PAGEPAGE7橢圓的幾何性質課標解讀課標要求素養要求1.掌握橢圓的簡單幾何性質.2.通過對橢圓的學習，進一步體會數形結合的思想.3.了解橢圓的簡單應用.1.直觀想象——能依據橢圓的方程和圖形研究其幾何性質.2.數學運算——能利用橢圓的簡單幾何性質求橢圓的方程，或根據橢圓的方程求其簡單幾何性質.第1課時橢圓的幾何性質自主學習·必備知識教材研習教材原句焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程xy圖形焦點FF焦距|范圍①-a≤x≤a且-b≤y≤b②-b≤x≤b且-a≤y≤a對稱性對稱軸：③x軸和y軸，對稱中心：(0,0)頂點AA軸長長軸長|A1A2|=④離心率e=ca當e越趨近于1時，橢圓越扁，當e越趨近于0時，橢圓越接近于圓自主思考1.橢圓上的點到焦點的距離的最大值和最小值分別是什么？答案：提示橢圓上的點到焦點的距離的最大值為a+c，最小值為a-c.2.若橢圓的長軸長和短軸長已經確定，則橢圓的標準方程是否能夠確定？答案：提示不確定，因為橢圓的焦點位置不確定.3.在a不變的情況下，隨c的變化，橢圓的形狀如何變化？若c不變，隨a的變化，橢圓的形狀又如何變化呢？答案：提示a不變，c越小，橢圓越圓；c越大，橢圓越扁.c不變，a越大，橢圓越圓；a越小，橢圓越扁.名師點睛橢圓幾何性質的應用（1）橢圓的焦點決定橢圓的位置，范圍決定橢圓的大小，離心率決定橢圓的扁圓程度，對稱性是橢圓的重要特征，頂點是橢圓與對稱軸的交點，是橢圓重要的特殊點.（2）明確a,b的幾何意義，a是半長軸長，b是半短軸長，不要與長軸長、短軸長混淆.（3）橢圓的范圍決定了橢圓的大小，它位于四條直線x=±a，y=±b圍成的矩形內，即-a≤x≤a，-b≤y≤b.橢圓的范圍在解決與橢圓有關的最值、參數的取值范圍問題時，常常涉及.（4）如圖，若橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)（5）如圖所示的橢圓中，a=|F2B2|，b=|O互動探究·關鍵能力探究點一橢圓的幾何性質自測自評1.（2021山東濟南高二月考）若點A(1,m)在橢圓C：x24+A.(-6,C.(-∞,-62答案：B解析：由題意得124+所以m的取值范圍是(-62.（多選）嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運載火箭在西昌衛星發射中心發射.12日下午4點43分左右，嫦娥四號順利進入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道，其近月點與月球表面的距離為100千米，遠月點與月球表面的距離為400千米，已知月球的直徑約為3476千米，對于該橢圓，下述四個結論正確的是()A.焦距約為300千米B.長軸長約為3976千米C.兩焦點坐標約為(±150,0)D.離心率約為75答案：A;B;D解析：設該橢圓的半長軸長為a千米，半焦距為c千米.依題意可得月球半徑約為12×3476=1738（千米），易知a-c=100+1738=1838，a+c=400+1738=2138，2a=1838+2138=3976，∴a=1988，c=2138-1988=150，∴橢圓的焦距約為150×2=300（千米），長軸長約為3976千米，離心率約為1501988=753.求橢圓m2答案：由已知得x2∵0＜m∴橢圓的焦點在x軸上，半長軸長a=1m，半短軸長b=1∴橢圓的長軸長2a=2m，短軸長焦點坐標為(-3頂點坐標為(1離心率e=解題感悟若所給的橢圓方程不是標準方程，則先把其化為標準方程，然后分清焦點的位置，求出a,b,c，再求相應的性質.探究點二根據橢圓的幾何性質求橢圓的方程精講精練例（1）已知橢圓x2a2+yA.x25C.x216（2）（2020山東淄博高二期中）阿基米德出生于希臘西西里島敘拉古，享有“力學之父”的美稱，和高斯、牛頓并列為世界三大數學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積等于圓周率、橢圓的半長軸長、橢圓的半短軸長三者的乘積.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的面積為8?π，直線A.x216C.x264答案：（1）D（2）D解析：（1）易知直線2x+y+10=0與x軸的交點為(-5,0)，由題意得橢圓的左頂點為(-5,0).所以橢圓的半長軸長a=5，由橢圓的離心率為35，知c=3.則b=4所以橢圓的方程為x2（2）依題意，8?π=ab?π不妨設直線l：xa+y則橢圓的中心到直線l的距離為aba2+聯立①②，解得a=42，b=故橢圓C的方程為x2變式把本例（1）的條件改為“橢圓短軸的一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側頂點的距離為3”，求橢圓的標準方程.答案：由題意得a∴a=2∴所求橢圓的標準方程為x212+解題感悟在求橢圓方程時，要注意根據題目條件判斷焦點所在的坐標軸，從而確定方程的形式，若不能確定焦點所在的坐標軸，則應進行討論，然后列方程（組）確定a,b.遷移應用1.已知橢圓C：x2a2+yA.x24C.x24答案：A解析：由長軸長是短軸長的2倍，得2a=4b，即a=2b，焦距等于23，所以2c=23，即由a2=b2+c2探究點三橢圓幾何性質的應用精講精練例（1）（2020山東濟南月考）2020年3月9日，我國在西昌衛星發射中心用長征三號運載火箭，成功發射北斗系統第54顆導航衛星.第54顆導航衛星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓.設地球半徑為R，若其近地點、遠地點離地面的距離大約分別是115R，A.25B.15C.2（2）已知橢圓x2a2+yA.33B.1C.2答案：（1）D（2）A解析：（1）以運行軌道的中心為原點，長軸所在直線為x軸，短軸所在直線為y軸建立平面直角坐標系（圖略），令地心F2為橢圓的右焦點，設橢圓的標準方程為x則地心F2的坐標為(c,0)，由題意，得a-c=R+解得2a=125R,2c=（2）由題意可得，ca=1∴b則b2當且僅當a4=1∴b2+1解題感悟求橢圓離心率的方法：①直接求出a和c，再求e=ca②若a和c不能直接求出，則看是否可利用條件得到a和c的齊次等式，然后整理成ca的形式，并將其視為整體，就變成了關于離心率e遷移應用1.（2021山東聊城高二期末）某些首飾，如手鐲，項鏈吊墜等都是橢圓形狀，這種形狀給人以美的享受，在數學中，我們把這種橢圓叫做“黃金橢圓”，其離心率e=5-12.設黃金橢圓的半長軸長，半短軸長，半焦距分別為A.2b=a+cB.bC.a=b+cD.2b=ac答案：B解析：∵橢圓為黃金橢圓，e=∴c=5∴b故選B.2.（2021山東東營廣饒一中期末）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1,F2A.3-1B.C.2-1D.答案：A解析：因為△DF1F2為正三角形，所以|DF1|=|易知MF2⊥D所以|MF1|+|M所以橢圓C的離心率e=評價檢測·素養提升1.橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于12，且它的一個頂點為(0,23)A.x24C.x212答案：D2.（多選）（2021山東聊城高二月考）已知橢圓C：16xA.長軸長為1B.焦距為3C.焦點坐標為(0,±D.離心率為3答案：C;D3.（2020山師附中高二月考）某同學數星星的時候，突然想到了哈雷彗星，信息技術老師給他找了一幅哈雷彗星的圖片和其軌道圖片，地理老師告訴他哈雷彗星近日點距離太陽約0.6A.U.，將于2023年12月9日出現的遠