第1頁（共1頁）2018-2019學年江蘇省淮安市高中校協作體高二（下）期中數學試卷（理科）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卡相應的位置上）1．（5分）已知，則z＝2．（5分）已知復數z＝（i為虛數單位），則復數z的模為．3．（5分）甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾的站法共有種．（用數字作答）4．（5分）的二項展開式中x3的系數為．5．（5分）設（2x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝．6．（5分）由①正方形的對角線相等；②矩形的對角線相等；③正方形是矩形．寫一個“三段論”形式的推理，則作為大前提、小前提和結論的依次為（寫序號）．7．（5分）用數學歸納法證明“，第一步，左邊是8．（5分）用數學歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n?1?3…（2n﹣1）（n∈N*）時，從“n＝k”到“n＝k+1”的證明，左邊需增添的代數式是．9．（5分）已知平面α，β，且α∥β，若＝（1，λ，2），＝（﹣3，6，﹣6）分別是兩個平面α，β的法向量，則實數λ的值為．10．（5分）已知＝（2，﹣1，2），＝（﹣1，3，﹣3），＝（13，6，λ），若向量，共面，則λ＝．11．（5分）已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若由向量確定的點P與A，B，C共面，那么λ＝．12．（5分）若＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，1），與的夾角為60°，則λ的值為．13．（5分）已知數列{an}滿足，通過計算a1，a2，a3，a4可猜想an＝．14．（5分）已知數列{an}滿足a1＝1，（n∈N*，n≥2），令，類比課本中推導等比數列前n項和公式的方法，可求得＝．二、解答題：（本大題共6小題，共計90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，并請將答案寫在答題卡相應的位置上.）15．（14分）已知復數z滿足（1+i）z＝1﹣3i（i是虛數單位）（1）求復數z的虛部；（2）若復數（1+ai）z是純虛數，求實數a的值；（3）若復數z的共軛復數為，求復數的模．16．（14分）（1）已知x，y∈（0，+∞），且x+y＞2，求證：與中至少有一個小于2；（2）設a＞0，b＞0，且a+b＝10，求證：17．（14分）先解答（1），再通過結構類比解答（2）：（1）求證：；（2）已知函數f（x）滿足（x∈R），試問：f（x）是周期函數嗎？證明你的結論．18．（16分）已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中點．（1）求AC與PB所成的角余弦值；（2）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．19．（16分）（1）求的展開式中的常數項；（2）若的展開式中x3的系數是﹣84，求a的值；（3）求證：9n+1﹣8n﹣9能被64整除（n∈N*）．20．（16分）觀察下列各不等式：1+＜，1++＜，1+++＜，1++++＜，…（1）由上述不等式，歸納出一個與正整數n（n≥2）有關的一般性結論；（2）用數學歸納法證明你得到是結論．

2018-2019學年江蘇省淮安市高中校協作體高二（下）期中數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卡相應的位置上）1．（5分）已知，則z＝﹣i【分析】利用復數的運算法則、共軛復數的定義求解即可．【解答】解：∵，∴＝＝i，∴z＝﹣i，故答案為：﹣i．【點評】本題考查了復數的運算法則和共軛復數，屬基礎題．2．（5分）已知復數z＝（i為虛數單位），則復數z的模為．【分析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴復數z的模為．故答案為：．【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，是基礎題．3．（5分）甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾的站法共有18種．（用數字作答）【分析】先從其余的3個人中選一個安排在排尾，有3種方法，其余的人任意排在其余的3個位上，方法有種，再根據分步計數原理求得結果．【解答】解：甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾，則先從其余的3個人中選一個安排在排尾，有3種方法，其余的人任意排在其余的3個位上，方法有＝6種．根據分步計數原理，甲不站在排尾的站法共有3×6＝18種，故答案為18．【點評】本題主要考查排列組合、兩個基本原理的實際應用，注意特殊位置和特殊元素要優先排列，屬于中檔題．4．（5分）的二項展開式中x3的系數為．【分析】利用二項展開式的通項公式寫出第r+1項，令x的指數為3求出展開式中x3的系數．【解答】解：設求的項為Tr+1＝C5r（x）5﹣r＝C5rx5﹣r今r＝2，∴T3＝C52x3＝x3．故答案為：．【點評】本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．5．（5分）設（2x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝1．