才的姿態，這時視線落在了自己所在岸的*一點上．接著，他用步測的辦法量出自己與那個點的距離，這個距離就是他與碉堡間的距離．（如圖3所示）（1）按這個戰士的方法，找出教室或操場上與你距離相等的兩個點，并通過測量加以驗證．（2）你能解釋其中的道理嗎？【思路點撥】情境中使用的方法在實際應用中雖然是一種估測，但用到的原理都是三角形全等（SAS）；教學中，讓學生在教室里或操場上親自做一做，實際體驗．五、課堂總結，發展潛能1．請你敘述"邊角邊”定理．2．證明兩個三角形全等的思路是：首先分析條件，觀察已經具備了什么條件；然后以已具備的條件為基礎根據全等三角形的判定方法，來確定還需要證明哪些邊或角對應相等，再設法證明這些邊和角相等．六、布置作業，專題突破1．課本P43習題12．2第3、4題．七、板書設計把黑板分成左、中、右三部分，其中右邊部分板書"邊角邊”判定法，中間部分板書例題，右邊部分板書練習題．八、教后記12.2.3三角形全等判定（ASA）教學內容本節課主要內容是探索三角形全等的判定（ASA，AAS），及利用全等三角形的證明．教學目標1．知識與技能理解"角邊角”、"角角邊”判定三角形全等的方法．2．過程與方法經歷探索"角邊角”、"角角邊”判定三角形全等的過程，能運用已學三角形判定法解決實際問題．3．情感、態度與價值觀培養良好的幾何推理意識，發展思維，感悟全等三角形的應用價值．重、難點與關鍵1．重點：應用"角邊角”、"角角邊”判定三角形全等．2．難點：學會綜合法解決幾何推理問題．3．關鍵：把握綜合分析法的思想，尋找問題的切入點．教具準備投影儀、幻燈片、直尺、圓規．教學方法采用"問題教學法”在情境問題中，激發學生的求知欲．教學過程一、回顧交流，鞏固學習【知識回顧】（投影顯示）情境思考：1．小菁做了一個如圖1所示的風箏，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD，將上述條件注在圖中，小明不用測量就能知道EH=FH嗎？與同伴交流．(1)(2)[答案：能，因為根據"SAS”，可以得到△EDH≌△FDH，從而EH=FH]2．如圖2，AB=AD，AC=AE，能添上一個條件證明出△ABC≌△ADE嗎？[答案：BC=DE（SSS）或∠BAC=∠DAE（SAS）]．3．如果兩邊及其中一邊的對角對應相等，兩個三角形一定會全等嗎？試舉例說明．【教師活動】操作投影儀，提出問題，組織學生思考和提問．【學生活動】通過情境思考，復習前面學過的知識，學會正確選擇三角形全等的判定方法，小組交流，踴躍發言．【教學形式】用問題牽引，辨析、鞏固已學知識，在師生互動交流過程中，激發求知欲．二、實踐操作，導入課題【動手動腦】（投影顯示）問題探究：先任意畫一個△ABC，再畫出一個△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即使兩角和它們的夾邊對應相等），把畫出的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們全等嗎？【學生活動】動手操作，感知問題的規律，畫圖如下：畫一個△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B：畫A′B′=AB；在A′B′的同旁畫∠DA′B′=∠A，∠EBA′=∠B，A′D，B′E交于點C′。探究規律：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成"角邊角”或"ASA”）．【知識鋪墊】課本圖11．2─8中，∠A′=∠A，∠B′=∠B，則∠C=∠A′C′B′嗎？為什么？【學生回答】根據三角形內角和定理，∠C′=180°-∠A′-∠B′，∠C=180°-∠A-∠B，由于∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴∠C=∠C′．【教師提問】在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF（課本圖11．2─9），△ABC與△DEF全等嗎？【學生活動】運用三角形內角和定理，以及"ASA”很快證出△ABC≌△EFD，并且歸納如下：歸納規律：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（簡與成AAS）．三、*例點擊，應用所學【例3】如課本圖11．2─10，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證：AD=AE．【教師活動】引導學生，分析例3．關鍵是尋找到和已知條件有關的△ACD和△ABE，再證它們全等，從而得出AD=AE．證明：在△ACD與△ABE中，∴△ACD≌△ABE（ASA）∴AD=AE【學生活動】參與教師分析，領會推理方法．【媒體使用】投影顯示例3．【教學形式】師生互動．【教師提問】三角對應相等的兩個三角形全等嗎？