學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2020-2021學年高中數學新教材人教A版必修第一冊學案：4.4.2第2課時對數函數的圖象和性質（二）含解析第2課時對數函數的圖象和性質(二)必備知識·探新知基礎知識知識點1對數型復合函數的單調性復合函數y＝f[g(x）］是由y＝f(x)與y＝g（x)復合而成，若f(x)與g(x)的單調性相同，則其復合函數f［g（x）]為__增函數__；若f（x)與g（x)的單調性相反,則其復合函數f[g(x)]為__減函數__.對于對數型復合函數y＝logaf(x）來說,函數y＝logaf(x）可看成是y＝logau與u＝f(x)兩個簡單函數復合而成的,由復合函數單調性“同增異減”的規律即可判斷．另外，在求復合函數的單調區間時，首先要考慮函數的定義域．知識點2對數型復合函數的值域對于形如y＝logaf（x）（a>0，且a≠1）的復合函數，其值域的求解步驟如下：(1）分解成y＝logau，u＝f(x)兩個函數；（2）解f(x)〉0，求出函數的定義域；(3)求u的取值范圍；（4)利用y＝logau的單調性求解．基礎自測1．函數f(x)＝logax在（0,＋∞）上是減函數,則a的取值范圍是（C）A．(0，＋∞） B．(－∞,1)C．(0,1) D．(1，＋∞）［解析］由對數函數的單調知識易知0〈a<1.2．已知函數f(x）＝2eqlog\s\do8（\f（1，2)）x的值域為［－1，1]，則函數f（x）的定義域是（A）A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（\r(2)，2),\r（2))) B．［－1,1］C．eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（1，2），2)) D．eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞,\f（\r（2），2）)）∪[eq\r（2），＋∞)[解析]由－1≤2eqlog\s\do8(\f(1，2））x≤1，得－1≤－2log2x≤1。解得eq\f（\r（2），2）≤x≤eq\r(2）.3．（2019·大連市高一期末測試）函數f(x)＝lg(x2－2x－3)的單調遞減區間是(A)A．(－∞，－1) B．（－∞，1）C．（1，＋∞) D．(3，＋∞）[解析]令x2－2x－3〉0，∴(x－3)（x＋1）>0,∴x〈－1或x>3.∴f（x）的定義域(－∞，－1）∪（3,＋∞)．令u＝x2－2x－3，函數f(x）的單調遞減區間即為u＝x2－2x－3在（－∞，－1)∪（3,＋∞)上的遞減區間．故選A．4．已知log0。3(3x)〈log0。3(x＋1)，則x的取值范圍為（A）A．(eq\f(1,2)，＋∞) B．(－∞,eq\f（1,2）)C．（－eq\f（1,2),eq\f(1,2）） D．(0,eq\f(1,2））[解析]因為函數y＝log0.3x在(0，＋∞)上單調遞減，所以原不等式等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3x〉0，，x＋1〉0,,3x〉x＋1，)）解得x>eq\f(1，2).5．(2019·河北滄州市高一期中測試）已知x滿足(eqlog\s\do8(\f(1，2))x)2－eqlog\s\do8(\f（1,2）)x－6≤0,求f（x)＝(1＋log2x)log2eq\f（x,4)的最大值與最小值及相應x的值．[解析］由（eqlog\s\do8(\f(1,2））x）2－eqlog\s\do8（\f(1，2))x－6≤0，得－2≤eqlog\s\do8（\f(1,2))x≤3,∴eq\f(1,8）≤x≤4.f（x）＝(1＋log2x）(log2x－2)，令t＝log2x∈［－3，2］，∴y＝（t＋1）（t－2)＝t2－t－2＝（t－eq\f（1,2）)2－eq\f（9,4），∴當t＝eq\f(1,2），即log2x＝eq\f(1,2）,x＝eq\r(2)時,函數取最小值－eq\f（9，4)；當t＝－3，即log2x＝－3，x＝eq\f（1,8)時，函數的最大值(－3－eq\f（1，2））2－eq\f(9，4)＝10.關鍵能力·攻重難題型探究題型一對數型復合函數的單調性例1討論函數f（x）＝loga（3x2－2x－1)的單調性．[分析]求復合函數的單調性時，必須首先考慮函數的定義域，單調區間必須是定義域的子集．[解析］由3x2－2x－1〉0,得函數的定義域為{x｜x>1或x〈－eq\f（1，3）｝．當a>1時，若x〉1，∵y＝logau為增函數，又u＝3x2－2x－1為增函數，∴f(x）＝loga（3x2－2x－1）為增函數．若x〈－eq\f（1，3),∵u＝3x2－2x－1為減函數，∴f(x）＝loga(3x2－2x－1)為減函數．