【分析】根據所給的等式，給變量賦值，當x為﹣1時，即可得到所求的值．【解答】解：∵（2x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x＝﹣1，則（﹣1）4＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝1故答案為：1．【點評】本題考查二項式定理的性質，考查的是給變量賦值的問題，結合要求的結果，觀察所賦得值，屬于基礎題．6．（5分）由①正方形的對角線相等；②矩形的對角線相等；③正方形是矩形．寫一個“三段論”形式的推理，則作為大前提、小前提和結論的依次為②③①（寫序號）．【分析】由題意，根據三段論的形式“大前提，小前提，結論”直接寫出答案即可【解答】解：用三段論的形式寫出的演繹推理是：大前提②矩形的對角線相等，小前提③正方形是矩形，結論①正方形的對角線相等，故答案為：②③①【點評】本題考查演繹推理﹣﹣三段論，解題的關鍵是理解三段論的形式，本題是基礎概念考查題．7．（5分）用數學歸納法證明“，第一步，左邊是【分析】由不等式的特點，左邊第一項的分母為n+1，最后一項分母為3n+1，可得n＝1的左邊．【解答】解：由數學歸納法可得n＝1時，不等式的左邊為++，故答案為：++．【點評】本題考查數學歸納法的步驟，考查分析能力，屬于基礎題．8．（5分）用數學歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n?1?3…（2n﹣1）（n∈N*）時，從“n＝k”到“n＝k+1”的證明，左邊需增添的代數式是2（2k+1）．【分析】分別求出n＝k時左邊的式子，n＝k+1時左邊的式子，用n＝k+1時左邊的式子，除以n＝k時左邊的式子，即得所求．【解答】解：當n＝k時，左邊等于（k+1）（k+2）…（k+k）＝（k+1）（k+2）…（2k），當n＝k+1時，左邊等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的代數式是＝2（2k+1），故答案為2（2k+1）．【點評】本題考查用數學歸納法證明等式，用n＝k+1時，左邊的式子除以n＝k時，左邊的式子，即得所求．9．（5分）已知平面α，β，且α∥β，若＝（1，λ，2），＝（﹣3，6，﹣6）分別是兩個平面α，β的法向量，則實數λ的值為﹣2．【分析】利用面面平行的性質定理、向量共線定理即可得出．【解答】解：∵α∥β，＝（1，λ，2），＝（﹣3，6，﹣6）分別是兩個平面α，β的法向量，∴，∴存在實數k使得，∴，解得，λ＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查了面面平行的性質定理、向量共線定理，屬于基礎題．10．（5分）已知＝（2，﹣1，2），＝（﹣1，3，﹣3），＝（13，6，λ），若向量，共面，則λ＝3．【分析】由于向量，共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一對實數m，n使得，解出即可．【解答】解：∵向量，共面，∴存在唯一一對實數m，n使得，∴，解得．故答案為：3．【點評】本題考查了向量共面定理，屬于基礎題．11．（5分）已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若由向量確定的點P與A，B，C共面，那么λ＝．【分析】由題意，可由四點共面的向量表示的條件對四個條件進行判斷，判斷標準是驗證三個向量的系數和是否為1，若為1則說明四點M，A，B，C一定共面，由此規則即可找出正確的條件．【解答】解：由題意A，B，C三點不共線，點O是平面ABC外一點，若由向量確定的點P與A，B，C共面，∴解得λ＝故答案為：【點評】本題考查平面向量的基本定理，利用向量判斷四點共面的條件，解題的關鍵是熟練記憶四點共面的條件，利用它對四個條件進行判斷得出正確答案，本題考查向量的基本概念，要熟練記憶．12．（5分）若＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，1），與的夾角為60°，則λ的值為﹣17或1．【分析】利用空間向量的數量積的坐標運算公式可求得cos60°＝＝＝，從而可求得λ的值．【解答】解：∵＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，1），∴||＝，||＝，?＝4﹣λ，又與的夾角為60°，∴cos60°＝＝＝，解得：λ＝﹣17或1．故答案為：﹣17或1【點評】本題考查空間向量的數量積的坐標運算，熟練掌握空間向量的數量積的坐標運算公式是關鍵，屬于中檔題．13．（5分）已知數列{an}滿足，通過計算a1，a2，a3，a4可猜想an＝．【分析】由已知中數列{an}滿足，通過計算a2，a3，a4，分析分子分母的變化規律，可得數列的通項公式．【解答】解：∵數列{an}滿足，當n＝1時，＝，當n＝2時，＝，當n＝1時，＝，…歸納可得：an＝．故答案為：【點評】歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．14．（5分）已知數列{an}滿足a1＝1，（n∈N*，n≥2），令，類比課本中推導等比數列前n項和公式的方法，可求得＝n+2．【分析】本題先要對題干中公式進行變形，然后針對Tn的算式類比課本中推導類比課本中推導等比數列前n項和公式的錯位相減方法采用錯位相加的方法即可得出結果．【解答】解：由題意，可知：∵（n∈N*，n≥2），∴（an﹣1+an）?3n＝1，（n∈N*，n≥2）．∵，∴3Tn＝a1?32+a2?33+…+an﹣2?3n﹣1+an﹣1?3n+an?3n+1．兩式錯位相加，可得：4Tn＝a1?3+（a1+a2）?32+（a2+a3）?33+…+（an﹣2+an﹣1）?3n﹣1+（an﹣1+an）?3n+an?3n+1．