【學生活動】與同伴交流，得到有三角對應相等的兩個三角形不一定會全等，拿出三角板進行說明，如圖3，下面這塊三角形的內外邊形成的△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，但是它們不全等．（形狀相同，大小不等）．四、隨堂練習，鞏固深化課本P13練習第1，2題．【探研時空】1．如圖4，小紅不慎將一塊三角形模具打碎為兩塊，她是否可以只帶其中一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形模具呢？如果可以，帶哪塊去合適？為什么？【思路點撥】這是一個實際問題，應帶含有兩個角的那一塊，由"角邊角”可知，利用這塊能配出一個與原來全等的三角形模具．2.小穎在練習本上畫一個三角形，小蘭和她開個玩笑，將墨跡污染到這塊三角形的圖形上（如圖5），急得小穎直叫，要小蘭畫出一個與原來完全一樣的三角形來，小蘭該怎么辦呢？你能幫她嗎？【思路點撥】觀察圖形，可知未被墨水污染的有兩條邊及其夾角，根據"SAS”可以作一個與原來完全一樣的三角形．五、課堂總結，發展潛能1．證明兩個三角形全等有幾種方法？如何正確選擇和應用這些方法？2．全等三角形性質可以用來證明哪些問題？舉例說明．3．你在本節課的探究過程中，有什么感想？六、布置作業，專題突破1．課本P44習題12．2第5，6，9，10題．七、板書設計把黑板分成三部分，左邊部分板書"角邊角”、"角角邊”判定法，中間部分板書例題、畫圖，右邊部分板書練習．八、教后記12.2.5直角三角形全等判定（HL）教學內容本節課主要內容是探究直角三角形的判定方法．教學目標1．知識與技能在操作、比較中理解直角三角形全等的過程，并能用于解決實際問題．2．過程與方法經歷探索直角三角形全等判定的過程，掌握數學方法，提高合情推理的能力．3．情感、態度與價值觀培養幾何推理意識，激發學生求知欲，感悟幾何思維的內涵．重、難點與關鍵1．重點：理解利用"斜邊、直角邊”來判定直角三角形全等的方法．2．難點：培養有條理的思考能力，正確使用"綜合法”表達．3．關鍵：判定兩個三角形全等時，要注意這兩個三角形中已經具有一對角相等的條件，只需找到另外兩個條件即可．教具準備投影儀、幻燈片、直尺、圓規．教學方法采用"問題探究”的教學方法，讓學生在互動交流中領會知識．教學過程一、回顧交流，遷移拓展【問題探究】圖1是兩個直角三角形，除了直角相等的條件，還要滿足幾個條件，這兩個直角三角形才能全等？【教師活動】操作投影儀，提出"問題探究”，組織學生討論．【學生活動】小組討論，發表意見："由三角形全等條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應相等，或兩直角邊對應相等，這兩個直角三角形就全等了．”【媒體使用】投影顯示"問題探究”．【教學形式】分四人小組，合作、討論．【情境導入】如圖2所示．舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量．（1）你能幫他想個辦法嗎？（2）如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務嗎？工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發現它們分別對應相等，于是他就肯定"兩個直角三角形是全等的”，你相信他的結論嗎？【思路點撥】（1）學生可以回答去量斜邊和一個銳角，或直角邊和一個銳角，但對問題（2）學生難以回答．此時，教師可以引導學生對工作人員提出的辦法及結論進行思考，并驗證它們的方法，從而展開對直角三角形特殊條件的探索．【教師活動】操作投影儀，提出問題，引導學生思考、驗證．【學生活動】思考問題，探究原理．做一做如課本圖11．2─11：任意畫出一個Rt△ABC，使∠C=90°，再畫一個Rt△A′B′C′，使B′C′=BC，A′B′=AB，把畫好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它們全等嗎？【學生活動】畫圖分析，尋找規律．如下：規律：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（簡寫成"斜邊、直角邊”或"HL”）．畫一個Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;畫∠MC′N=90°。在射線C′M上取B′C′BC。以B′為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C′N于點A′。連接A′B′。二、*例點擊，應用所學【例4】如課本圖11．2─12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求證BC=AD．