當0<a<1時，y＝logau為減函數，若x>1，則f(x)＝loga(3x2－2x－1）為減函數，若x<－eq\f(1,3），則f（x)＝loga（3x2－2x－1)為增函數．［歸納提升］1。求復合函數單調性的具體步驟是:(1)求定義域；（2）拆分函數；(3）分別求y＝f（u）,u＝φ（x)的單調性；（4)按“同增異減"得出復合函數的單調性．2．復合函數y＝f［g（x)］及其里層函數μ＝g(x）與外層函數y＝f(μ)的單調性之間的關系(見下表）.函數單調性y＝f（μ)增函數增函數減函數減函數μ＝g(x)增函數減函數增函數減函數y＝f[g(x）]增函數減函數減函數增函數【對點練習】?（2020·河北滄州市高一期末測試)函數f(x)＝eqlog\s\do8（\f（1,2）)（x2－3x－10)的單調遞增區間為（A）A．（－∞,－2） B．（－∞,eq\f（3，2))C．（－2，eq\f（3，2)） D．（5，＋∞)[解析]由題意，得x2－3x－10〉0，∴（x－5）（x＋2）>0，∴x〈－2或x>5.令u＝x2－3x－10,函數f(x）的單調遞增區間即為函數u＝x2－3x－10在（－∞,－2)∪(5，＋∞）上的單調遞減區間,又u＝x2－3x－10在（－∞，－2)上遞減，故選A．題型二對數型復合函數的值域例2求下列函數的值域：(1)y＝log2（x2＋4）；（2)y＝eqlog\s\do8(\f(1，2）)(3＋2x－x2)．［解析](1)y＝log2（x2＋4)的定義域為R.∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4）≥log24＝2.∴y＝log2（x2＋4）的值域為{y|y≥2}．(2)設u＝3＋2x－x2,則u＝－（x－1）2＋4≤4。∵u>0，∴0<u≤4。又y＝eqlog\s\do8（\f(1,2)）u在（0，＋∞)上是減函數，∴eqlog\s\do8（\f(1,2))u≥eqlog\s\do8(\f（1,2）)4＝－2，∴y＝eqlog\s\do8（\f（1，2)）（3＋2x－x2)的值域為｛y｜y≥－2}．［歸納提升]1.與對數函數有關的復合函數值域：求與對數函數有關的復合函數的值域，一方面，要抓住對數函數的值域；另一方面，要抓住中間變量的取值范圍，利用對數函數的單調性來求其值域(多采用換元法）．2．對于形如y＝logaf（x）（a〉0，且a≠1）的復合函數的值域的求法的步驟：①分解成y＝logau，u＝f（x）兩個函數；②求f(x)的定義域；③求u的取值范圍;④利用y＝logau的單調性求解．【對點練習】?函數f（x)＝log2(3x＋1）的值域為(A）A．(0，＋∞） B．［0，＋∞）C．（1,＋∞) D．[1，＋∞）[解析]∵3x＋1〉1,且f（x)在(1，＋∞)上單調遞增，∴log2（3x＋1)>log21＝0，故該函數的值域為（0，＋∞)．題型三對數型復合函數的奇偶性例3(2019·云南瀘西縣一中高一期中測試）已知函數f（x)＝loga（x＋1)－loga(1－x)(a〉0且a≠1）．（1)求f(x)的定義域;（2)判斷函數f(x）的奇偶性并加以證明．［分析］(1)函數奇偶性判斷的方法是什么？（2)對數的運算法則是什么？［解析］（1)由題意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋1>0,1－x>0）)，∴－1〈x〈1。∴函數f（x）的定義域為（－1,1）．(2）由（1)知函數f(x）的定義域為(－1，1)關于原點對稱．∴f（－x)＝loga(－x＋1）－loga（1＋x）＝－［loga(1＋x）－loga(1－x)］＝－f(x）,∴函數f（x)為奇函數．［歸納提升］判斷函數的奇偶性時，首先要注意求函數的定義域,函數具有奇偶性，其定義域必須關于原點對稱．【對點練習】?函數f(x)＝lg(eq\f(1，\r(x2＋1）＋x）)是（A）A．奇函數 B．偶函數C．既奇又偶函數 D．非奇非偶函數［解析]函數f(x)的定義域為(－∞，＋∞），關于原點對稱．又f（－x)＝lg(eq\f（1，\r（x2＋1）－x))＝lgeq\f（\r（x2＋1)＋x，\r（x2＋1)－x\r（x2＋1)＋x)＝lg(eq\r（x2＋1）＋x）＝lg(eq\f(1，\r(x2＋1)＋x)）－1＝－lgeq\f（1，\r(x2＋1)＋x)＝－f(x)，∴函數f(x）為奇函數．誤區警示忽視對數函數的定義域例4若函數y＝loga（2－ax)在x∈[0,1］上是減函數，則a的取值范圍是(B)A．（0，1) B．（1，2)C．（0,2） D．(1，＋∞）［錯解]錯解一：因為函數f(x）＝loga(2－ax）在［0,1]上是減函數，根據對數函數在0〈a<1時單調遞減，知選A．