＝1?3+1+1+…+1+1+an?3n+1．＝3+1×（n﹣1）+an?3n+1．＝n+2+an?3n+1．∴4Tn﹣an?3n+1＝n+2．故答案為：n+2．【點評】本題主要考查類比求等比類比課本中推導等比數列前n項和公式的錯位相減方法采用錯位相加的方法．本題屬中檔題．二、解答題：（本大題共6小題，共計90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，并請將答案寫在答題卡相應的位置上.）15．（14分）已知復數z滿足（1+i）z＝1﹣3i（i是虛數單位）（1）求復數z的虛部；（2）若復數（1+ai）z是純虛數，求實數a的值；（3）若復數z的共軛復數為，求復數的模．【分析】（1）由（1+i）z＝1﹣3i，得，然后由復數代數形式的乘除運算化簡復數z得答案；（2）把復數z代入（1+ai）z化簡，再由已知條件列出方程組，求解可得答案；（3）由復數z求出，然后代入復數化簡，再由復數求模公式計算得答案．【解答】解：（1）由（1+i）z＝1﹣3i，得＝，∴復數z的虛部為：﹣2；（2）（1+ai）z＝（1+ai）（﹣1﹣2i）＝2a﹣1﹣（2+a）i，∵復數（1+ai）z是純虛數，∴，解得a＝．∴實數a的值為：；（3）由z＝﹣1﹣2i，得．則＝＝，∴|z|＝．∴復數的模為：．【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，考查了復數模的求法，是中檔題．16．（14分）（1）已知x，y∈（0，+∞），且x+y＞2，求證：與中至少有一個小于2；（2）設a＞0，b＞0，且a+b＝10，求證：【分析】（1）利用反正法假設假設與都不小于2，然后推出矛盾結論即可；（2）利用分析法證明不等式即可；【解答】證明：（1）（反證法）假設與都不小于2，即，，又x，y∈（0，+∞），∴1+x≥2y，1+y≥2x，將兩式相加得：2+x+y≥2x+2y，即x+y≤2，這與已知x+y＞2矛盾，故與中至少有一個小于2；（2）∵a＞0，b＞0，∴要證，只要證，即證，又a+b＝10∴只要證，即證（1+3a）（1+3b）≤256，即證ab≤25，∵a＞0，b＞0，∴，∴ab≤25成立，∴．【點評】本題考查了利用分析法和反正法證明不等式，屬中檔題．17．（14分）先解答（1），再通過結構類比解答（2）：（1）求證：；（2）已知函數f（x）滿足（x∈R），試問：f（x）是周期函數嗎？證明你的結論．【分析】本題第（1）題可直接用兩角差的正切公式來進行計算即可證明；本題第（2）題證明周期性可用迭代的方法，對于公式（x∈R），可用x+1代替等式中的x，得到一個等式，再用x+2代替得到的等式，即可證明出f（x）是以4為周期的周期函數．【解答】（1）證明：由題意，可知：．（2）結論：f（x）是以4為周期的周期函數．證明如下：證明：由題意，可知：∵函數f（x）滿足（x∈R），∴可用x+1代替等式中的x，得：，再用x+2代替上式中的x，得，，∴f（x）是以4為周期的周期函數．【點評】本題第（1）題主要考查利用兩角差的正切公式來進行計算；本題第（2）題主要考查采用迭代的方法來證明周期性．本題屬中檔題．18．（16分）已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中點．（1）求AC與PB所成的角余弦值；（2）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【分析】由“PA⊥底面ABCD，且∠DAB＝90°”可知，此題建立空間直角坐標系相當方便．以A為坐標原點，AD長為單位長度，分別以AD、AB、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，求出各點坐標計算各題．（1）利用余弦定理可知：．所以，AC與PB所成的角余弦值為．（2）在MC上取一點N（x，y，z），要使AN⊥MC，只需，所以N點坐標為，∠ANB為所求二面角A﹣MC﹣B的平面角，則，所以所求二面角的余弦值為．另解：可以計算兩個平面的法向量分別為：平面AMC的法向量，平面BMC的法向量為，＝，所求二面角A﹣MC﹣B的余弦值為﹣．【解答】證明：以A為坐標原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為．（1）解：因，故，所以．所以，AC與PB所成的角余弦值為．（2）解：在MC上取一點N（x，y，z），則存在使，，∴．要使AN⊥MC，只需即，解得．可知當時，N點坐標為，能使．此時，，有，由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB為所求二面角A﹣MC﹣B的平面角．∵．∴．故所求的二面角的余弦值為．【點評】本小題考查空間中的異面直線所成的角、二面角、解三角形等基礎知識考查空間想象能力和思維能力．19．（16分）（1）求的展開式中的常數項；（2）若的展開式中x3的系數是﹣84，求a的值；（3）求證：9n+1﹣8n﹣9能被64整除（n∈N*）．【分析】（1）在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數等于0，求出r的值，即可求得常數項．（2）在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數等于3，求出r的值，即可求得x3的系數．（3）把9n+1﹣8n﹣9利用二項式定理化為9（8n+?8n﹣1+?8n﹣2+…+?82）+64，即可證得結論．【解答】解（1）求的展開式的通項公式為，令18﹣3r＝0，得r＝6，即第7項為常數項，T7＝?＝．（2）的展開