【思路點撥】欲證BC=AD，首先應尋找和這兩條線段有關的三角形，這里有△ABD和△BAC，△ADO和△BCO，O為DB、AC的交點，經過條件的分析，△ABD和△BAC具備全等的條件．【教師活動】引導學生共同參與分析例4．證明：∵AC⊥BC，BD⊥BD，∴∠C與∠D都是直角．在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．∴BC=AD．【學生活動】參與教師分析，提出自己的見解．【評析】在證明兩個直角三角形全等時，要防止學生使用"SSA”來證明．【媒體使用】投影顯示例4．三、隨堂練習，鞏固深化課本P43第練習1、2題．【探研時空】如圖3，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方面的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么關系？下面是三個同學的思考過程，你能明白他們的意思嗎？（如圖4所示）→△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+∠DEF=90°．有一條直角邊和斜邊對應相等，所以△ABC與△DEF全等．這樣∠ABC=∠DEF，也就是∠ABC+∠DEF=90°．在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，因此這兩個三角形是全等的，這樣∠ABC=∠DEF，所以∠ABC與∠DEF是互余的．【教學形式】這個問題涉及的推理比較復雜，可以通過全班討論，共同解決這個問題，但不需要每個學生自己獨立說明理由，只要求學生能看懂三位同學的思考過程就可以了．四、課堂總結，發展潛能本節課通過動手操作，在合作交流、比較中共同發現問題，培養直觀發現問題的能力，在反思中發現新知，體會解決問題的方法．通過今天的學習和對前面三角形全等條件的探求，可知判定直角三角形全等有五種方法．（教師讓學生討論歸納）五、布置作業，專題突破1．課本P44習題12．2第7，8題。六、課堂總結，發展潛能由學生談學習收獲七、板書設計把黑板分成三份，重復使用，左邊部分板書直角三角形判定定理等有關概念，中間部分板書"探究”，右邊部分板書例題．八、教后記12.3角的平分線的性質(1)教學內容本節課首先介紹作一個角的平分線的方法，然后用三角形全等證明角平分線的性質定理．教學目標1．知識與技能通過作圖直觀地理解角平分線的兩個互逆定理．2．過程與方法經歷探究角的平分線的性質的過程，領會其應用方法．3．情感、態度與價值觀激發學生的幾何思維，啟迪他們的靈感，使學生體會到幾何的真正魅力．重、難點與關鍵1．重點：領會角的平分線的兩個互逆定理．2．難點：兩個互逆定理的實際應用．3．關鍵：可通過學生折紙活動得到角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的結論．利用全等來證明它的逆定理．教具準備投影儀、制作如課本圖11．3─1的教具．教學方法采用"問題解決”的教學方法，讓學生在實踐探究中領會定理．教學過程一、創設情境，導入新課【問題探究】（投影顯示）如課本圖11．3─1，是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎？【教師活動】首先將"問題提出”，然后運用教具（如課本圖11．3─1）直觀地進行講述，提出探究的問題．【學生活動】小組討論后得出：根據三角形全等條件"邊邊邊”課本圖11．3─1判定法，可以說明這個儀器的制作原理．【教師活動】請同學們和老師一起完成下面的作圖問題．操作觀察：已知：∠AOB．求法：∠AOB的平分線．作法：（1）以O為圓心，適當長為半徑作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內部交于點C．（3）作射線OC，射線OC即為所求（課本圖11．3─2）．【學生活動】動手制圖（尺規），邊畫圖邊領會，認識角平分線的定義；同時在實踐操作中感知．【媒體使用】投影顯示學生的"畫圖”．【教學形式】小組合作交流．二、隨堂練習，鞏固深化課本P19練習．【學生活動】動手畫圖，從中得到：直線CD與直線AB是互相垂直的．【探研時空】（投影顯示）如課本圖12．3─3，將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結論？【教師活動】操作投影儀，提出問題，提問學生．【學生活動】實踐感知，互動交流，得出結論，"從實踐中可以看出，第一條折痕是∠AOB的平分線OC，第二次折疊形成的兩條折痕PD、PE是角的平分線上一點到∠AOB兩邊的距離，這兩個距離相等．”論證如下：已知：OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E（課本圖11．3─4）求證：PD=PE．