錯解二：令u＝2－ax，由于a>0且a≠1,所以u＝2－ax為減函數，根據復合函數單調性“同增異減”法則，要使f（x)＝loga(2－ax）在［0，1］上為減函數，則需y＝logau為增函數，從而得a〉1，故選D．[錯因分析］在求解時,已經掌握了利用復合函數單調性“同增異減”法則進行解答，但是忽視了對數函數的定義域問題,考慮問題不全面，犯了知識性和能力性的雙重錯誤．［正解]令u＝2－ax，由于a〉0且a≠1，所以u＝2－ax為減函數，又根據對數函數定義域要求u＝2－ax在[0，1]上恒大于零，當x∈[0,1］時,umin＝2－a〉0，解得a<2。根據復合函數單調性“同增異減”法則，要使f(x）＝loga(2－ax)在［0,1］上為減函數，則需y＝logau為增函數，所以a>1。綜上可得1<a<2，故選B．［方法點撥]對數型函數是考查定義域問題的重點函數．因此,在解決真數中含參數的對數問題時，一定要保證真數大于0.忽略這一點，可能會使所求參數范圍擴大致誤．如本例中，u＝2－ax在x∈[0,1］時一定要保證u〉0才有意義,請學生重點關注．學科素養綜合應用所學知識分析解決問題的能力例5已知f（x)＝lneq\f(1－mx,x－1)是奇函數．(1）求m；（2)判斷f(x)在(1，＋∞）上的單調性，并加以證明．[分析］(1)題目給定的關鍵條件是f(x)是奇函數，一般考慮用f(－x）＝－f(x），f（－1）＝－f(1），f(0)＝0(當0、－1在定義域中時)等，它是從反面考查函數奇偶性的判定．［解析](1)f（－x）＝lneq\f（1＋mx,－x－1）＝lneq\f(－1－mx，1＋x），－f（x）＝－lneq\f（1－mx,x－1）＝lneq\f（x－1,1－mx).∵f（x)是奇函數，∴f（－x）＝－f（x)，即lneq\f（－1－mx,1＋x）＝lneq\f(－1＋x,1－mx），得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－m＝1，,1＝－m,)）∴m＝－1.(2)f（x)在（1，＋∞）上單調遞減．證明:由（1)知f(x）＝lneq\f(x＋1,x－1）＝ln（1＋eq\f（2,x－1))．任取x1,x2滿足1＜x1＜x2,∵（1＋eq\f(2,x1－1））－(1＋eq\f(2，x2－1））＝eq\f（2,x1－1）－eq\f(2，x2－1)＝eq\f(2x2－x1,x1－1x2－1)。由1＜x1＜x2知，x2－x1＞0,x1－1＞0，x2－1＞0，∴(1＋eq\f(2，x1－1））－（1＋eq\f（2，x2－1))＞0,即1＋eq\f（2,x1－1)＞1＋eq\f(2，x2－1）＞0，又y＝lnx為增函數，∴ln(1＋eq\f（2,x1－1))＞ln（1＋eq\f（2,x2－1）)，即f（x1）＞f（x2)，∴f（x）在（1，＋∞)上是減函數．[歸納提升](1）已知某函數是奇函數或偶函數，求其中某參數值時，常用方法有兩種：①由f(－x）＝f（x)或f(－x)＝－f（x)直接列關于參數的方程（組），解之得結果．②由f(－a）＝f（a)或f（－a)＝－f(a)（其中a是某具體數）得關于參數的方程（組)，解之得結果，但此時需檢驗．(2）用定義證明形如y＝logaf(x）函數的單調性時,應先比較與x1，x2對應的兩真數間的大小關系，再利用對數函數的單調性，比較出兩函數值之間的大小關系．課堂檢測·固雙基1．（2020·江蘇宿遷市高一期末測試)函數f（x)＝lg（3x－1)＋eq\r（1－x）的定義域為（C)A．(0,＋∞) B．（－∞，1］C．（0,1] D．［0,1][解析］由題意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3x－1>0,1－x≥0）)，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3x>1，x≤1))，∴0〈x≤1，故選C．2．(2020·貴州遵義市高一期末測試)設a＝20。3,b＝0.32，c＝log20。3,則a、b、c的大小關系是（C）A．a<b<c B．b〈c〈aC．c〈b〈a D．c<a〈b［解析］a＝20。3>20＝1，b＝0.32∈（0，1)，c＝log20.3<log21＝0，∴c<b<a。3．設函數f（x）＝ln（1＋x）－ln(1－x),則f（x）是（A）A．奇函數,且在（0，1)上是增函數B．奇函數，且在(0，1)上是減函數C．偶函數，且在（0,1)上是增函數D．偶函數,且在（0,1）上是減函數[解析］由題意可得，函數f（x)的定義域為(－1，1），且f（x)＝lneq\f(1＋x，1－x)＝ln（eq\f（2,1－x)－1），易知y＝eq\f（2,1－x）－1在（0，1）上為增函數，故f(x）在(0，1）上為增函數，又f(－x)＝ln（1－x)－ln（1＋x)＝－f（x)，故f(x）為奇函數，選A．4．函數f（x）＝logax（