證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中，∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE【歸納如下】角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．【教學形式】師生互動，生生互動，合作交流．三、情境合一，優化思維【問題思索】（投影顯示）如課本圖11．3─5，要在S區建一個集貿市場，使它到公路、鐵路的距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場應建于何處（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）？【學生活動】四人小組合作學習，動手操作探究，獲得問題結論．從實踐中可知：角平分線上的點到角的兩邊距離相等，將條件和結論互換：到角的兩邊的距離相等的點也在角的平分線．證明如下：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE．求證：點P在∠AOB的平分線上．證明：經過點P作射線OC．∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt△PDO和Rt△PEO中，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）∴∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分線．【教師活動】啟發、引導學生；組織小組之間的交流、討論；幫助"學困生”．【歸納】到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．【教學形式】自主、合作、交流，在教師的引導下，比較上述兩個結論，弄清其條件和結論，加深認識．四、*例點擊，應用所學【例】如課本圖12．3─6，△ABC的角平分線BM，相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等．【思路點撥】因為已知、求證中都沒有具體說明哪些線段是距離，而證明它們相等必須標出它們．所以這一段話要在證明中寫出，同輔助線一樣處理．如果已知中寫明點P到三邊的距離是哪些線段，則圖中畫實線，在證明中就可以不寫．【教師活動】操作投影儀，顯示例子，分析例子，引導學生參與．證明：過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F．∴BM是△ABC的角平分線，點P在BM上．∴PD=PE同理PE=PF∴PD=PE=PF即點P到邊AB、BC、CA的距離相等．【評析】在幾何里，如果證明的過程完全一樣，只是字母不同，可以用"同理”二字概括，省略詳細證明過程．【學生活動】參與教師分析，主動探究學習．五、隨堂練習，鞏固深化課本P22練習．六、課堂總結，發展潛能1．學生自行小結角平分線性質及其逆定理，和它們的區別．2．說明本節例子實際上是證明三角形三條角平分線相交于一點的問題，說明這一點是三角形的內切圓的圓心（為以后學習設伏）．七、布置作業，專題突破1．課本P22習題11．3第1、2、3題．2．選用課時作業設計．八、板書設計把黑板分成三部分，左邊部分板書概念、定理等，中間部分板書探究，右邊部分板書例題，重復使用時，中間部分和右邊部分板書練習題．九、教后記12.3角的平分線的性質（鞏固練習）教學內容本節課主要是對角的平分線的性質定理的應用展開討論，讓學生熟練地應用它們解決實際問題．教學目標1．知識與技能能應用角的平分線的性質定理解決一些實際的問題．2．過程與方法經歷探索角的平分線性質的應用過程，領會幾何分析的內涵，掌握綜合法的表達思想．3．情感、態度與價值觀激發學生的邏輯思維，在比較中獲取知識，使學生感悟幾何的簡練思維．重、難點與關鍵1．重點：應用角的平分線性質定理．2．難點：應用"綜合法”進行表達．3．關鍵：通過觀察、操作、分析來感悟定理的內涵，抓住問題的因果關系進行推理．教具準備投影儀、幻燈片、直尺、圓規．教學方法一、回顧交流，練中反思【概念復習】【教學提問】同學們能否從集合的觀點來說明角的平分線的性質．【學生活動】在教師對"集合”的思想做初步講解后，學生可以通過交流得出：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合．【分層練習】（投影顯示）1．已知：如圖1，△ABC中，AD是角的平分線，BD=CD，DE、DF分別垂直于AB、AC，E、F是垂足，求證：EB=FC．【思路點撥】只要證明EB和FC分別所在的兩個三角形全等（△EBD≌△FCD）．【教師活動】操作投影儀，巡視，啟發引導，適時提問．【學生活動】小組合作學習，尋求解題思路，踴躍上臺演示自己的證明．證明：∵AD是角的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF在△EBD和△FCD中，∴△EBD≌△FCD（HL）∴EB=FC【媒體使用】投影顯示"分層練習1”和學生的練習．【教學形式】小組合作（4人小組）交流，然后全班匯報，以練促思．2．已知：如圖2，河的南區有一個工廠，在公路西側，到公路的距離與到河岸的距離相等，并且與河上公路橋的距離為300米，在圖上標出工廠的位置，并說明理由．【思路點撥】畫圖略，根據角的平分線性質，工廠應在河流與公路交角的平分線上．【教師活動】操作投影儀，提出問題，參與學生的思考和討論．【學生活動】分四人小組積極地討論，得出結論，踴躍發表自己的看法．【媒體使用】投影顯示"分層練習2”．【教學形式】合作學習，生生互動交流．二、操作觀察，辨析理解【操作思考】（投影顯示）

首先按如下步驟進行操作：（1）在一*紙上任意畫一個角（角的邊不要畫得太短）∠AOB．（2）剪下所畫的角．（3）折疊所畫的角，使角的兩邊OA與OB重合，設折痕為O*，如圖3．（4）在折疊形成的兩層紙之間放入復寫紙．（5）在O*上取一點P，并且過點P畫OA的垂線．（6）拿出復寫紙，并且把折疊的紙展開觀察展開后的圖形，并進行思考，上面的操作反映了哪條規律？是課本上一節課中的那個概念嗎？【教師活動】操作投影儀，巡視，參與學生的討論，引導啟發．【學生活動】分四人小組合作學習，從操作中感悟知識和規律，得到結論：反映規律是：角的平分線上的點到角的兩邊距離相等．【媒體使用】投影顯示"操作思考”．【教學形式】分四人小組合作學習，動手動腦，互動交流．三、課堂演練，系統躍進1．已知：如圖4，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF．求證：（1）AE=CF；（2）AB∥CD．[提示]應用HL證Rt△ABC≌Rt△CED2．已知：如圖5，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N，求證PM=PN．[提示]∵∠ABD=∠CBD，AB=CB，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，又PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．四、課堂總結，發展潛能由學生分四人小組進行學習反思，然后各小組匯報學習情況．五、布置作業，專題突破1．課本P51習題12．3第4、5題．六、板書設計把黑板分成左右兩份，左邊板書概念和例題，右邊板書學生的練習，重復使用．七、教后記第十二章全等三角形復習與交流教學內容本節課主要進行系統的復習，讓學生建構出完整的知識體系．教學目標1．知識與技能理解全等三角形的性質與判定定理，以及角的平分線性質，會應用在實際的問題中．2．過程與方法經歷探究全等三角形有關性質和判定等概念，掌握幾何的分析思想，能應用"綜合法”表達問題．3．情感、態度與價值觀發展學生的邏輯思維，提高合情推理能力，體會幾何學的實際應用價值．重、難點與關鍵1．重點：應用全等三角形性質與判定定理解決實際問題．2．難點：分析思路的形成．3．關鍵：明確全等三角形的應用思想，養成說理有據的意識．教具準備投影儀、幻燈片．教學方法采用"精講─精練”的教學方法，讓學生自主構筑知識體系．教學過程一、回顧交流，系統躍進【交流討論】教學形式：分四人小組，回顧小結．然后，教師請三位同學談談他是怎么總結的．【知識結構圖】見課本，用投影顯示．教師提問：1．舉一些全等形的實例，全等三角形的對應邊有什么關系？對應角呢？【學生活動】踴躍舉手，發言：全等三角形對應角相等，對應邊相等．【媒體使用】投影顯示一些生活中的全等圖形，配合學生的認知．【教師提問】一個三角形有三條邊，三個角，從中任選三個來判定兩個三角形全等，哪些是能夠判定的？哪些是不能夠判定的？【學生活動】小組討論，互動交流．形成共識：（1）邊邊邊；（2）邊角邊；（3）角邊角；（4）角角邊；（5）斜邊、直角邊（證Rt△）等能夠判定兩個三角形全等．（1）SSA，（2）AAA，是不能夠判定兩個三角形全等的．【教師提問】1．你對角的平分線有了哪些新的認識？你能用全等三角形證明角的平分線性質嗎？2．你能結合本章的有關問題，說一說證明一個結論的過程嗎？【學生活動】小組討論，形成共識．二、課堂演練，鞏固學習【演練題1】如圖1，△ABC≌△ADE，BC的延長線交DA于F，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，求∠DFB和∠DGB的度數．（85°，60°）(1)(2)(3)【演練題2】如圖2，點A，B，C，D在一條直線上，△ACE≌△BDF.求證：（1）AE∥BF；（2）AB=CD．[（1）∵△ACE≌△BDF，∴∠A=∠DBF，∴AE∥BF；（2）∵△ACE≌△BDF，∴AC=BD，∴AB=CD]【演練題3】若△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A°，∠B=∠B′，且∠C=50°，∠B′=75°，A